5.1.IntroductionThe probabilistic m

5.1.
Introduction
The probabilistic method is a technique for analyzing the properties of the elements
ofasetbyintroducingaprobabilityspaceoverthissetandthenstudyingarandomly
chosen element. The majority of its applications have been to combinatorial and
graph theory problems.
5.2.
Using Probability To Prove Existence
Suppose that we are interested in proving that there is an element of a set S that has a
certain specified characteristic. One way to accomplish this is to consider a random
element X of S, and then show that the probability that X has the characteristic is
positive. This latter step is usually accomplished by showing that the probability
of the complementary event, that X does not have the characteristic, is less than 1.
Example 5.2a
Suppose that each of the
_ _
n
2
edges in the complete graph on
n vertices is to be painted either red or blue. A question of interest is, for a fixed
integer k, to determine conditions on k and n that make it possible to color the
edges so that no set of k vertices has all of its
_ _
k
2
connecting edges the same color.
To obtain such conditions suppose that each edge is, independently, equally
likely to be colored either red or blue. Now, number the
_ _
n
k
sets of k vertices, and
let, for i
=
1
,...,
_ _
n
k
,
E be the event that all of the connecting edges of the ith
i
set of k vertices are the same color. Because each of the
_ _
k
2
connecting edges of a
set of k vertices is equally likely to be either red or blue, it follows that
P(E )
i
=
2(1
/
2)
k(k
−
1)
/
2
151



152
5
The Probabilistic Method
Therefore,
P
_
_
i
E
i
_
≤
_
i
P(E )
i
=
_ _
n
k
2(1
/
2)
k(k
−
1)
/
2
Hence, if
_ _
n
k
2(1
/
2)
k(k
−
1)
/
2
<
1
then the probability that at least one of the sets of k vertices has all of its connecting
edges the same color is less than 1. However, this implies that there is a positive
probability that no set of k vertices has all of its connecting edges the same color,
implying that there is at least one coloring that yields this result.
✷
Example 5.2b
The Result of a Round-Robin Tournament.
A
round-robin tournament of n contestants is one in which each of the
_ _
n
2
pairs
of contestants play each other exactly once, with the outcome of any play being
that one of the contestants wins and the other loses. For a fixed integer k
,
k
<
n
,
a problem of interest is to specify a sufficient condition on k and n that makes it
is possible for the tournament outcome to have the property that for every set of k
players there is a player who beats each member of this set.
To determine such a sufficient condition, suppose that the outcomes of different
games are independent and that each game is equally likely to be won by either
contestant. Now, if A is the event that for every set of k players there is a player
who beats each member of this set, then A
c
is the event that there exists a set
of k players such that no contestant beats each member of this set. Thus, if we
arbitrarily number the
_ _
n
k
sets of size k, and let B denote the event that no one
i
beats all k members of the ith set, then
P(A )
c
=
P
_
_
i
B
i
_
≤
_
i
P(B )
i
Now, the probability that any specified player not in the ith set does not beat all
members of this set is 1
−
(1
/
2)
k
.
Thus, by independence,
P(B )
i
=
[1
−
(1
/
2)
k n
]
−
k
which implies that
P(A )
c
≤
_ _
n
k
[1
−
(1
/
2)
k n
]
−
k



5.3.
Obtaining Bounds from Expectations
153
Hence, if
_ _
n
k
[1
−
(1
/
2)
k n
]
−
k
<
1
then there is a positive probability that the outcome of the tournament has the
desired property, thus showing that such an outcome is possible.
✷
5.3.
Obtaining Bounds from Expectations
Let f be a function on the elements of a finite set S, and suppose that we are
interested in
m
=
max
s
∈
S
f (s)
Useful lower bounds can often be obtained by letting X be a random element
of S for which the expected value of f (X) is computable, and then noting that
m
≥
f (X) implies that
m
≥
E[ f (X)]
with strict inequality if f (X) is not a constant random variable.
Example 5.3a
The k of r out of n circular reliability system k
≤
r
≤
n
consists of n components, each of which is either functioning or failed, that are
arranged in a circular fashion. The system itself is said to be functional if there is no
block of r consecutive components of which at least k are failed. Show that there
is no way to arrange 47 components, 8 of which are failed, to make a functional 3
of 12 out of 47 circular system.
Solution:
We must show that for any ordering of the 47 components there
is a block of 12 consecutive components that contain at least 3 failures. Thus,
consider any ordering, and randomly choose a component in such a manner
that each of the 47 components is equally likely to be chosen. Now, consider
that component along with the next 11 when moving in a clockwise manner
and let X denote the number of failures in that group of 12. To determine E[X],
arbitrarily number the eight failed components and let, for i
=
1
,...,
8
,
X
i
=
_
1
,
if failed component i is among the group of 12 components
0
,
otherwise



154
5
The Probabilistic Method
Then,
X
=
8
_
i
=
1
X
i
and so
E[X]
=
8
_
i
=
1
E[X ]
i
Because X
i
will equal 1 if the randomly selected component is either failed
component number i or any of its 11 neighboring components in the counter-
clockwise direction, it follows that E[X ]
i
=
12
/
47
.
Hence,
E[X]
=
8(12
/
47)
=
96
/
47
Because E[X]
>
2
it follows that there is at least one possible set of 12
consecutive components that contain at least three failures.
✷
Example 5.3b
The Maximum Number of Hamiltonian Paths
in a Tournament.
Consider a round-robin tournament of n
>
2
contestants
(see Example 5
.
2b for a definition), and suppose that the players are numbered
1
,
2
,
3
,...,
n
.
The permutation i
1
,
i
2
,...,
i
n
is said to be a Hamiltonian path if
i
1
beats i
2
,
i
2
beats i
3
,...,
and i
n
−
1
beats i
n
.
A problem of some interest is to
determine the largest possible number of Hamiltonian paths.
