Exercise 7-4 Decomposition using Pr

Exercise 7-4
Decomposition using Principal Components


Earth observation imagery typically shows a great deal of variability over time. Thus it is common to want to decompose that variability into its underlying constituents. One of the most popular ways of doing this is through Principal Compo- nents Analysis (PCA -- also known as Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis).

a)

If you have not done so already, read the Principal Components section of the Earth Trends Modeler chapter in
the IDRISI Manual. Then open the PCA panel on the Analysis tab. Select the SST data set as the input series. The defaults are set for their typical use in time series analysis so you can immediately click the Run button. When it has finished, ETM will automatically switch to the Explore PCA/EOT/Fourier PCA/Wavelet panel of the Explore tab. The first component will be displayed.


Note: A Clarification About Terminology. Please note the Climatology/Atmospheric Science communities use a different terminology from that used in the Geography and Remote Sensing communities. This goes beyond the issue of calling it EOF rather than PCA. The starting point for a standardized PCA/EOF is a correlation matrix (or a variance/ covariance matrix if it is unstandardized). In Geography/Remote Sensing applications (as it is in ETM), this correlation matrix is between images over time. Thus, if you have 300 images over time, this is a 300 x 300 matrix of correlations. In the climatological community, the correlations are between pixels over space. Thus if you have an image series with 100 columns and 100 rows, the correlation matrix will be a 10,000 by 10,000 matrix. Both procedures produce a series of images and a corresponding set of graphs, which are identical. In other words, there is only one solution regardless of how you construct the correlation matrix. This is because the solution is orthogonal over both space and time. However, the terminology is different. In the implementation here, the images are called components and the graphs are called loadings. If your correlations are between pixels, the graphs are the components and the images are the loadings. Note also that some climatologists refer to each component/loading pair as a mode.

b)








c)

Look at the first loading graph. This shows time on the X axis and correlation on the Y axis. Notice that the val-
ues are all very high. What this tells us is that every image has this pattern present within it. Thus, this is essentially the pattern of the long term average sea surface temperature. Note that in interpreting the components, you should focus on the pattern over space and not the absolute values of the component scores (the values in the image). Because it is a standardized analysis and successive components are based on residuals from previous components, it becomes increasingly hard to relate these values back to the original imagery. However, we can see in the title of the loading graph that this first component accounts for 98.22% of the variability in sea surface temperature over space and time. All remaining variability is contained within the remaining 1.78%.

Now in the Explore PCA panel, select Component 2 and click the Display (map) icon to its right. The compo- nent image will display. Notice that the loadings follow an annual cycle that is symmetric about the 0 correlation position. The loadings are positive during the northern hemisphere late summer/early autumn and negative in the early spring. Then notice that the component image also has positive and negative values. This is a case where it is best that the contrast stretch be symmetric about 0 so that it is unambiguous as to where there are negative values and where there are positive values. Therefore, make sure that the PCA layer is highlighted in Composer (it might not be if you have an automatic vector overlay), and click the middle STRETCH button at the bottom of Composer to create a symmetric stretch about zero.

Notice the hemispheric (north/south) differences in the component scores (the image values). Also notice in the Atlantic how the division between the hemispheres falls in the same position as the Atlantic Equatorial Counter Current noted earlier. Clearly this is the annual seasonal cycle. Notice also that while the component explains only a little over 1.5% of the total variance in SST over space and time, this represents over 85% of the variance




Exercise 7-4 Decomposition using Principal Components 303

remaining after the effects of Component 1 are removed.

Looking at the loadings graph and the component image as a pair, the loadings say that geographically the pattern looks most like this during the boreal late summer/early autumn (August/September - i.e., when the load- ings are high) and the opposite of this during the boreal early spring months (February/March, when the loadings are highly negative). The nearly perfect sinusoidal pattern of the loadings supports the interpretation of this as the annual cycle, but there is evidently a lag in its maximum impact.

d) Now display the loading graph and component image for Component 3. Also use the STRETCH button on
Composer to stretch the image symmetrically. This is also an annual cycle, but notice that it is aligned more with the early winter (December) and early summer (June) and that it is much smaller in its accounting of variance (only about 4% of the variance explained by Component 2).

1 Compare the areas that have the strongest seasonality in Components 2 and 3. Given the timing of loadings, what does
this suggest about the relationship between components over space and time? We know that components are independent of each other. Are they independent of each other in time, space or over both?


e)







f)




g)










h)


Now display and examine the loading graphs for Components 4, 5 and 6. Stretch each of the component images symmetrically using the middle STRETCH option in Composer. Component 4 is also clearly a seasonal cycle; however it is semiannual. Component 5 is clearly an interannual cycle (we will have more to say about this shortly), while Component 6 appears to be a mix between a seasonal cycle (again, semi-annual) and an interan- nual oscillation. This highlights an interesting issue regarding PCA/EOF. Although the components can repre- sent true underlying sources of variability, they can also represent mixtures. We will explore this further in subsequent exercises.

