6 Representation theoryIn this sect

6 Representation theory
In this section, we introduce representations of Lie algebras. For simplicity, we will assume that
g is a complex Lie algebra.

6.1 Representations of Lie algebras
Let g be a Lie algebra and V a finite dimensional vector space. A representation of g is a homomorphism of Lie algebras ρ : g → gl(V ).
Example 6.1. If g is the Lie algebra of a Lie group, then Lemma 3.18 says that ad is a representation of g.

6.2 Modules
As in the literature, we will often use the equivalent language of modules. A g-module is a vector space V together with a bilinear action map − • − : g × V → V such that
[X, Y ] • v = X • (Y • v) − Y • (X • v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.
Exercise 6.2. Let ρ : g → gl(V ) be a representation. Show that V is a g-module with action map
X • v = ρ(X)(v). Conversely, if V is a g-module, define ρ : g → End(V ) by ρ(X)(v) = X • v.
Show that ρ is actually a representation. Check that this defines a natural equivalence between
g-representations and g-modules.
Remark 6.3. For those of you who are comfortable with the language of categories, both repre- sentations of a Lie algebra g and the collection of all g-modules form categories; in fact they are abelian categories. Then exercise 6.2 is really saying that these two categories are equivalent.

6.3 Morphisms
A morphism of g-modules is a linear map φ : V1 → V2 such that φ(X • v) = X • φ(v) for all X ∈ g
and v ∈ V i.e. φ commutes with the action of g.
If φ : V1 → V2 is an invertible morphism of g-modules then φ is said to be an isomorphism of
g-modules.
Exercise 6.4. Let φ : V1 → V2 be an isomorphism of g-modules. Show that φ−1 : V2 → V1 is also a morphism of g-modules.

Kết quả (Việt) 1:

6 các lý thuyết biểu diễnTrong phần này, chúng tôi giới thiệu đại diện của đại số Lie. Để đơn giản, chúng tôi sẽ giả định rằngg là một đại số Lie phức tạp.6.1 đại diện của đại số LieCho g là một đại số Lie và V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Một đại diện của g là một phép đồng cấu Lie algebras ρ: g → gl (V).Ví dụ 6.1. Nếu g là đại số Lie của một nhóm Lie, sau đó bổ đề 3,18 nói rằng quảng cáo là một đại diện của g.6.2 các mô-đunNhư trong các tài liệu, chúng tôi thường sử dụng ngôn ngữ tương đương của các mô-đun. Một mô-đun g là một không gian vectơ V cùng với một bản đồ bilinear hành động • − −: g × V → V sao cho[X, Y] • v = X • (Y • v) − Y • (X • v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.Tập thể dục 6.2. Hãy để ρ: g → gl (V) là một đại diện. Hiển thị V là một mô-đun g với hành động bản đồX • v = ρ(X)(v). Ngược lại, nếu V là một mô-đun g, xác định ρ: g → kết thúc (V) bởi ρ(X)(v) = X • v.Hiển thị rằng ρ là thực sự là một đại diện. Kiểm tra rằng điều này định nghĩa một tương đương tự nhiên giữag-đại diện và g-mô-đun.Nhận xét 6.3. Đối với những người bạn của những người cảm thấy thoải mái với ngôn ngữ của thể loại, cả hai repre-sentations của một lời nói dối đại số g và bộ sưu tập của tất cả các danh mục mẫu g-mô-đun; trong thực tế, họ là abelian thể loại. Sau đó tập thể dục 6.2 thực sự nói rằng các loại hai là tương đương.6.3 morphismsMorphism g-mô-đun là một bản đồ tuyến tính φ: V1 → V2 như vậy đó φ (X • v) = X • φ(v) cho tất cả X ∈ gvà v ∈ V tức là φ commutes với hành động của g.Nếu φ: V1 → V2 là một morphism khả nghịch g-mô-đun sau đó φ được gọi là một đẳng cấu củag-mô-đun.Tập thể dục 6.4. Hãy để φ: V1 → V2 là một đẳng cấu g-mô-đun. Hiển thị φ−1 rằng: V2 → V1 cũng là một morphism g-mô-đun.

Kết quả (Việt) 2:

6 Đại diện lý thuyết
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu đại diện của các đại số Lie. Để đơn giản, chúng ta sẽ cho rằng
g là một đại số Lie phức tạp.

6.1 Đại diện của đại số Lie
Hãy g là một đại số Lie và V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Một đại diện của g là một đồng cấu của đại số Lie ρ:. G → gl (V)
Ví dụ 6.1. Nếu g là các đại số Lie của một nhóm Lie, sau đó bổ đề 3.18 nói rằng quảng cáo là một đại diện của g.

6.2 Modules
Như trong văn học, chúng tôi sẽ thường xuyên sử dụng các ngôn ngữ tương đương của các module. Một g-module là một không gian vector V kèm theo bản đồ hành động Bilinear - • -: g × V → V mà
[X, Y] • v = X • (Y • v) - Y • (X • v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.
tập thể dục 6.2. Hãy ρ: g → gl (V) là một đại diện. Chứng minh rằng V là một g-đun với bản đồ hành động
X • v = ρ (X) (v). Ngược lại, nếu V là một g-mô-đun, xác định ρ:. G → End (V) bằng ρ (X) (v) = X • v
Hiện ρ mà thực sự là một đại diện. Kiểm tra này xác định một tương đương tự nhiên giữa
g-đoan và g-mô-đun.
Ghi chú 6.3. Đối với những người bạn của những người cảm thấy thoải mái với ngôn ngữ thể loại, cả sentations diện của một đại số Lie g và các bộ sưu tập của tất cả các loại hình thức g mô-đun; trên thực tế chúng là các loại giao hoán. Sau đó, tập thể dục 6.2 đang thực sự nói rằng hai loại này là tương đương.

6.3 Morphisms
Một cấu xạ của g-mô-đun là một bản đồ φ tuyến tính: V1 → V2 mà φ (X • v) = X • φ (v) cho tất cả các X ∈ g
và v ∈ V tức là φ đi lại với những hành động của g.
Nếu φ: V1 → V2 là một cấu xạ nghịch của g-module sau đó φ được cho là một đẳng cấu của
. g-module
Tập thể dục 6.4. Hãy φ: V1 → V2 là một đẳng cấu của g-mô-đun. Chứng minh rằng φ-1: V2 → V1 cũng là một cấu xạ của g-mô-đun.