As an illustration, suppose that there are three players. If one of them wins twice,
then there is a single Hamiltonian path (for instance, if 1 wins twice and 2 beats 3
then the only Hamiltonian path is 1
,
2
,
3);
on the other hand, if each of the players
wins once, there are three Hamiltonian paths (for instance, if 1 beats 2, 2 beats
3, and 3 beats 1, then 1
,
2
,
32
,
3
,
1
,
and 3
,
1
,
2
,
are all Hamiltonians). Hence,
when n
=
3, there is a maximum of three Hamiltonian paths.
We now show that there is an outcome of the tournament that results in more
than n!
/
2
n
−
1
Hamiltonian paths. To do so, let us suppose that the results of the
_ _
n
2
games are independent, with each contestant being equally likely to win each
encounter. Let X denote the number of Hamiltonian paths that result. To determine
E[X]
,
number the n! permutations, and for i
=
1
,...,
n! let
X
i
=
_
1
,
if permutation i is a Hamiltonian
0
,
otherwise
Because
X
=
_
i
X
i



5.3.
Obtaining Bounds from Expectations
155
it follows that
E[X]
=
_
i
E[X ]
i
However, as the probability that any specified permutation is a Hamiltonian is, by
the assumed independence of game outcomes, (1
/
2)
n
−
1
,
it follows that
E[X ]
i
=
P
{
X
1
=
1
}=
(1
/
2)
n
−
1
Therefore,
E[X]
=
n!(1
/
2)
n
−
1
which, as X is not a constant random variable, implies that there is an outcome of
the tournament having more than n!
/
2
n
−
1
Hamiltonian paths.
✷
In our previous examples the random element X of the set S was equally likely
to be any of the elements of S. However, as indicated in our next two examples,
we can sometimes obtain better results by choosing a different distribution for X.
Example 5.3c
The Maximum Cut Problem.
Consider the complete
graph on the vertices
{
1
,...,
n
}
,
where n
=
2
k is even, and suppose that for each
pair of distinct vertices i
=
j we are given a nonnegative number c(i
,
j)
=
c( j
,
i)
that we shall call the capacity of the edge (i
,
j). Any partition of the vertices into
nonempty sets X and X , is called a cut. The quantity
c
c(X
,
X )
c
=
_
i
∈
X j
_
∈
X
c
c(i
,
j)
equal to the sum of the capacities of all edges having one vertex in X and the other
in X
c
,
is called the capacity of the cut X
,
X . Let
c
m
=
max c(X
X
,
X )
c
be the maximal cut capacity, and suppose that we want to determine a lower bound
for m.
To obtain a lower bound, first consider the problem of dividing the vertices into
disjoint pairs so as to maximize the sum of the capacities of the k pairs. That is,
for a partition M of the vertices into k pairs, let
c(M)
=
_
(i
,
j)
∈
M
c(i
,
j)



156
5
The Probabilistic Method
and let M
∗
be such that
max c(M)
M
=
c(M )
∗
Also, let C
=

i
<
j
c(i
,
j) denote the sum of all the edge capacities.
✷
Proposition 5.3.1
m
≥
C
/
2
+
c(M )
∗
/
2
Proof
Let (i
r
,
j )
r
,
r
=
1
,...,
k
,
be the pairs of M , and suppose that one
∗
member from each pair is independently and randomly chosen. Let X consist of
the k randomly chosen vertices, and X
c
consist of the others. Then, let
I(i
,
j)
=
_
0
,
if i
∈
X
,
j
∈
X
or
i
∈
X
c
,
j
∈
X
c
1
,
otherwise
That is, I(i
,
j) is equal to 1 if i and j are not both in X or in X . Consequently,
c
we have
c(X
,
X )
c
=
_ _
j
i
<
j
c(i
,
j)I(i
,
j)
implying that
E[c(X
,
X )]
c
=
_ _
j
i
<
j
c(i
,
j)E[I(i
,
j)]
=
_ _
j
i
<
j
c(i
,
j)P
{
I(i
,
j)
=
1
}
However,
P
{
I(i
,
j)
=
1
}=
_
1
,
if (i
,
j)
∈
M
∗
1
/
2
,
if (i
,
j)
/
∈
M
∗
and the result follows as m
≥
E[C(X
,
X )].
c
✷
5.4.
The Maximum Weighted Independent Set Problem:
A Bound and a Random Algorithm
Consider a graph with vertex set
{
1
,...,
n
}
,
and call a set of vertices independent
if no pair of vertices in this set are adjacent, where we say that two edges i and j are
adjacent if (i
,
j) is an edge ofthe graph. For instance, for the graph of Figure 5.1, the



5.4.
The Maximum Weighted Independent Set Problem
157
6
5
3
4
2
1
Figure 5.1.
1
2
3
4
5
6
Figure 5.2.
