Clearly an orbit of a point is inva

Clearly an orbit of a point is invariant.
Next we show that the basin of attraction of an attracting fixed point is invariant and open.
Theorem 1.30. Let f : I ^ I, I = [a,b], be a continuous map and let x* € [a, b] be a fixed point of f. Then the following statements hold true:
(i) The immediate basin of attraction B(x*) is an interval containing x*, which is either an open interval (c,d) or of the form [a, c)(c, b]. Moreover, B(x*) is invariant.
(ii) Ws(x*) is invariant. Furthermore, Ws(x*) is the union (maybe an infinite union) of intervals that are either open intervals or of the form [a, c) or (d, b].
PROOF.
(i) We know that B(x*) is a maximal interval in Ws(x*) containing x*. Assume that B(x*) = [c, d), c = a. Now for a given small e > 0 there exists m € Z+ such that f m(c) € (x* — e,x* + e) C (c, d). Since fm is continuous, there exists 6 > 0 such that if x0 € (c — S,c + 6), then fm(x0) € (x* — e,x* + e) C B(x*). Then x0 € B(x*) and hence (c — 6, d) C Ws(x*) which violates the maximality of B(x*). Hence B(x*) = [c, a), a contradiction. Analogously, one may show that Ws(x*) = (c, d] if d = b.
To prove the invariance of B(x*), assume that there exists y € B(x*) such that fr(y) / B(x*) for some r € Z+. Since B(x*) is an interval, it follows by the Intermediate Value Theorem that fr (B(x*)) is also an interval. Moreover, this interval fr(B(x*)) must contain x* since fr(x*) = x*. Thus fr(B(x*))nB(x*) = 0, and hence B(x*)U fr(B(x*)) is an interval in Ws(x*), which violates the maximality of B(x*).
(ii) The proof of this part is analogous to the proof of part (a) and will be
left to the reader to verify. □
There are several (popular) maps such as the logistic map and Ricker’s map in which the basin of attraction, for the attractive fixed point, is the entire space with the exception of one or two points (fixed or eventually fixed). For the logistic map F^(x) = px(1 — x) and 1 < p < 3, the basin of attraction Ws(x*) = (0,1) for the fixed point x* = . And for Ricker’s
map Rp(x) = xep-x, 0 < p < 2, the basin of attraction Ws(x*) = (0, TO), for x* = p. Here we will consider only the logistic map and leave it to the reader to prove the statement concerning Ricker’s map.
Notice that F((x)| = p — 2px < 1 if and only if —1 < p — 2px < 1. This
implies that < x < ■t2+1. Hence F((x) < 1 for all x € .
Observe that x* = ^if and only if 1 < p < 3. Now

Kết quả (Việt) 2:

Rõ ràng một quỹ đạo của một điểm là bất biến.
Tiếp theo chúng ta thấy rằng các lưu vực hấp dẫn của một điểm cố định thu hút là bất biến và cởi mở.
Định lý 1.30. Cho f: I ^ I, I = [a, b], là một bản đồ liên tục và để cho x * € [a, b] là một điểm cố định của f. Sau đó, các báo cáo sau đây giữ đúng:
(i) Các lưu vực ngay lập tức thu hút B (x *) là một khoảng thời gian chứa x *, đó là hoặc một khoảng thời gian mở (c, d) hoặc có dạng [a, c) (c, b]. Hơn nữa, b (x *) là bất biến.
(ii) Ws (x *) là bất biến. Hơn nữa, Ws (x *) là sự kết hợp (có thể là một công đoàn vô hạn) của khoảng thời gian đó là một trong hai khoảng thời gian mở hoặc của hình thức [a, c) hoặc (d, b].
PROOF.
(i) Chúng ta biết rằng b (x *) là một khoảng thời gian tối đa trong Ws (x *) chứa x *. Giả sử b (x *) = [c , d), c = a. Bây giờ cho một e nhỏ cho> 0 tồn tại m € Z + mà fm (c) € (x * - e, x * + e) C (c, d). Kể từ fm là liên tục, có tồn tại 6> 0 như vậy mà nếu x0 € (c - S, c + 6), sau đó fm (x0) € (x * - e, x * + e) CB (x *). Sau đó x0 € B (x *) và do đó (c - 6, d) C Ws (x *) vi phạm các maximality của B (x *). Do đó B (x *) = [c, a), một mâu thuẫn. Tương tự, ta có thể thấy rằng Ws (x *) = (c, d] nếu d = b.
Để chứng minh sự bất biến của B (x *), giả định rằng có tồn tại y € B (x *) mà fr (y) / B (x *) đối với một số r € Z +. Từ B (x *) là một khoảng thời gian, nó sau bởi giá trị trung gian Định lý mà fr (B (x *)) cũng là một khoảng thời gian. Hơn nữa, khoảng thời gian fr này (B (x *)) phải chứa x * kể từ fr (x *) = x *. Do đó fr (B (x *)) nB (x *) = 0, và do đó B (x *) U fr (B (x * )) là một khoảng thời gian trong Ws (x *), vi phạm các maximality của B (x *).
(ii) Bằng chứng của phần này là tương tự như các bằng chứng của một phần (a) và sẽ được
để lại cho người đọc để xác minh . □
có nhiều (phổ biến) bản đồ như bản đồ hậu cần và bản đồ Ricker trong đó lưu vực thu hút, cho các điểm cố định hấp dẫn, là toàn bộ không gian với ngoại lệ của một hoặc hai điểm (cố định hoặc cuối cùng cố định). đối với bản đồ hậu cần F ^ (x) = px (1 - x). và 1 <p <3, lưu vực thu hút Ws (x *) = (0,1) cho các điểm cố định x * = và cho Ricker của
bản đồ Rp (x) = xep-x, 0 <p <2, lưu vực thu hút Ws (x *) = (0, TO), cho x * = p. Ở đây chúng ta sẽ chỉ xem xét các bản đồ hậu cần và để lại nó cho người đọc để chứng minh các tuyên bố liên quan đến bản đồ Ricker của.
Chú ý rằng F ((x) | = p - 2px <1 khi và chỉ khi -1 <p - 2px < 1. Điều này
hàm ý rằng <x <■ t2 + 1. Do đó F ((x) <1 với mọi x €.
Quan sát rằng x * = ^ nếu và chỉ nếu 1 <p <3. Bây giờ