Fortunately, the most important fea

Fortunately, the most important features of the examples we considered above hold for problems with more than two variables. In particular, a feasible region of a typical linear programming problem is in many ways similar to convex polygons in the two-dimensional Cartesian plane. Specifically, it always has a finite number of vertices, which mathematicians prefer to call extreme points (see Section 3.3). Furthermore, an optimal solution to a linear programming problem can be found at one of the extreme points of its feasible region. We reiterate these properties in the following theorem.

THEOREM (Extreme Point Theorem) Any linear programming problem with a nonempty bounded feasible region has an optimal solution; moreover, an op-timal solution can always be found at an extreme point of the problem’s feasible region.2

This theorem implies that to solve a linear programming problem, at least in the case of a bounded feasible region, we can ignore all but a finite number of

Except for some degenerate instances (such as maximizing z = x + y subject to x + y = 1), if a linear programming problem with an unbounded feasible region has an optimal solution, it can also be found at an extreme point of the feasible region.


points in its feasible region. In principle, we can solve such a problem by computing the value of the objective function at each extreme point and selecting the one with the best value. There are two major obstacles to implementing this plan, however. The first lies in the need for a mechanism for generating the extreme points of the feasible region. As we are going to see below, a rather straightforward algebraic procedure for this task has been discovered. The second obstacle lies in the number of extreme points a typical feasible region has. Here, the news is bad: the number of extreme points is known to grow exponentially with the size of the problem. This makes the exhaustive inspection of extreme points unrealistic for most linear programming problems of nontrivial sizes.

Fortunately, it turns out that there exists an algorithm that typically inspects only a small fraction of the extreme points of the feasible region before reaching an optimal one. This famous algorithm is called the simplex method. The idea of this algorithm can be described in geometric terms as follows. Start by identifying an extreme point of the feasible region. Then check whether one can get an improved value of the objective function by going to an adjacent extreme point. If it is not the case, the current point is optimal—stop; if it is the case, proceed to an adjacent extreme point with an improved value of the objective function. After a finite number of steps, the algorithm will either reach an extreme point where an optimal solution occurs or determine that no optimal solution exists.

Kết quả (Việt) 1:

May mắn thay, các tính năng quan trọng nhất của các ví dụ chúng tôi xem xét ở trên giữ cho vấn đề với hơn hai biến. Đặc biệt, một khu vực khả thi của một vấn đề lập trình tuyến tính điển hình là trong nhiều cách tương tự như các đa giác lồi trong mặt phẳng Descartes hai chiều. Cụ thể, nó luôn luôn có một hữu hạn số đỉnh, nhà toán học mà muốn gọi cực điểm (xem phần 3.3). Hơn nữa, một giải pháp tối ưu cho một vấn đề lập trình tuyến tính có thể được tìm thấy tại một trong các điểm cực của nó miền khả thi. Chúng tôi nhắc lại các tài sản trong định lý sau đây.Định lý (cực điểm định lý) bất kỳ vấn đề lập trình tuyến tính với một khu vực bị chặn khả thi nonempty có một giải pháp tối ưu; hơn nữa, các giải pháp op timal luôn luôn có thể được tìm thấy tại một thời điểm cực của các vấn đề khả thi region.2Định lý này ngụ ý rằng để giải quyết một vấn đề lập trình tuyến tính, ít nhất là trong trường hợp của một khu vực bị chặn khả thi, chúng tôi có thể bỏ qua tất cả, nhưng một số hữu hạn Ngoại trừ một số trường hợp thoái hóa (chẳng hạn như tối đa hóa z = x + y tùy thuộc vào x + y = 1), nếu một vấn đề lập trình tuyến tính với một khu vực khả thi chặn có một giải pháp tối ưu, nó cũng có thể được tìm thấy tại một thời điểm cực đoan của vùng khả thi. điểm ở vùng khả thi. Về nguyên tắc, chúng tôi có thể giải quyết một vấn đề bằng cách tính toán giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi điểm cực và chọn một với giá trị tốt nhất. Không có hai trở ngại lớn để thực hiện kế hoạch này, Tuy nhiên. Đầu tiên nằm trong sự cần thiết cho một cơ chế để tạo ra các điểm cực của vùng khả thi. Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, một thủ tục khá đơn giản đại số cho nhiệm vụ này đã được phát hiện. Những trở ngại thứ hai nằm trong số cực điểm này có một khu vực điển hình khả thi. Ở đây, những tin tức là xấu: số lượng cực điểm được biết đến để phát triển theo cấp số nhân với kích thước của vấn đề. Điều này làm cho việc kiểm tra đầy đủ của cực điểm không thực tế cho các vấn đề lập trình tuyến tính đặt kích thước nontrivial.May mắn thay, nó chỉ ra rằng có tồn tại một thuật toán mà thường kiểm tra chỉ là một phần nhỏ của các điểm cực của vùng khả thi trước khi đến một tối ưu. Thuật toán này nổi tiếng ở đây được gọi là phương pháp simplex. Ý tưởng của thuật toán này có thể được mô tả trong hình học điều kiện như sau. Bắt đầu bằng cách xác định một điểm cực đoan của vùng khả thi. Sau đó kiểm tra xem một trong những có thể nhận được một giá trị được cải thiện của hàm mục tiêu bằng cách đi tới một điểm cực liền kề. Nếu nó không phải là trường hợp, vấn đề hiện nay là tối ưu-dừng; Nếu đó là trường hợp, tiến tới một điểm cực liền kề với một giá trị được cải thiện của hàm mục tiêu. Sau khi một số hữu hạn các bước, thuật toán sẽ đạt đến một điểm cực kỳ nơi xảy ra một giải pháp tối ưu hoặc xác định rằng không có giải pháp tối ưu tồn tại.

