Proof: We prove this in two steps:

Proof: We prove this in two steps: First, we show that
the two properties mentioned above hold for any tree with
minimum average depth; Second, based on this observation,
we prove that both our tree and a tree with minimum depth
have the same average depth.
We prove the first by contradiction. Assume there exists
a tree A that does not have the two properties but is of
minimum average depth. Apparently, A must be a balanced
tree; otherwise we can use low-delay-jump to reduce its
average depth. Now consider that A violates the the second
property, i.e., there must be at least one node x whose out
degree is smaller than another node y but is closer to the
root. We first consider the case that y is a descendant of x, as
shown in Fig. 10. In this case, we can swap nodes x and y,
with y still serving its other children (node z in Fig. 10). This
operation reduces the average depth, which contradicts to the
assumption that A has minimized average depth. For the case
that y is not x’s descendant, we can first swap y with one

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh: Ta chứng minh điều này trong hai bước sau: Đầu tiên, chúng tôi cho thấy rằng
hai tài sản nêu trên giữ vì bất kỳ cây với
độ sâu trung bình tối thiểu; Thứ hai, dựa trên sự quan sát này,
chúng tôi chứng minh rằng cả hai cây của chúng tôi và một cây với độ sâu tối thiểu
có độ sâu trung bình như nhau.
Chúng tôi chứng minh đầu tiên bởi sự mâu thuẫn. Giả sử có tồn tại
một cây A mà không có hai thuộc tính nhưng là
độ sâu trung bình tối thiểu. Rõ ràng, A phải là một cân bằng
cây; nếu không chúng ta có thể sử dụng thấp chậm trễ nhảy để giảm của
độ sâu trung bình. Bây giờ xem xét rằng A vi phạm thứ hai
sở hữu, tức là phải có ít nhất một nút x mà ra
mức độ nhỏ hơn một nút y nhưng gần gũi hơn với
root. Đầu tiên chúng ta hãy xem xét các trường hợp đó y là một hậu duệ của x, như
thể hiện trong hình. 10. Trong trường hợp này, chúng ta có thể trao đổi các nút x và y,
với y vẫn phục vụ trẻ em khác của nó (nút z trong hình. 10). Điều này
hoạt động làm giảm độ sâu trung bình, điều này mâu thuẫn với
giả định rằng A đã giảm thiểu độ sâu trung bình. Đối với các trường hợp
mà y không phải là hậu duệ của x, chúng ta có thể đầu tiên trao đổi y với một