set of vertices
{
2

Kết quả (Việt) 1:

5.1.Giới thiệuCác phương pháp xác suất là một kỹ thuật cho việc phân tích các thuộc tính của các yếu tốofasetbyintroducingaprobabilityspaceoverthissetandthenstudyingarandomlyphần tử được lựa chọn. Phần lớn các ứng dụng của nó đã đến tổ hợp vàvấn đề lý thuyết đồ thị.5.2.Sử dụng xác suất để chứng minh sự tồn tạiGiả sử rằng chúng tôi đang quan tâm trong chứng minh là có một phần tử của một tập hợp S có mộtmột số đặc tính specified. Một cách để thực hiện việc này là để xem xét một ngẫu nhiênphần tử X của S, và sau đó cho thấy xác suất rằng X có đặc tính làtích cực. Bước thứ hai này thường được thực hiện bằng cách hiển thị mà xác suấtcủa sự kiện bổ sung, X rằng không có các đặc tính, là ít hơn 1.Ví dụ 5.2aGiả sử rằng mỗi của các_ _n2cạnh trong đồ thị đầy đủ ngàyn đỉnh là phải được sơn màu đỏ hoặc màu xanh. Một câu hỏi quan tâm là, đối với một fixedsố nguyên k, để xác định điều kiện về k và n mà làm cho nó có thể để màu sắc cácđa cung để không có tập các k đỉnh có tất cả của nó_ _k2kết nối đa cung cùng một màu sắc.Để có được điều kiện như vậy giả sử rằng mỗi cạnh là, độc lập, như nhaukhả năng là màu đỏ hoặc màu xanh. Bây giờ, số các_ _nkbộ k đỉnh, vàcho phép, cho tôi=1,...,_ _nk,E là sự kiện rằng tất cả các cạnh kết nối của ithtôitập hợp các k đỉnh có cùng màu. Bởi vì mỗi người trong số các_ _k2kết nối các cạnh của mộttập hợp các đỉnh k là như nhau có khả năng là một trong hai màu đỏ hoặc màu xanh, nó sau đóP (E)tôi=2 (1./2)k (k−1)/2151 1525Các phương pháp xác suấtDo đó,P__tôiEtôi_≤_tôiP (E)tôi=_ _nk2 (1./2)k (k−1)/2Do đó, nếu_ _nk2 (1./2)k (k−1)/2<1sau đó xác suất đó ít nhất một bộ đỉnh k có tất cả các kết nốicạnh cùng màu là ít hơn 1. Tuy nhiên, điều này có nghĩa là có một tích cựcxác suất rằng không có bộ k đỉnh có tất cả các kết nối đa cung cùng màu,ngụ ý là có ít nhất một màu mang lại kết quả này.✷Ví dụ 5.2bKết quả của một giải đấu vòng tròn.Agiải đấu vòng tròn n thí sinh là một trong đó mỗi của các_ _n2Cặpthí sinh chơi nhau đúng một lần, với kết quả của bất kỳ người chơilà một trong những thí sinh thắng và khác mất. Cho một fixed số nguyên k,k<n,một vấn đề quan tâm là để chỉ định một điều kiện sufficient trên k và n mà làm cho nócó thể cho kết quả giải đấu có tài sản mà cho mọi tập kngười chơi có là một cầu thủ người nhịp đập mỗi thành viên của nhóm này.Để xác định một điều kiện sufficient, giả sử rằng các kết quả khác nhautrò chơi là độc lập và rằng mỗi trò chơi là như nhau có khả năng để được chiến thắng bởi một trong haithí sinh. Bây giờ, nếu A là sự kiện cho mỗi bộ k người chơi có là một cầu thủngười nhịp đập mỗi thành viên trong tập này, sau đó Aclà sự kiện rằng có tồn tại một tập hợpcủa người chơi k như vậy mà không có thí sinh nhịp đập mỗi thành viên của điều này thiết lập. Vì vậy, nếu chúng tôitự ý số các_ _nkbộ kích thước k, và cho B biểu thị sự kiện mà không aitôinhịp đập tất cả các thành viên k của thứ i thiết, sau đóP (A)c=P__tôiBtôi_≤_tôiP (B)tôiBây giờ, xác suất rằng bất kỳ cầu thủ specified không nằm trong định ith không đánh bại tất cảCác thành viên của nhóm này là 1−(1/2)k.Như vậy, bởi độc lập,P (B)tôi=[1−(1/2)k n]−kmà ngụ ý rằngP (A)c≤_ _nk[1−(1/2)k n]−k 5.3.Có được giới hạn từ sự mong đợi153Do đó, nếu_ _nk[1−(1/2)k n]−k<1sau đó, có một xác suất tích cực mà kết quả của giải đấu có cáctài sản mong muốn, do đó hiển thị một kết quả như vậy là có thể.✷5.3.Có được giới hạn từ sự mong đợiCho f là một hàm trên các yếu tố của bộ finite S, và giả sử rằng chúng tôi làquan tâm đếnm=tối đas∈Sf (s)Hữu ích thấp hơn giới hạn thường có thể được thu được bằng cách cho phép X là một yếu tố ngẫu nhiênS mà giá trị kỳ vọng của f (X) là computable, và sau đó lưu ý rằngm≥f (X) ngụ ý rằngm≥E [f (X)]với bất đẳng thức chặt chẽ nếu f (X) không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục.Ví dụ 5.3aK r ra khỏi n độ tin cậy thông tư hệ thống k≤r≤nbao gồm n thành phần, mỗi trong số đó là hoạt động hoặc không thành công, đó làsắp xếp trong một thời trang tròn. Hệ thống chính nó được gọi là chức năng, nếu có là không cókhối r liên tiếp thành phần trong đó lúc ít nhất k được thất bại. Hiển thị đó cókhông có cách nào để sắp xếp thành phần 47, 8 trong đó thất bại, để làm cho một 3 chức năng12 trong số 47 thông tư hệ thống.Giải pháp:Chúng tôi phải thấy rằng đối với bất kỳ thứ tự của các thành phần 47 cólà một khối 12 liên tiếp thành phần có chứa ít nhất 3 thất bại. Do đó,xem xét bất kỳ thứ tự, và chọn ngẫu nhiên một thành phần như vậy một cáchrằng mỗi thành phần 47 có khả năng như nhau được chọn. Bây giờ, xem xétthành phần đó cùng với 11 sau khi di chuyển theo chiều kim đồng hồvà để cho X biểu thị số thất bại trong các nhóm đó 12. Để xác định E [X],tự ý số tám thành phần không thành công và để cho, cho tôi=1,...,8,Xtôi=_1,Nếu không thành phần tôi là một trong nhóm của 12 thành phần0,Nếu không 1545Các phương pháp xác suấtSau đó,X=8_tôi=1Xtôivà như vậyE [X]=8_tôi=1E [X]tôiBởi vì Xtôisẽ bằng 1 nếu các thành phần lựa chọn ngẫu nhiên hoặc không thành côngthành phần số tôi hoặc bất kỳ của nó 11 lân cận thành phần trong số lượt truy cập-chiều kim đồng, nó sau đó E [X]tôi=12/47.Do đó,E [X]=8 (12/47)=96/47Bởi vì E [X]>2nó sau là có ít nhất một tập thể của 12liên tiếp các thành phần có chứa ít nhất ba thất bại.