§6. MISCELLANEOUS PROBLEMS 103b) Th

§6. MISCELLANEOUS PROBLEMS 103

b) The lengths of the sides and diagonals of a convex quadrilateral are rational numbers. Prove that the diagonals cut it into four triangles the lengths of whose sides are rational numbers.

See also Problem 26.7.

§6. Miscellaneous problems

Triangles ABC and A1B1C1 are such that either their corresponding angles are equal or their sum is equal to 180◦. Prove that the corresponding angles are equal, actually.
Inside triangle ABC an arbitrary point O is taken. Let points A1, B1 and C1 be

symmetric to O through the midpoints of sides BC, CA and AB, respectively. Prove that △ABC = △A1B1C1 and, moreover, lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point.

Through the intersection point O of the bisectors of triangle ABC lines parallel to the sides of the triangle are drawn. The line parallel to AB meets AC and BC at points M and N , respectively, and lines parallel to AC and BC meet AB at points P and Q,

respectively. Prove that M N = AM + BN and the perimeter of triangle OP Q is equal to the length of segment AB.

5.45. a) Prove that the heigths of a triangle meet at one point.

b) Let H be the intersection point of heights of triangle ABC and R the radius of the circumscribed circle. Prove that

AH2 + BC2 = 4R2 and AH = BC| cot α|.

Let x = sin 18◦. Prove that 4x2 + 2x = 1.
Prove that the projections of vertex A of triangle ABC on the bisectors of the outer and inner angles at vertices B and C lie on one line.

Prove that if two bisectors in a triangle are equal, then the triangle is an isosceles

one.

a) In triangles ABC and A′B′C′, sides AC and A′C′ are equal, the angles at vertices B and B′ are equal, and the bisectors of angles ∠B and ∠B′ are equal. Prove that these triangles are equal. (More precisely, either △ABC = △A′B′C′ or △ABC = △C′B′A′.) b) Through point D on the bisector BB1 of angle ABC lines AA1 and CC1 are drawn (points A1 and C1 lie on sides of triangle ABC). Prove that if AA1 = CC1, then AB = BC.

Prove that a line divides the perimeter and the area of a triangle in equal ratios if and only if it passes through the center of the inscribed circle.

Point E is the midpoint of arc ⌣ AB of the circumscribed circle of triangle ABC on which point C lies; let C1 be the midpoint of side AB. Perpendicular EF is dropped

from point E to AC. Prove that:
a) line C1F divides the perimeter of triangle ABC in halves;
b) three such lines constructed for each side of the triangle meet at one point.
On sides AB and BC of an acute triangle ABC, squares ABC1D1 and A2BCD2 are constructed outwards. Prove that the intersection point of lines AD2 and CD1 lies on height BH.
On sides of triangle ABC squares centered at A1, B1 and C1 are constructed outwards. Let a1, b1 and c1 be the lengths of the sides of triangle A1B1C1; let S and S1 be the areas of triangles ABC and A1B1C1, respectively. Prove that:
a21 + b21 + c21 = a2 + b2 + c2 + 6S.

S1 − S = 18 (a2 + b2 + c2).

On sides AB, BC and CA of triangle ABC (or on their extensions), points C1,

A1 and B1, respectively, are taken so that ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) =

Kết quả (Việt) 1:

