Thus α|γ.Corollary 5.8. If α|γ and

Thus α|γ.
Corollary 5.8. If α|γ and β|γ in Z[i], with α and β relatively prime, then αβ|γ.
Proof. Left to the reader. It’s just like the integer case.
Corollary 5.9. For non-zero α, β, γ in Z[i], α and β are each relatively prime to γ if and
only if αβ is relatively prime to γ.
Proof. Left to the reader. It’s just like the integer case.
We close out this section with an extension to Z[i] of several different characterizations
of the greatest common divisor in Z. The greatest common divisor of non-zero integers a
and b can be described in several ways:
• the largest common divisor of a and b (definition)
• the positive common divisor which all other common divisors divide
• the smallest positive value of ax + by (x, y ∈ Z)
• the positive value of ax + by (x, y ∈ Z) which divides all other values of ax + by
(x, y ∈ Z)
The corresponding characterizations of greatest common divisors of two non-zero Gaussian
integers α and β are these:
• a common divisor of α and β with maximal norm (definition)
• a common divisor which all other common divisors divide
• a non-zero value of αx + βy (x, y ∈ Z[i]) with smallest norm
• a non-zero value of αx + βy (x, y ∈ Z[i]) which divides all other values of αx + βy
(x, y ∈ Z[i])
Verifying the equivalence of all four conditions is left to the interested reader. It is
completely analogous to the arguments used in the integer case. Notice the switch from
“the” to “a” when we pass from Z to Z[i]: there are always four greatest common divisors,
ambiguous up to multiplication by any of the four units.
6. Unique Factorization
We will define composite and prime Gaussian integers, and then prove unique factorization.
By Theorem 2.4, if β|α, then N(β)| N(α), so 1 ≤ N(β) ≤ N(α) when α 6= 0. Which
divisors of α have norm 1 or N(α)?
L

Kết quả (Việt) 1:

Do đó α|γ.Hệ luỵ 5.8. Nếu α|γ và β|γ trong Z [i], với α và β tương đối thủ, sau đó αβ|γ.Bằng chứng. Còn lại để cho người đọc. Nó cũng giống như trường hợp số nguyên.Hệ luỵ 5.9. Cho không α, β, γ trong Z [i], α và β mỗi tương đối thủ để γ nếu vàNếu αβ là tương đối nguyên tố để γ.Bằng chứng. Còn lại để cho người đọc. Nó cũng giống như trường hợp số nguyên.Chúng tôi đóng phần này với một phần mở rộng đến Z [i] của một số khác nhau characterizationssố các ước số chung lớn nhất trong Z. Ước số chung lớn nhất không nguyên bảnvà b có thể được mô tả trong một số cách:• ước chung lớn nhất của một và b (định nghĩa)• tích cực ước chung mà tất cả các phổ biến khác thức phân chia• giá trị tích cực nhỏ nhất của ax + by (x, y ∈ Z)• giá trị tích cực của ax + by (x, y ∈ Z) phân chia tất cả các giá trị khác của ax + by(x, y ∈ Z)Characterizations thức chung lớn nhất của hai-zero Gaussian, tương ứngsố nguyên α và β là đây:• một ước chung của α và β với tối đa chỉ tiêu (definition)• một ước chung mà tất cả các phổ biến khác thức phân chia• một giá trị khác 0 αx + βy (x, y ∈ Z[i]) với định mức nhỏ nhất• một giá trị khác 0 αx + βy (x, y ∈ Z[i]) mà phân chia tất cả các giá trị khác của αx + βy(x, y ∈ Z[i])Kiểm tra sự tương đương của tất cả bốn điều kiện còn lại cho người đọc quan tâm. Nó làhoàn toàn tương tự như các đối số được sử dụng trong trường hợp số nguyên. Thông báo việc chuyển đổi từ"the" để "a" khi chúng tôi vượt qua Z Z [i]: luôn có bốn lớn nhất thường thức,mơ hồ đến các phép nhân của bất kỳ của bốn đơn vị.6. duy nhất FactorizationChúng tôi sẽ xác định hỗn hợp nguyên tố số nguyên Gauss, và sau đó chứng minh duy nhất factorization.Bởi định lý 2.4, nếu β|α, sau đó N (β) | N(α), như vậy 1 ≤ N(β) ≤ N(α) khi α 6 = 0. Màthức của α có chuẩn 1 hoặc N(α)?L

Kết quả (Việt) 2:

Do đó α | γ.
Hệ luỵ 5.8. Nếu α | γ và β | γ trong Z [i], với α và beta tương đối nguyên tố, thì αβ |. Γ
Proof. Còn lại để đọc. Nó cũng giống như trường hợp số nguyên.
Hệ luỵ 5.9. Đối với khác không α, β, γ trong Z [i], α và β là mỗi nguyên tố để g nếu và
chỉ nếu αβ là tương đối thủ để g.
Proof. Còn lại để đọc. Nó cũng giống như trường hợp số nguyên.
Chúng tôi đóng phần này với một phần mở rộng đến Z [i] của tả những đặc điểm khác nhau
của các ước số chung lớn nhất trong Z. Các ước số chung lớn nhất của các số nguyên khác không một
và b có thể được mô tả bằng nhiều cách :
• ước số chung lớn nhất của a và b (định nghĩa)
• ước số chung tích cực mà tất cả các ước chung khác chia
• giá trị dương nhỏ nhất của ax + by (x, y ∈ Z)
• giá trị tích cực của ax + by (x , y ∈ Z) mà phân chia tất cả các giá trị khác của ax + by
(x, y ∈ Z)
những tả những đặc điểm tương ứng của các ước chung lớn nhất của hai số không không Gaussian
số nguyên a và β là những:
• một ước chung của α và β với mức tối đa (định nghĩa)
• một ước chung mà tất cả các ước chung khác chia
• một giá trị khác không của αx + βy (x, y ∈ Z [i]) với mức nhỏ nhất
• một khác không giá trị của αx + βy (x , y ∈ Z [i]) mà phân chia tất cả các giá trị khác của αx + βy
(x, y ∈ Z [i])
Kiểm tra sự tương đương của cả bốn điều kiện còn lại để người đọc quan tâm. Nó là
hoàn toàn tương tự như các đối số được sử dụng trong trường hợp số nguyên. Chú ý việc chuyển đổi từ
"the" với "a" khi chúng tôi vượt qua từ Z tới Z [i]: luôn luôn có bốn ước chung lớn nhất,
mơ hồ đến phép nhân bằng bất kỳ trong bốn đơn vị.
6. Phân tích nhân độc đáo
Chúng tôi sẽ xác định số nguyên Gaussian composite và nguyên tố, và sau đó chứng minh nhân tử độc đáo.
Bởi lý 2.4, nếu β | α, sau đó N (β) | N (α), do đó, 1 ≤ N (β) ≤ N (α) khi alpha 6 = 0. Những
ước của α có mức 1 hoặc N (α)?
L