✷Ví dụ 5.3bSố lượng tối đa của đường đi Hamiltontrong một giải đấu.Xem xét một giải đấu vòng tròn n>2thí sinh(xem ví dụ 5.2B cho một definition), và giả sử rằng các cầu thủ được đánh số1,2,3,...,n.Các hoán vị tôi1,tôi2,...,tôinđược gọi là một con đường Hamilton nếutôi1nhịp đập tôi2,tôi2nhịp đập tôi3,...,và tôin−1nhịp đập tôin.Một vấn đề của một số lợi ích làxác định số lớn nhất có thể của đường đi Hamilton.Như là một minh hoạ, giả sử rằng hiện có ba người chơi. Nếu một trong số họ thắng hai lần,sau đó có là một con đường Hamilton duy nhất (ví dụ, nếu 1 thắng hai lần và 2 nhịp đập 3sau đó đường Hamilton chỉ là 1,2,3);mặt khác, nếu mỗi của các cầu thủthắng một lần, có ba đường dẫn Hamilton (ví dụ, nếu 1 nhịp đập 2, 2 nhịp đập3, và 3 nhịp đập 1, sau đó 1,2,32,3,1,và 3,1,2,là tất cả Hamiltonians). Do đó,khi n=3, có là một tối đa là ba Hamilton đường dẫn.Chúng tôi bây giờ chỉ là một kết quả của giải đấu mà kết quả trong nhiều hơn nữaso với n!/2n−1Đường đi Hamilton. Để làm như vậy, chúng ta hãy giả sử rằng các kết quả của các_ _n2trò chơi được độc lập, với mỗi thí sinh được bình đẳng với khả năng để giành chiến thắng mỗicuộc gặp gỡ. X để biểu thị số đường dẫn Hamilton dẫn đến. Để xác địnhE [X],số n! hoán vị, và cho tôi=1,...,n! để choXtôi=_1,Nếu hoán vị tôi là một Hamilton.0,Nếu khôngBởi vìX=_tôiXtôi 5.3.Có được giới hạn từ sự mong đợi155nó sau đóE [X]=_tôiE [X]tôiTuy nhiên, là khả năng mà bất kỳ specified hoán vị là một Hamilton là, bởisự độc lập giả của kết quả trò chơi, (1/2)n−1,nó sau đóE [X]tôi=P{X1=1}=(1/2)n−1Do đó,E [X]=n! (1/2)n−1mà, như X không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục, nó là một kết quả củaCác giải đấu có nhiều hơn n!/2n−1Đường đi Hamilton.✷Trong ví dụ trước chúng tôi ngẫu nhiên phần tử X của S đã có khả năng như nhaulà bất kỳ của các yếu tố của S. Tuy nhiên, như được chỉ định của chúng tôi tiếp theo hai ví dụ,chúng ta đôi khi có thể có được kết quả tốt hơn bằng cách chọn một phân phối khác nhau cho X.Ví dụ 5.3cTối đa cắt vấn đề.Xem xét hoàn thànhCác đồ thị trên các đỉnh{1,...,n},trong trường hợp n=2k là số chẵn, và giả sử rằng cho mỗicặp khác biệt đỉnh tôi =j, chúng tôi có được một số vô c (i,j)=c (j,i)chúng tôi sẽ gọi cho năng lực của các cạnh (i,j). phân vùng nào của các đỉnh thànhnonempty bộ X và X, được gọi là một cắt giảm. Số lượngcc (X,X)c=_tôi∈X j_∈Xcc (i,j)tương đương với tổng dung lượng của tất cả các cạnh có một đỉnh trong X và kháctrong Xc,được gọi là năng lực của việc cắt giảm X,X. Để chocm=tối đa c (XX,X)clà tối đa cắt công suất, và giả sử rằng chúng tôi muốn xác định một ràng buộc thấp hơncho m.Để có được một ràng buộc thấp hơn, vòng xem xét vấn đề phân chia các đỉnh thànhcác cặp để tối đa hóa tổng khả năng của các cặp k. Đó làĐối với phân vùng M của đỉnh thành từng cặp k, cho phépc(M)=_(i,j)∈Mc (i,j) 1565Các phương pháp xác suấtvà để cho M∗như vậy màtối đa c(M)M=c (M)∗Ngoài ra, hãy để C= tôi<jc (i,j) biểu thị tổng của tất cả các khả năng edge.✷Döï Luaät 5.3.1m≥C/2+c (M)∗/2Bằng chứngCho (ir,j)r,r=1,...,k,là các cặp M, và giả sử rằng một∗thành viên từ mỗi cặp một cách độc lập và ngẫu nhiên được lựa chọn. Cho X bao gồmk ngẫu nhiên được lựa chọn đỉnh và Xcbao gồm những người khác. Sau đó, choTôi (i,j)=_0,Nếu tôi∈X,j∈Xhoặctôi∈Xc,j∈Xc1,Nếu khôngCó nghĩa là, tôi (i,j) là bằng 1 nếu i và j đều không trong X hoặc trong X. Do đó,cChúng tôi cóc (X,X)c=_ _jtôi<jc (i,j) tôi (i,j)ngụ ý rằngE [c (X,X)]c=_ _jtôi<jc (i,j) E [I (i,j)]=_ _jtôi<jc (i,j) P{Tôi (i,j)=1}Tuy nhiên,P{Tôi (i,j)=1}=_1,Nếu (i,j)∈M∗1/2,Nếu (i,j)/∈M∗và kết quả sau nhiề≥E [C (X,X )].c✷5.4.Tối đa trọng vấn đề thiết lập độc lập:Một ràng buộc và một thuật toán ngẫu nhiênXem xét một đồ thị với đỉnh{1,...,n},và gọi cho một tập hợp các đỉnh độc lậpNếu không có cặp đỉnh trong thiết lập này là bên cạnh, nơi chúng tôi nói rằng hai cạnh tôi và j làliền kề nếu (i,j) là một cạnh của đồ thị. Ví dụ, cho đồ thị con số 5.1, các 5.4.Tối đa trọng vấn đề thiết lập độc lập157 6 5 3 4 2 1Con số 5.1. 1 2 3 4 5 6Con số 5,2.tập hợp các đỉnh{2

Kết quả (Việt) 2:

5.1.