Often it is these interannual oscillations that are a key interest in image time series analysis. If this is the case, then it is usually advisable to run the PCA on deseasoned data. Therefore, let's go back to the Analysis tab and run PCA again, but this time use the anomalies in SST you created in an earlier exercise. Use all the same parameters that you did the first time (i.e., the defaults).

Now look at Component 1 from this new analysis and compare it to Component 5 from your previous one. Clearly they are the same thing (although the loading for Component 1 of the anomalies in SST is more coherent over time), but the patterns are inverted in the component images and the loading graphs. Since they are both inverted, they therefore represent the same thing. It's like taking the negative of a negative number which yields
a positive. This leads to an important issue. It is mathematically permissible to invert the loadings graph (by multiplying by -1) if you also invert the component image. The end result is identical mathematically, but in some cases may be easier to explain. Don't hesitate to do this. For the graph, export the data to a spreadsheet (right- click on empty space in the graph and choose the clipboard text option to paste into your spreadsheet, and then subsequently multiply by -1); for the component image, use the SCALAR module or Image Calculator to multiply by -1.

If you have not yet stretched Component 1 from your anomalies analysis, do so now (with the symmetric option). This is the El Niño / La Niña phenomenon (also known as the El Niño / Southern Oscillation, abbre- viated as ENSO). ENSO is an irregular oscillation typically in the 2.5-7 year range. El Niño events are associated with a weakening (or even a reversal) of the prevailing easterlies (trade winds) along the equator. Normally, the frictional effect of these easterlies on the sea surface causes a movement of warm surface waters to the Asian side of the Pacific. In fact, normally, the Asian side is actually higher (by about 40 cm) than the South American side. When the trade winds weaken, this warm pool of water flows back to the South American side under the force of gravity. After a period of about 6-12 months of warming, the trade winds resume and the pattern reverses. In fact, El Niño events are characteristically followed by an abnormal strengthening of the trades, producing the opposite effect known as a La Niña.





Exercise 7-4 Decomposition using Principal Components 304

2 Looking at your loading graph, the big peaks and big valleys represent El Niño and La Niña events, respectively. Tabulate the periods when you think El Niño conditions existed, when the La Niña pattern was prevalent and when neither was present (some call this "La Nada"). What do you think is the typical length of a complete El Niño event? What about the typical length of a La Niña? How normal are La Nada conditions?


i)










j)


ENSO is known as a climate teleconnection because it leads to correlated climate conditions over widely dispersed areas of the globe. A teleconnection can also be defined as a characteristic pattern of variability. There is great interest in the study of teleconnections because of their utility in seasonal forecasting. By monitoring SST in the central Pacific, we now have good warning about the development of ENSO conditions, which has facilitated seasonal forecasting around

Kết quả (Việt) 1:

