Then c(r (i) ) < c(P ) for i large

Then c(r (i) ) < c(P ) for i large enough1 and so P is not a shortest path from s to v.
We will next show that shortest paths exist if there are no negative cycles.
Lemma 25. If G contains no negative cycle and v is reachable from s then a shortest
path from s to v exists. Moreover, the shortest path is simple.
Proof. Assume otherwise. Let be the minimal cost of a simple path from s to v and
assume that there is a non-simple path r from s to v of cost less than . Since r is
non-simple we can, as in Figure 10.2, write r as pCq, where C is a cycle and pq is
a simple path. Then ≤ c(pq) and hence c(pq) + c(C) = c(r) < ≤ c(pq). So
c(C) < 0 and we have shown the existence of a negative cycle.

Kết quả (Việt) 1:

Sau đó c (r (i)) < c (P) cho tôi enough1 lớn và rất P không phải là một con đường ngắn nhất từ s để c.
tiếp theo chúng tôi sẽ hiển thị rằng con đường ngắn nhất tồn tại nếu không có không có chu kỳ tiêu cực.
bổ đề 25. Nếu G chứa không có chu kỳ tiêu cực và v là thể truy cập từ s thì một ngắn nhất
đường đi từ s đến v tồn tại. Hơn nữa, đường đi ngắn nhất là đơn giản.
bằng chứng. Giả sử nếu không. Cho phép là chi phí tối thiểu của một đường đi từ s đến v và
giả định rằng có một con đường không đơn giản r từ s đến v của chi phí ít hơn. Kể từ khi r là
phòng không đơn giản chúng ta có thể, như trong hình 10.2, viết r là pCq, nơi C là một chu kỳ và pq là
một con đường đơn giản. Sau đó ≤ c(pq) và do đó c(pq) c(C) = c(r) < ≤ c(pq). So
c(C) < 0 và chúng tôi đã cho thấy sự tồn tại của một chu kỳ tiêu cực.

Kết quả (Việt) 2:

Sau đó c (r (i)) <c (P) cho tôi enough1 lớn và do đó P không phải là một con đường ngắn nhất từ s tới v
Chúng tôi sẽ đến tiếp theo sẽ là đường đi ngắn nhất tồn tại nếu không có chu kỳ tiêu cực.
Bổ đề 25. Nếu G không chứa chu kỳ tiêu cực và v có thể truy cập từ s sau đó một ngắn
đường đi từ s đến v tồn tại. Hơn nữa, con đường ngắn nhất là đơn giản.
Bằng chứng. Giả định khác. Để cho được các chi phí tối thiểu của một con đường đơn giản từ s tới v và
giả định rằng có một con đường r không đơn giản từ s tới v chi phí ít hơn. Kể từ khi r là
không đơn giản chúng ta có thể, như trong hình 10.2, viết r như PCQ, trong đó C là một chu kỳ và PQ là
một con đường đơn giản. Sau đó ≤ c (PQ) và do đó c (PQ) + c (C) = c (r) <≤ c (PQ). Vì vậy,
c (C) <0 và chúng tôi đã cho thấy sự tồn tại của một chu kỳ tiêu cực.