Giới thiệu
Phương pháp xác suất là một kỹ thuật để phân tích các tính chất của các nguyên tố
ofasetbyintroducingaprobabilityspaceoverthissetandthenstudyingarandomly
chọn phần tử. Phần lớn các ứng dụng của nó đã đến và kết hợp
các vấn đề lý thuyết đồ thị.
5.2.
Sử dụng Xác suất để chứng minh tồn
Giả sử rằng chúng ta quan tâm trong việc chứng minh rằng có một phần tử của một tập S có một
số đặc hiệu đặc trưng fi ed. Một cách để thực hiện điều này là để xem xét một cách ngẫu nhiên
nguyên tố X của S, và sau đó cho thấy rằng xác suất mà X có đặc tính là
tích cực. Bước thứ hai này thường được thực hiện bằng cách cho thấy rằng xác suất
của sự kiện bổ sung, X mà không có đặc điểm, ít hơn 1.
Ví dụ 5.2a
Giả sử rằng mỗi
_ _
n
2
cạnh của đồ thị đầy đủ về
n đỉnh là được sơn hai màu đỏ hoặc màu xanh. Một câu hỏi quan tâm là, đối với một fi cố định
số nguyên k, để xác định điều kiện về k và n mà làm cho nó có thể để tô màu
các cạnh để không tập hợp các k đỉnh có tất cả của nó
_ _
k
2
cạnh kết nối cùng một màu sắc.
Để có được điều kiện như vậy giả sử rằng mỗi cạnh là, độc lập, bình đẳng
có thể được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Bây giờ, số lượng các
_ _
n
k
bộ k đỉnh, và
để cho, cho i
=
1
, ...,
_ _
n
k
,
E là sự kiện rằng tất cả các cạnh kết nối của ith
i
đặt của k đỉnh là cùng một màu sắc. Bởi vì mỗi người trong số các
_ _
k
2
kết nối các cạnh của một
tập hợp các k đỉnh là đều có khả năng là một trong hai màu đỏ hoặc màu xanh, nó sau đó
P (E)
i
=
2 (1
/
2)
k (k
-
1)
/
2
151 152 5 Phương pháp xác suất Do đó, P _ _ i E i _ ≤ _ i P (E) i = _ _ n k 2 (1 / 2) k (k - 1) / 2 Do đó, nếu _ _ n k 2 ( 1 / 2) k (k - 1) / 2 < 1 thì xác suất mà ít nhất là một trong những bộ k đỉnh có tất cả các kết nối của nó cạnh cùng màu là nhỏ hơn 1. Tuy nhiên, điều này hàm ý rằng có một tích cực xác suất mà không có bộ k đỉnh có tất cả các cạnh kết nối của nó cùng một màu sắc, ngụ ý rằng có ít nhất một màu mà không đạt kết quả này. ✷ Ví dụ 5.2b Các kết quả của một giải đấu Round-Robin. Một giải đấu vòng tròn một lượt của n thí sinh là một trong đó mỗi _ _ n 2 cặp thí sinh chơi nhau đúng một lần, với kết quả của bất kỳ chơi là một trong những thí sinh thắng và thua khác. Đối với một số nguyên k fi cố định , k < n , một vấn đề quan tâm là phải xác định một điều kiện rừng đặc dụng fi cient trên k và n mà làm cho nó có thể cho kết quả giải đấu để có các tài sản đó cho mỗi bộ k chơi có một cầu thủ người đập mỗi thành viên của bộ này. Để xác định một điều kiện cient rừng đặc dụng fi như vậy, giả sử rằng các kết quả khác nhau của trò chơi là độc lập và mỗi trò chơi là đều có khả năng để được chiến thắng bởi một trong hai thí sinh. Bây giờ, nếu A là sự kiện rằng đối với mỗi tập hợp các cầu thủ k có một cầu thủ người nhịp đập mỗi thành viên trong tập này, sau đó A c là sự kiện rằng có tồn tại một tập của các cầu thủ k như vậy mà không có thí sinh nhịp đập mỗi thành viên của bộ này . Vì vậy, nếu chúng ta đánh số tùy ý các _ _ n k bộ kích thước k, và để cho B biểu thị sự kiện mà không ai i nhịp đập tất cả các thành viên k của tập thứ i, sau đó P (A) c = P _ _ i B i _ ≤ _ i P (B) i Bây giờ, xác suất mà bất cứ cầu thủ fi ed Speci không có trong bộ thứ i không đánh bại tất cả các thành viên của bộ này là 1 - (1 / 2) k . Vì vậy, bằng cách độc lập, P (B) i = [ 1 - (1 / 2) kn ] - k trong đó hàm ý rằng P (A) c ≤ _ _ n k [1 - (1 / 2) kn ] - k 5.3. Lấy Bounds từ Expectations 153 Do đó, nếu _ _ n k [1 - (1 / 2) kn ] - k < 1 thì có một xác suất tích cực rằng kết quả của giải đấu đã vào . tài sản mong muốn, do đó cho thấy một kết quả như vậy là có thể ✷ . 