§6. VẤN ĐỀ LINH TINH 103b) độ dài các cạnh và đường chéo của một tứ giác lồi là số hữu tỉ. Chứng minh rằng các đường chéo cắt nó thành bốn hình tam giác dài của hai bên mà là số hữu tỉ.Xem thêm vấn đề 26,7.§6. Những vấn đề khác Tam giác ABC và A1B1C1 là như vậy mà góc độ tương ứng của họ là bằng nhau hoặc số tiền của họ là tương đương với 180◦. Chứng minh rằng góc tương ứng là bình đẳng, trên thực tế. Bên trong hình tam giác ABC một O điểm tùy ý được thực hiện. Cho điểm A1, B1 và C1đối xứng để thông qua các midpoints cạnh BC, CA và AB, tương ứng. Chứng minh rằng △ABC = △A1B1C1 và hơn thế nữa, dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm. Thông qua các giao lộ điểm O của bisectors của tam giác ABC đường song song với cạnh của hình tam giác được rút ra. Song song dòng cho AB gặp AC và BC tại điểm M và N, tương ứng, và đường dây song song với AC và BC đáp ứng AB tại điểm P và Q,tương ứng. Chứng minh rằng N M = AM + BN và chu vi của tam giác OP Q là tương đương với chiều dài của đoạn AB.5.45. một) chứng minh heigths của một tam giác gặp nhau tại một thời điểm.b) cho H là giao điểm của đỉnh cao của tam giác ABC và là bán kính của đường tròn. Chứng minh rằngAH2 + BC2 = 4R2 và AH = BC | COT α |. Hãy để x = sin 18◦. Chứng minh rằng 4 x 2 + 2 x = 1. Chứng minh rằng các hình chiếu của đỉnh một của tam giác ABC trên bisectors góc bên ngoài và bên trong lúc đỉnh B và C nằm trên cùng một dòng. Chứng minh rằng nếu hai bisectors trong một tam giác bằng nhau, sau đó tam giác là một cânmột. a) trong tam giác ABC và A′B′C′, cạnh AC và A′C′ đều được bình đẳng, góc ở đỉnh B và B′ đều bình đẳng và bisectors góc ∠B và ∠B′ đều được bình đẳng. Chứng minh rằng tam giác này là bình đẳng. (Chính xác hơn, hoặc là △ABC = △A′B′C′ hay △ABC = △C′B′A′.) b) qua điểm D trên bisector BB1 của góc ABC dòng AA1 và CC1 là rút ra (điểm A1 và C1 nằm trên các cạnh của tam giác ABC). Chứng minh rằng nếu AA1 = CC1, thì AB = BC. Chứng minh rằng một đường phân chia chu vi và diện tích một hình tam giác trong các tỷ lệ tương đương nếu và chỉ nếu nó chạy qua Trung tâm của vòng tròn ghi. Điểm E là trung điểm của cung ⌣ AB của đường tròn của tam giác ABC mà điểm C nằm; Hãy để C1 là trung điểm của EF vuông góc AB. bị rơitừ điểm E để AC. chứng minh rằng:a) dòng C1F chia chu vi của tam giác ABC bằng nửa;b) ba như vậy đường được xây dựng cho mỗi bên của tam giác gặp nhau tại một thời điểm. Trên các cạnh AB và BC của một cấp tam giác ABC, ô vuông, ABC1D1 và A2BCD2 được xây dựng outwards. Chứng minh rằng giao điểm của đường AD2 và CD1 nằm trên độ cao BH. Trên các cạnh của tam giác ABC vuông Trung tâm tại A1, B1 và C1 được xây dựng outwards. Cứ để a1, b1, c1 là độ dài các cạnh của tam giác A1B1C1; cho S và S1 là các khu vực của tam giác ABC và A1B1C1, tương ứng. Chứng minh rằng: A21 b21 + c21 = a2 + b2 + c2 + 6S. S1 − S = 18 (a2 + b2 + c2). Trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC (hoặc trên phần mở rộng của họ), điểm C1, A1 và B1, tương ứng, được thực hiện như vậy mà ∠ (CC1, AB) = ∠ (AA1, BC) = ∠ (BB1, CA) =

Kết quả (Việt) 2:

§6. KHÁC CÁC VẤN ĐỀ 103

b) Chiều dài của các bên và các đường chéo của một tứ giác lồi là con số hợp lý. Chứng minh rằng các đường chéo cắt nó thành bốn hình tam giác độ dài của hai bên mà là con số hợp lý.

