Notice that a smooth map f: M → Rl

Notice that a smooth map f: M → Rl is continuous, since in a neighborhood of each point p ∈ M it can be written as (f ◦ σ) ◦ σ−1 for a chart σ.
Notice also that if Ω ⊂ M is open, then Ω is an abstract manifold of its
own (see Example 2.3.2), and hence it makes sense to speak of smooth maps
f: Ω → Rl. The set of all smooth functions f: Ω → R is denoted C∞(Ω). It
is easily seen that this is a vector space when equipped with the standard
addition and scalar multiplication of functions.
Example 2.7.1 Let σ: U → M be a chart on an abstract manifold M. It
follows from the assumption of smooth transition on overlaps that σ−1 is
smooth σ(U) → Rm.
We have defined what it means for a map from a manifold to be smooth,
and we shall now define what smoothness means for a map into a manifold.
As before we begin by considering manifolds in Euclidean space. Let S
and S ˜ be manifolds in Rn and Rl, respectively, and let f: S → S ˜. It was
defined in Definition 2.6.2 what it means for f to be smooth. We will give
an alternative description.
Let σ: U → S and ˜ σ: U ˜ → S ˜ be charts on S and S ˜, respectively, where
U ⊂ Rm and U ˜ ⊂ Rk are open sets. For a map f: S → S ˜, we call the map
σ ˜−1 ◦ f ◦ σ: x 7→ σ ˜−1(f(σ(x))), (2.1)
the coordinate expression for f with respect to the charts.
The coordinate expression (2.1) is defined for all x ∈ U for which f(σ(x)) ∈
σ ˜(U ˜), that is, it is defined on the set
σ−1(f −1(˜ σ(U ˜))) ⊂ U, (2.2)
and it maps into U ˜.
U ⊂ Rm U ˜ ⊂ Rk
S ⊂ Rn S ⊂ ˜ Rl
σ σ ˜
σ ˜−1 ◦ f ◦ σ

Kết quả (Việt) 1:

Nhận thấy rằng một bản đồ mịn f: M → Rl là liên tục, kể từ khi trong một khu phố của mỗi điểm p ∈ M, nó có thể được ký hiệu là (f ◦ σ) ◦ σ−1 cho một biểu đồ σ.Cũng thông báo rằng nếu Ω ⊂ M là mở, sau đó Ω là một đa tạp trừu tượng của của nóriêng (xem ví dụ 2.3.2), và do đó nó làm cho tinh thần để nói về mịn bản đồf: Ω → Rl. Các thiết lập của tất cả các chức năng mịn f: Ω → R là ký hiệu là C∞(Ω). Nódễ dàng thấy rằng đây là một không gian vector khi được trang bị với các tiêu chuẩnbổ sung và phép nhân vô hướng của chức năng.Ví dụ 2.7.1 cho σ: U → M là một biểu đồ trên một trừu tượng đa dạng M. Itsau từ giả định của chuyển tiếp suôn sẻ về chồng chéo σ−1 đó làmịn σ(U) → Rm.Chúng tôi đã xác định những gì nó có nghĩa là cho một bản đồ từ một đa tạp là mịn,và bây giờ chúng tôi sẽ xác định những gì êm ái có nghĩa là cho bản đồ vào một đa tạp.Như trước, chúng tôi bắt đầu bằng cách xem xét các đa tạp trong không gian Euclid. Giả sử Svà S ˜ là đa tạp trong Rn và Rl, tương ứng, và cho f: S → S ˜. Nó đãđược định nghĩa trong định nghĩa 2.6.2 ý nghĩa của nó cho f được trơn tru. Chúng tôi sẽ cung cấp chomột mô tả thay thế.Hãy để σ: U → S và ˜ σ: U ˜ → S ˜ là bảng xếp hạng trên S và S ˜, tương ứng, nơiU ⊂ Rm và U ˜ ⊂ Rk mở bộ. Cho một đồ f: S → S ˜, chúng tôi gọi bản đồΣ ˜−1 ◦ f ◦ σ: x 7→ σ ˜−1(f(σ(x))), (2,1)biểu thức tọa độ cho f đối với các bảng xếp hạng.Biểu thức tọa độ (2,1) được định nghĩa cho tất cả x ∈ U cho mà ∈ f(σ(x))Σ ˜ (U ˜), đó là, nó được định nghĩa trên các thiết lậpΣ−1 (f −1 (˜ σ (U ˜))) ⊂ U, (2,2)và bản đồ thành U ˜.U ⊂ Rm U ˜ ⊂ RkS ⊂ Rn S ⊂ ˜ RlΣ Σ ˜Σ ˜−1 ◦ f ◦ σ

Kết quả (Việt) 2:

Chú ý rằng một bản đồ f mịn: M → Rl là liên tục, vì trong một khu phố của mỗi điểm p ∈ M nó có thể được viết là (f ◦ σ) ◦ σ-1 cho một σ biểu đồ.
Cũng thông báo rằng nếu Ω ⊂ M là mở, sau đó Ω là một đa tạp trừu tượng của nó
riêng (xem Ví dụ 2.3.2), và do đó nó làm cho tinh thần để nói về bản đồ trơn
f: Ω → Rl. Các thiết lập của tất cả các chức năng trơn f: Ω → R được ký hiệu C∞ (Ω). Nó
có thể dễ dàng thấy rằng đây là một không gian vector khi được trang bị với các tiêu chuẩn
cộng và phép nhân vô hướng của các chức năng.
Ví dụ 2.7.1 Hãy σ: U → M là một biểu đồ trên một đa tạp trừu tượng M. nó
sau từ giả định của quá trình chuyển đổi trơn tru trên chồng lên rằng σ-1 là
σ mịn (U) → Rm.
Chúng tôi đã xác định những gì nó có nghĩa là cho một bản đồ từ một đa tạp được mịn,
và bây giờ chúng ta sẽ xác định những gì êm ái có nghĩa là cho một bản đồ vào một đa tạp.
Như trước khi chúng tôi bắt đầu bằng xem xét các đa tạp trong không gian Euclide. Gọi S
và S ~ được đa tạp trong Rn và RL, tương ứng, và để cho f: S → S ~. Nó được
định nghĩa trong định nghĩa 2.6.2 những gì nó có nghĩa là cho f được mịn. Chúng tôi sẽ cung cấp
một mô tả thay thế.
Hãy σ: U → S và ~ σ: U ~ → S ~ được bảng xếp hạng trên S và S ~, tương ứng, nơi
U ⊂ Rm và U ~ ⊂ Rk là các tập mở. Đối với một f đồ: S → S ~, chúng ta gọi là bản đồ
σ ~-1 ◦ f ◦ σ: x 7 → σ ~-1 (f (σ (x))), (2.1)
biểu thức phối hợp cho f đối với để các bảng xếp hạng.
Việc phối hợp biểu thức (2.1) được xác định với mọi x ∈ U mà f (σ (x)) ∈
σ ~ (U ~), có nghĩa là, nó được định nghĩa trên tập
σ-1 (f -1 (~ σ (U ~))) ⊂ U, (2.2)
và nó bản đồ thành U ~.
U ⊂ Rm U ~ ⊂ Rk
S ⊂ Rn S ⊂ ~ Rl
σ σ ~
σ ~-1 ◦ f ◦ σ