5.3 Lấy Bounds từ Expectations Cho f là một chức năng trên các yếu tố của một fi nite tập S, và giả sử rằng chúng ta đang quan tâm đến m = max s ∈ S f (s) cận dưới viết thường có thể thu được bằng cách cho phép X là một yếu tố ngẫu nhiên của S mà giá trị kỳ vọng của f (X) là tính toán, và sau đó lưu ý rằng m ≥ f (X) ngụ ý rằng m ≥ E [f (X)] với bất bình đẳng nghiêm ngặt nếu f (X) không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ 5.3a Các k của r ra khỏi n tròn hệ thống tin cậy k ≤ r ≤ n bao gồm các thành phần n, mỗi trong số đó là một trong hai chức năng hoặc không thành công, được bố trí trong một hình tròn. Bản thân hệ thống được cho là chức năng nếu không có khối các thành phần r liên tiếp trong đó có ít nhất k được thất bại. Hiển thị rằng có là không có cách nào để sắp xếp 47 thành phần, 8 trong số đó được không, để thực hiện một chức năng 3 của 12 trong số 47 hệ thống vòng tròn. Giải pháp: Chúng ta phải thấy rằng đối với bất kỳ thứ tự của 47 thành phần có là một khối 12 liên tiếp các thành phần có chứa ít nhất 3 thất bại. Vì vậy, xem xét bất kỳ đặt hàng, và chọn ngẫu nhiên một thành phần trong một cách thức mà mỗi thành phần là 47 đều có khả năng được chọn. Bây giờ, hãy xem xét thành phần đó cùng với sự tiếp theo 11 khi di chuyển một cách chiều kim đồng hồ và để cho X biểu thị số thất bại trong nhóm 12. Để xác định E [X], tùy tiện thứ tám thành phần thất bại và để cho, cho i = 1 , ..., 8 , X i = _ 1 , nếu thành phần thất bại tôi là một trong những nhóm của 12 thành phần 0 , nếu không 154 5 Phương pháp xác suất Sau đó, X = 8 _ i = 1 X i và do đó E [X] = 8 _ i = 1 E [X] i Vì X i sẽ bằng 1 nếu các thành phần được lựa chọn ngẫu nhiên hoặc là thất bại số thành phần i hoặc bất kỳ của 11 thành phần lân cận của nó trong đối ứng chiều kim đồng hồ, nó sau đó E [X] i = 12 / 47 . Do đó, E [X] = 8 (12 / 47) = 96 / 47 Bởi vì E [X] > 2 nó sau đó có ít nhất một tập thể của 12 thành phần liên tiếp có chứa ít nhất ba thất bại. ✷ Ví dụ 5.3b Các Số lượng tối đa của Hamiltonian Paths trong một giải đấu. Hãy xem xét một giải đấu vòng tròn một lượt của n > 2 thí sinh (xem Ví dụ 5 . 2b cho một định nghĩa fi de), và giả sử rằng các cầu thủ được đánh số 1 , 2 , 3 , .. ., n . Các hoán vị i 1 , i 2 , ..., i n được cho là một con đường Hamilton nếu i 1 nhịp i 2 , i 2 nhịp i 3 , ..., và i n - 1 nhịp đập i n . Một vấn đề của một số quan tâm là để xác định số lượng lớn nhất có thể có của con đường Hamilton. Như một minh họa, giả sử rằng có ba cầu thủ. Nếu một trong số họ thắng hai lần, sau đó có một con đường Hamilton duy nhất (ví dụ, nếu 1 trận thắng hai lần và 2 nhịp 3 thì chỉ có con đường Hamilton là 1 , 2 , 3); mặt khác, nếu mỗi người chơi thắng một lần, có ba con đường Hamilton (ví dụ, nếu 1 nhịp 2, 2 nhịp 3, và 3 nhịp 1, sau đó 1 , 2 , 32 , 3 , 1 , 3 , 1 , 2 , tất cả đều Hamilton). Do đó, khi n = 3, có tối đa là ba con đường Hamilton. Bây giờ chúng ta thấy rằng có một kết quả của các giải đấu mà kết quả trong nhiều hơn n! / 2 n - 1 đường Hamilton. Để làm như vậy, chúng ta hãy giả sử rằng các kết quả của _ _ n 2 trò chơi là độc lập, với mỗi thí sinh được đều có khả năng để giành chiến thắng mỗi cuộc gặp gỡ. Cho X biểu thị số lượng đường đi Hamilton là kết quả. Để xác định E [X] , số n! hoán vị, và cho i = 1 , ..., n! hãy X i = _ 1 , nếu hoán vị tôi là một Hamiltonian 0 , nếu không vì X = _ i X i 5.3. Lấy Bounds từ Expectations 155 nó sau đó E [X] = _ i E [X] i Tuy nhiên, khi xác suất rằng bất kỳ Speci fi ed hoán vị là một Hamiltonian là, bởi sự độc lập giả định kết quả trận đấu, (1 / 2) n - 1 , nó sau đó E [X] i = P { X 1 = 1 } = (1 / 2) n - 1 Vì vậy, E [X] = n (1! / 2) n - 1 trong đó, như X không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục, ngụ ý rằng có một kết quả của các giải đấu có nhiều hơn n! / 2 n - 1 đường dẫn Hamiltonian . ✷ Trong ví dụ trước của chúng tôi các yếu tố ngẫu nhiên X của tập S là đều có khả năng được bất kỳ của các yếu tố của S. Tuy nhiên, như được chỉ ra trong hai ví dụ tiếp theo của chúng tôi, đôi khi chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằng cách chọn một phân phối khác nhau cho X. Ví dụ 5.3c The Cut tối đa vấn đề. Hãy xem xét hoàn chỉnh đồ thị trên đỉnh { 1 , ..., n } , trong đó n = 2 k là chẵn, và giả sử rằng đối với mỗi cặp đỉnh phân biệt i = j chúng tôi có được một số không âm số c (i , j) = c (j , i) mà chúng ta sẽ gọi các năng lực của cạnh (i , j). Bất