Xem thêm vấn đề 26.7.

§6. Vấn đề linh tinh

tam giác ABC và A1B1C1 là như vậy mà một trong hai góc tương ứng của họ là bằng hoặc tổng của chúng bằng 180◦. Chứng minh rằng các góc tương ứng bằng nhau, thực sự.
Bên trong tam giác ABC một điểm O tùy ý được lấy. Hãy điểm A1, B1 và C1 là

đối xứng với O qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng △ ABC = △ A1B1C1 và, hơn nữa, dòng AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm.

Thông qua giao điểm O của đường trung của tam giác ABC các đường song song với các cạnh của tam giác được vẽ. Các đường thẳng song song với AB gặp AC và BC tại điểm M và N, tương ứng, và các đường song song với AC và BC gặp AB tại điểm P và Q,

tương ứng. Chứng minh rằng MN = AM + BN và chu vi của tam giác OP Q là bằng với chiều dài của đoạn thẳng AB.

5,45. a) Chứng minh rằng heigths của một tam giác gặp nhau tại một điểm.

b) Cho H là giao điểm của chiều cao của tam giác ABC và R bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng

AH2 + BC2 = 4R2 và AH = BC | α cot |.

Cho x = sin 18◦. Chứng minh rằng 4x2 + 2x = 1.
Chứng minh rằng các dự các đỉnh A của tam giác ABC trên đường trung của các góc bên ngoài và bên trong tại đỉnh B và C nằm trên một dòng.

Chứng minh rằng nếu hai đường trung trong một tam giác bằng nhau, sau đó các tam giác là một giác cân

một.

a) trong tam giác ABC và A'B'C ', bên AC và A'C' là bằng nhau, các góc tại đỉnh B và B 'đều bình đẳng, và các đường trung các góc ∠B và ∠B 'là bằng nhau. Chứng minh rằng các tam giác bằng nhau. (Chính xác hơn, hoặc là △ ABC = △ A'B'C 'hoặc △ ABC = △ C'B'A'.) B) Qua điểm D trên BB1 phân giác của góc ABC dòng AA1 và CC1 được rút ra (điểm A1 và C1 nằm trên cạnh của tam giác ABC). Chứng minh rằng nếu AA1 = CC1, sau đó AB = BC.

Chứng minh rằng một dòng chia chu vi và diện tích của một hình tam giác trong các tỷ lệ bằng nhau khi và chỉ khi nó đi qua trung tâm của vòng tròn ghi.

Điểm E là trung điểm của vòng cung ⌣ AB của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC trên đó điểm C nằm; hãy C1 là trung điểm của cạnh AB. EF vuông góc được giảm

từ điểm E đến AC. Chứng minh rằng:
a) dòng C1F chia chu vi của tam giác ABC trong nửa;
. B) ba dòng như xây dựng cho mỗi bên của tam giác gặp nhau tại một điểm
trên mặt AB và BC của một tam cấp ABC, vuông ABC1D1 và A2BCD2 được xây dựng ra phía ngoài. Chứng minh rằng các điểm giao nhau của đường tuyến AD2 và CD1 nằm trên độ cao BH.
Trên cạnh của tam giác vuông ABC tâm tại A1, B1 và C1 được xây dựng hướng ra ngoài. Hãy a1, b1 và c1 là độ dài các cạnh của tam giác A1B1C1; gọi S và S1 là các khu vực của các tam giác ABC và A1B1C1, tương ứng. Chứng minh rằng:
A21 + B21 + C21 = a2 + b2 + c2 + 6S.

S1 - S = 18 (a2 + b2 + c2).

Vào bên AB, BC và CA của tam giác ABC (hoặc vào phần mở rộng của họ), các điểm C1,

A1 và B1, tương ứng, được lấy để ∠ (CC1, AB) = ∠ (AA1, BC) = ∠ (BB1, CA) =