Kết quả (Việt) 2:

May mắn thay, các tính năng quan trọng nhất trong những ví dụ chúng ta coi trên giữ cho các vấn đề với hơn hai biến. Đặc biệt, một khu vực có tính khả thi của một vấn đề điển hình lập trình tuyến tính theo nhiều cách tương tự như đa giác lồi trong mặt phẳng Descartes hai chiều. Cụ thể, nó luôn luôn có một số hữu hạn các đỉnh, mà các nhà toán học thích gọi điểm cực trị (xem mục 3.3). Hơn nữa, một giải pháp tối ưu cho một vấn đề lập trình tuyến tính có thể được tìm thấy tại một trong các điểm cực trị của khu vực có tính khả thi của nó. Chúng tôi nhắc lại những tài sản trong các định lý sau đây. Định lý (định lý cực Point) Bất kỳ vấn đề lập trình tuyến tính với một khác rỗng giáp khu vực khả thi có một giải pháp tối ưu; hơn nữa, một giải pháp op-timal luôn luôn có thể được tìm thấy tại một điểm cực đoan của region.2 khả thi của vấn đề định lý này ngụ ý rằng để giải quyết một vấn đề lập trình tuyến tính, ít nhất là trong trường hợp của một khu vực có tính khả thi có giới hạn, chúng ta có thể bỏ qua tất cả nhưng một số lượng hữu hạn của Ngoại trừ một số trường hợp suy biến (chẳng hạn như tối đa hóa z = x + y chịu x + y = 1), nếu một vấn đề lập trình tuyến tính với một khu vực có tính khả thi không giới hạn có một giải pháp tối ưu, nó cũng có thể được tìm thấy tại một điểm cực các khu vực có tính khả thi. chỉ trong khu vực có tính khả thi của nó. Về nguyên tắc, chúng ta có thể giải quyết một vấn đề như vậy bằng cách tính giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi điểm cực đoan và chọn một với giá trị tốt nhất. Có hai trở ngại chính đối với việc thực hiện kế hoạch này, tuy nhiên. Việc đầu tiên nằm trong sự cần thiết cho một cơ chế để tạo ra các điểm cực trị của các khu vực có tính khả thi. Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, một thủ tục đại số khá đơn giản cho công việc này đã được phát hiện. Trở ngại thứ hai nằm trong số các điểm cực đoan một khu vực điển hình có tính khả thi. Ở đây, những tin tức xấu là: số lượng các điểm cực trị được biết là tăng trưởng theo cấp số nhân với quy mô của vấn đề. Điều này làm cho việc kiểm tra đầy đủ các điểm cực trị không thực tế đối với hầu hết các vấn đề lập trình tuyến tính có kích thước không tầm thường. May mắn thay, nó chỉ ra rằng có tồn tại một thuật toán mà thường kiểm tra chỉ một phần nhỏ của các điểm cực trị của các khu vực có tính khả thi trước khi đạt đến một tối ưu nhất. Thuật toán nổi tiếng này được gọi là phương pháp đơn giản. Ý tưởng của thuật toán này có thể được mô tả bằng hình học như sau. Bắt đầu bằng cách xác định một điểm cực đoan của các khu vực có tính khả thi. Sau đó kiểm tra xem ai có thể nhận được một giá trị được cải thiện của hàm mục tiêu bằng cách đi đến một điểm cực cận. Nếu nó không phải là trường hợp, điểm hiện tại là tối ưu ngừng; nếu đó là trường hợp, tiến tới một điểm cực liền kề với một giá trị được cải thiện của hàm mục tiêu. Sau khi một số hữu hạn các bước, các thuật toán hoặc sẽ đạt cực điểm nơi một giải pháp tối ưu xảy ra hoặc xác định rằng không có giải pháp tối ưu tồn tại.