kỳ phân vùng của các đỉnh vào rỗng đặt X và X, được gọi là cắt. Số lượng c c (X , X) c = _ i ∈ X j _ ∈ X c c (i , j) bằng tổng của các năng lực của tất cả các cạnh có một đỉnh trong X và các khác trong X c , được gọi là năng lực của cắt X , X. Hãy c m = max c (X X , X) c là khả năng cắt giảm tối đa, và giả sử rằng chúng ta muốn xác định một ràng buộc thấp hơn cho m. Để có được một ràng buộc thấp hơn, đầu tiên xem xét các vấn đề về phân chia các đỉnh vào cặp rời nhau vậy để tối đa hóa tổng công suất của các cặp k. Đó là, cho một M chia các đỉnh vào cặp k, c (M) = _ (i , j) ∈ M c (i , j) 156 5 Phương pháp xác suất và để cho M * được như vậy mà max c (M ) M = c (M) * Ngoài ra, hãy để C = i < j c (i , j) biểu thị tổng của tất cả các năng lực cạnh. ✷ Dự 5.3.1 m ≥ C / 2 + c (M) * / 2 Proof Hãy để (i r , j) r , r = 1 , ..., k , là cặp M, và giả sử rằng một * thành viên của mỗi cặp là độc lập và ngẫu nhiên được chọn. Cho X bao gồm các k chọn ngẫu nhiên các đỉnh, và X c bao gồm những người khác. Sau đó, hãy để tôi (i , j) = _ 0 , nếu i ∈ X , j ∈ X hoặc i ∈ X c , j ∈ X c 1 , nếu không thì đó là, I (i , j) là bằng 1 nếu i và j là không được cả hai trong X hoặc X. Do đó, c chúng ta có c (X , X) c = _ _ j i < j c (i , j) I (i , j) ngụ ý rằng E [c (X , X)] c = _ _ j i < j c (i , j) E [I (i , j)] = _ _ j i < j c (i , j) P { I (i , j) = 1 } Tuy nhiên, P { I (i , j) = 1 } = _ 1 , nếu (i , j) ∈ M * 1 / 2 , nếu (i , j) / ∈ M * và kết quả sau khi m ≥ E [C (X , X)]. c ✷ 5.4. Weighted Independent Set Vấn đề tối đa: Một ràng buộc và một ngẫu nhiên Algorithm Hãy xem xét một đồ thị với các đỉnh tập { 1 , ..., n } , và gọi một tập các đỉnh độc lập nếu không có cặp đỉnh trong bộ này đang cận kề, nơi mà chúng tôi nói mà hai cạnh i và j là kề nếu (i , j) là một cạnh ofthe đồ thị. Ví dụ, với đồ thị của hình 5.1, 5.4. Các tối đa trọng độc lập Set Vấn đề 157 6 5 3 4 2 1 Hình 5.1. 1 2 3 4 5 6 Hình 5.2. tập hợp các đỉnh { 2 nếu hoán vị tôi là một Hamiltonian 0 , nếu không vì X = _ i X i 5.3. Lấy Bounds từ Expectations 155 nó sau đó E [X] = _ i E [X] i Tuy nhiên, như các khả năng mà bất kỳ Speci fi ed hoán vị là một Hamiltonian là, bởi sự độc lập giả định kết quả trận đấu, (1 / 2) n - 1 , nó sau đó E [X] i = P { X 1 = 1 } = (1 / 2) n - 1 Vì vậy, E [X] = ! n (1 / 2) n - 1 trong đó, như X không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục, ngụ ý rằng có một kết quả của các giải đấu có nhiều hơn n! / 2 n - 1 . đường dẫn Hamiltonian ✷ Trong ví dụ trước của chúng tôi ngẫu nhiên nguyên tố X của tập S là đều có khả năng được bất kỳ của các yếu tố của S. Tuy nhiên, như được chỉ ra trong hai ví dụ tiếp theo của chúng tôi, đôi khi chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằng cách chọn một phân phối khác nhau cho X. Ví dụ 5.3c Các Maximum Cut Vấn đề . Hãy xem xét hoàn chỉnh đồ thị trên đỉnh { 1 , ..., n } , trong đó n = 2 k là chẵn, và giả sử rằng đối với mỗi cặp đỉnh phân biệt i = j chúng tôi có được một số không âm c (i , j) = c (j , i) mà chúng ta sẽ gọi các năng lực của cạnh (i , j). Bất kỳ phân vùng của các đỉnh vào rỗng đặt X và X, được gọi là cắt. Số lượng c c (X , X) c = _ i ∈ X j _ ∈ X c c (i , j) bằng tổng của các năng lực của tất cả các cạnh có một đỉnh trong X và các khác trong X c , được gọi là năng lực của cắt X , X. Hãy c m = max c (X X , X) c là khả năng cắt giảm tối đa, và giả sử rằng chúng ta muốn xác định một ràng buộc thấp hơn cho m. Để có được một ràng buộc thấp hơn, đầu tiên xem xét các vấn đề về phân chia các đỉnh vào cặp rời nhau vậy để tối đa hóa tổng công suất của các cặp k. Đó là, cho một M chia các đỉnh vào cặp k, c (M) = _ (i , j) ∈ M c (i , j) 156 5 Phương pháp xác suất và để cho M * được như vậy mà max c (M ) M = c (M) * Ngoài ra, hãy để C = i < j c (i , j) biểu thị tổng của tất cả các năng lực cạnh. ✷ Dự 5.3.1 m ≥ C / 2 + c (M) * / 2 Proof Hãy để (i r , j) r , r = 1 , ..., k , là cặp M, và giả sử rằng một * thành viên của mỗi cặp là độc lập và ngẫu nhiên được chọn. Cho X bao gồm các k chọn ngẫu