Distribution of Linear Combination

Distribution of Linear Combination of Independent Normal Variables
In general we know that if X1,…,Xn are independent random variables with means and variances μ_i, σ_i^2, i=1,…,n, respectively, then a linear combination od the X1, say
Y=∑_(i=1)^n▒〖c_i X_i 〗
Is such that μ_Y=E(Y)=∑▒〖c_i μ_i 〗(5.6.1)
And σ_Y^2=E(Y-μ_Y )^2=∑_(i=1)^n▒〖c_i^2 σ_i^2 〗(5.6.2)
Indeed, if X1,…,Xn are normal independent random variable, then we have an important result about the normal distribution that may be stated as Theorem 5.6.1.
Theorem 5.6.1 Let X1,..,Xn be n random independent variable having distribution N(μ_1,σ_1^2 ),…,N(μ_n,σ_n^2. Then the random variable Y=∑_(i=1)^n▒〖c_i X_i 〗, that is, a linear combination of independent normal variable, is normally distributed with mean ∑_(i=1)^n▒〖c_i μ_i 〗 and variance ∑_(i=1)^n▒〖c_i^2 σ_i^2 〗.

Kết quả (Việt) 1:

Phân phối của tổ hợp tuyến tính của biến bình thường độc lậpNói chung chúng tôi biết rằng nếu X 1,..., Xn là biến ngẫu nhiên độc lập với phương tiện và chênh lệch μ_i, σ_i ^ 2, i = 1,..., n, tương ứng, sau đó một tổ hợp tuyến tính od X 1, nóiY = ∑_(i=1) ^ n▒〖c_i X_i 〗Là như vậy đó μ_Y = E (Y) = ∑▒〖c_i μ_i 〗(5.6.1)Và σ_Y ^ 2 = E (Y-μ_Y) ^ 2 = ∑_(i=1) ^ n▒〖c_i ^ 2 σ_i ^ 2 〗(5.6.2)Thật vậy, nếu X 1,..., Xn bình thường biến ngẫu nhiên độc lập, sau đó chúng tôi có một kết quả quan trọng về việc phân phối bình thường có thể được nêu như định lý 5.6.1.Định lý 5.6.1 cho X 1,..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N (μ_1, σ_1 ^ 2),..., N (μ_n, σ_n ^ 2. Sau đó là Y biến ngẫu nhiên = ∑_(i=1) ^ n▒〖c_i X_i 〗, có nghĩa là, là một tổ hợp tuyến tính của độc lập biến bình thường, bình thường phân phối với có nghĩa là ∑_(i=1) ^ n▒〖c_i μ_i 〗 và phương sai ∑_(i=1) ^ n▒〖c_i ^ 2 σ_i ^ 2 〗.

Kết quả (Việt) 2:

Phân phối của Linear Sự kết hợp của các biến bình thường Independent
Nói chung, chúng tôi biết rằng nếu X1, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với các phương tiện và phương sai μ_i, σ_i ^ 2, i = 1, ..., n, tương ứng, sau đó là một sự kết hợp tuyến tính od X1 , nói
Y = Σ_ (i = 1) ^ n▒ 〖〗 c_i X_i
là như vậy mà μ_Y = E (Y) = Σ▒ 〖〗 c_i μ_i (5.6.1)
Và σ_Y ^ 2 = E (Y-μ_Y) ^ 2 = Σ_ (i = 1) ^ n▒ 〖c_i ^ 2 σ_i ^ 2〗 (5.6.2)
Thật vậy, nếu X1, ..., Xn là biến ngẫu nhiên độc lập bình thường, sau đó chúng ta có một kết quả quan trọng về sự phân bố bình thường mà có thể được quy định như Định lý 5.6.1.
Định lý 5.6.1 Hãy X1, .., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N (μ_1, σ_1 ^ 2), ..., N (μ_n, σ_n ^ 2. Sau đó, ngẫu nhiên biến Y = Σ_ (i = 1) ^ n▒ 〖〗 c_i X_i, đó là một sự kết hợp tuyến tính của các biến bình thường độc lập, thường được phân phối với bình Σ_ (i = 1) ^ n▒ 〖〗 c_i μ_i và phương sai Σ_ (i = 1) ^ n▒ 〖c_i ^ 2 σ_i ^ 2〗.