nhiên các đỉnh, và X c bao gồm những người khác. Sau đó, hãy để tôi (i , j) = _ 0 , nếu i ∈ X , j ∈ X hoặc i ∈ X c , j ∈ X c 1 , nếu không thì đó là, I (i , j) là bằng 1 nếu i và j là không được cả hai trong X hoặc X. Do đó, c chúng ta có c (X , X) c = _ _ j i < j c (i , j) I (i , j) ngụ ý rằng E [c (X , X)] c = _ _ j i < j c (i , j) E [I (i , j)] = _ _ j i < j c (i , j) P { I (i , j) = 1 } Tuy nhiên, P { I (i , j) = 1 } = _ 1 , nếu (i , j) ∈ M * 1 / 2 , nếu (i , j) / ∈ M * và kết quả sau khi m ≥ E [C (X , X)]. c ✷ 5.4. Weighted Independent Set Vấn đề tối đa: Một ràng buộc và một ngẫu nhiên Algorithm Hãy xem xét một đồ thị với các đỉnh tập { 1 , ..., n } , và gọi một tập các đỉnh độc lập nếu không có cặp đỉnh trong bộ này đang cận kề, nơi mà chúng tôi nói mà hai cạnh i và j là kề nếu (i , j) là một cạnh ofthe đồ thị. Ví dụ, với đồ thị của hình 5.1, 5.4. Các tối đa trọng độc lập Set Vấn đề 157 6 5 3 4 2 1 Hình 5.1. 1 2 3 4 5 6 Hình 5.2. tập hợp các đỉnh { 2 nếu hoán vị tôi là một Hamiltonian 0 , nếu không vì X = _ i X i 5.3. Lấy Bounds từ Expectations 155 nó sau đó E [X] = _ i E [X] i Tuy nhiên, như các khả năng mà bất kỳ Speci fi ed hoán vị là một Hamiltonian là, bởi sự độc lập giả định kết quả trận đấu, (1 / 2) n - 1 , nó sau đó E [X] i = P { X 1 = 1 } = (1 / 2) n - 1 Vì vậy, E [X] = ! n (1 / 2) n - 1 trong đó, như X không phải là một biến ngẫu nhiên liên tục, ngụ ý rằng có một kết quả của các giải đấu có nhiều hơn n! / 2 n - 1 . đường dẫn Hamiltonian ✷ Trong ví dụ trước của chúng tôi ngẫu nhiên nguyên tố X của tập S là đều có khả năng được bất kỳ của các yếu tố của S. Tuy nhiên, như được chỉ ra trong hai ví dụ tiếp theo của chúng tôi, đôi khi chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằng cách chọn một phân phối khác nhau cho X. Ví dụ 5.3c Các Maximum Cut Vấn đề . Hãy xem xét hoàn chỉnh đồ thị trên đỉnh { 1 , ..., n } , trong đó n = 2 k là chẵn, và giả sử rằng đối với mỗi cặp đỉnh phân biệt i = j chúng tôi có được một số không âm c (i , j) = c (j , i) mà chúng ta sẽ gọi các năng lực của cạnh (i , j). Bất kỳ phân vùng của các đỉnh vào rỗng đặt X và X, được gọi là cắt. Số lượng c c (X , X) c = _ i ∈ X j _ ∈ X c c (i , j) bằng tổng của các năng lực của tất cả các cạnh có một đỉnh trong X và các khác trong X c , được gọi là năng lực của cắt X , X. Hãy c m = max c (X X , X) c là khả năng cắt giảm tối đa, và giả sử rằng chúng ta muốn xác định một ràng buộc thấp hơn cho m. Để có được một ràng buộc thấp hơn, đầu tiên xem xét các vấn đề về phân chia các đỉnh vào cặp rời nhau vậy để tối đa hóa tổng công suất của các cặp k. Đó là, cho một M chia các đỉnh vào cặp k, c (M) = _ (i , j) ∈ M c (i , j) 156 5 Phương pháp xác suất và để cho M * được như vậy mà max c (M ) M = c (M) * Ngoài ra, hãy để C = i < j c (i , j) biểu thị tổng của tất cả các năng lực cạnh. ✷ Dự 5.3.1 m ≥ C / 2 + c (M) * / 2 Proof Hãy để (i r , j) r , r = 1 , ..., k , là cặp M, và giả sử rằng một * thành viên của mỗi cặp là độc lập và ngẫu nhiên được chọn. Cho X bao gồm các k chọn ngẫu nhiên các đỉnh, và X c bao gồm những người khác. Sau đó, hãy để tôi (i , j) = _ 0 , nếu i ∈ X , j ∈ X hoặc i ∈ X c , j ∈ X c 1 , nếu không thì đó là, I (i , j) là bằng 1 nếu i và j là không được cả hai trong X hoặc X. Do đó, c chúng ta có c (X , X) c = _ _ j i < j c (i , j) I (i , j) ngụ ý rằng E [c (X , X)] c = _ _ j i < j c (i , j) E [I (i , j)] = _ _ j i < j c (i , j) P { I (i , j) = 1 } Tuy nhiên, P { I (i , j) = 1 } = _ 1 , nếu (i , j) ∈ M * 1 / 2 , nếu (i , j) / ∈ M * và kết quả sau khi m ≥ E [C (X , X)]. c ✷ 5.4. Weighted Independent Set Vấn đề tối đa: Một ràng buộc và một ngẫu nhiên Algorithm Hãy xem xét một đồ thị với các đỉnh tập { 1 , ..., n } , và gọi một tập các đỉnh độc lập nếu không có cặp đỉnh trong bộ này đang cận kề, nơi mà chúng tôi nói mà hai cạnh i và j là kề nếu (i , j) là một cạnh ofthe đồ thị. Ví dụ, với đồ thị của hình 5.1, 5.4. Các tối đa trọng độc lập Set Vấn đề 157 6 5 3 4 2 1 Hình 5.1. 1 2 3 4 5 6 Hình 5.2. tập hợp các đỉnh { 2