Tập thể dục 7-4 Phân hủy sử dụng thành phần chủ yếu Trái đất quan sát hình ảnh thường cho thấy rất nhiều biến đổi theo thời gian. Vì vậy, nó là phổ biến để muốn phân hủy mà biến đổi thành các thành phần cơ bản. Một trong những cách phổ biến nhất của việc này là thông qua hiệu trưởng Compo-nents phân tích (PCA - cũng được gọi là phân tích thực nghiệm trực giao chức năng (EOF)). a) Nếu bạn không làm như vậy, đọc các thành phần chính của chương trái đất xu hướng Modeler trong hướng dẫn sử dụng IDRISI. Sau đó mở bảng PCA trên phân tích tab. chọn tập hợp dữ liệu SST là dòng đầu vào. Mặc định được thiết lập để sử dụng điển hình của họ trong phân tích chuỗi thời gian để bạn ngay lập tức có thể nhấp vào nút chạy. Khi nó đã hoàn tất, ETM sẽ tự động chuyển sang bảng điều khiển khám phá cần-PCA-Fourier PCA/bề mặt của tab khám phá. Các thành phần đầu tiên sẽ được hiển thị. Lưu ý: Một làm rõ về thuật ngữ. Xin lưu ý các cộng đồng khoa học khí hậu học/khí quyển sử dụng một thuật ngữ khác nhau từ đó được sử dụng trong các cộng đồng địa lý và viễn thám. Điều này vượt xa các vấn đề của gọi nó EOF chứ không phải là PCA. Điểm khởi đầu cho một tiêu chuẩn PCA/EOF là một ma trận tương quan (hoặc một phương sai / ma trận hiệp phương sai nếu nó là unstandardized). Trong thể loại/từ xa cảm biến ứng dụng (vì nó là trong ETM), Ma trận tương quan này là giữa các hình ảnh theo thời gian. Vì vậy, nếu bạn có 300 hình ảnh theo thời gian, điều này là một ma trận 300 x 300 của mối tương quan. Climatological cộng đồng, các mối tương quan giữa các điểm ảnh trong không gian. Vì vậy nếu bạn có một chuỗi hình ảnh với 100 cột và 100 dòng, Ma trận tương quan sẽ là một ma trận 10.000 bởi 10.000. Cả hai thủ tục sản xuất một loạt các hình ảnh và một bộ tương ứng của đồ thị, mà là giống hệt nhau. Nói cách khác, đó là chỉ có một giải pháp bất kể như thế nào bạn xây dựng ma trận tương quan. Điều này là bởi vì các giải pháp là trực giao qua không gian và thời gian. Tuy nhiên, thuật ngữ là khác nhau. Trong việc thực hiện ở đây, những hình ảnh được gọi là thành phần và các đồ thị được gọi là lực. Nếu mối tương quan của bạn từ điểm ảnh, các đồ thị là các thành phần và những hình ảnh là các lực. Cũng lưu ý rằng một số climatologists là mỗi cặp thành phần/tải như là một chế độ. b) c) Nhìn vào biểu đồ tải đầu tiên. Điều này cho thấy thời gian vào X trục và tương quan trên trục Y. Nhận thấy rằng val - UES là tất cả rất cao. Điều này cho chúng ta biết là mỗi hình ảnh có mô hình này hiện nay bên trong nó. Vì vậy, đây là về cơ bản là các mô hình của nhiệt độ bề mặt biển trung bình dài hạn. Lưu ý rằng trong thông dịch các thành phần, bạn nên tập trung vào các mô hình trong không gian và không phải là các giá trị tuyệt đối của các thành phần phổ (các giá trị trong hình ảnh). Bởi vì nó là một phân tích tiêu chuẩn và thành phần kế tiếp dựa trên dư từ các thành phần trước đó, nó trở nên ngày càng khó khăn liên quan đến những giá trị này quay lại hình ảnh gốc. Tuy nhiên, chúng tôi có thể nhìn thấy trong tiêu đề của đồ thị lực nâng thành phần đầu tiên này chiếm 98.22% của biến đổi trong nhiệt độ bề mặt biển qua không gian và thời gian. Tất cả các biến đổi còn lại nằm trong 1,78% còn lại. Bây giờ trong bảng điều khiển khám phá PCA, chọn thành phần 2 và nhấp vào biểu tượng Hiển thị (bản đồ) để quyền của mình. Hình ảnh dùng-nent sẽ hiển thị. Thông báo rằng các lực theo một chu kỳ hàng năm là đối xứng về vị trí 0 tương quan. Khi các là tích cực trong Bắc bán cầu vào cuối mùa hè/sớm mùa thu và tiêu cực vào đầu mùa xuân. Sau đó, thông báo rằng hình ảnh thành phần cũng có giá trị tích cực và tiêu cực. Đây là một trường hợp mà nó là tốt nhất là đoạn tương phản là đối xứng về 0 để nó là rõ ràng là nơi có giá trị tiêu cực và nơi có giá trị tích cực. Vì vậy, hãy chắc chắn rằng các lớp PCA được đánh dấu bằng các nhà soạn nhạc (không có nếu bạn có một vector tự động lớp phủ), và nhấp vào nút căng trung ở dưới cùng của nhà soạn nhạc để tạo ra một đoạn đối xứng về zero. Nhận thấy sự khác biệt (Bắc/Nam) hemispheric điểm thành phần (các giá trị hình ảnh). Cũng nhận thấy ở Đại Tây Dương làm thế nào sự phân chia giữa các bán cầu rơi vào vị trí tương tự như các Đại Tây Dương tại xích đạo số lượt truy cập hiện tại đã nói trước đó. Rõ ràng đây là chu kỳ theo mùa hàng năm. Thông báo cũng rằng, trong khi các thành phần giải thích chỉ một ít hơn 1,5% của phương sai tất cả trong SST qua không gian và thời gian, điều này thể hiện hơn 85% của phương sai Tập thể dục 7-4 phân hủy bằng cách sử dụng chính thành phần 303 còn lại sau khi những ảnh hưởng của thành phần 1 được loại bỏ. Nhìn vào đồ thị lực và hình ảnh thành phần như một cặp, khi các nói rằng về mặt địa lý các mô hình có vẻ nhất như thế này trong phương Bắc cuối mùa hè/đầu mùa thu (tháng tám/tháng chín - tức là, khi tải-ings là cao) và đối diện của này mùa xuân đầu phương Bắc (tháng/tháng, khi các lực là rất tiêu cực). Các mô hình Sin gần như hoàn hảo của các lực hỗ trợ việc giải thích này là chu kỳ hàng năm, nhưng rõ ràng là một tụt hậu trong tác động tối đa của nó. d) bây giờ hiển thị đồ thị lực nâng và thành phần hình ảnh cho thành phần 3. Cũng có thể sử dụng nút căng trên Nhà soạn nhạc để kéo dài hình đối xứng. Đây cũng là một chu kỳ hàng năm, nhưng thông báo rằng nó là hơn phù hợp với mùa đông (tháng mười hai) và đầu mùa hè (tháng sáu) và rằng nó là nhỏ hơn nhiều ở kế toán của phương sai (chỉ khoảng 4% của phương sai giải thích bởi thành phần 2). 1 so sánh các khu vực có mùa mạnh nhất trong thành phần 2 và 3. Cho thời gian của lực, những gì hiện Điều này đề xuất về mối quan hệ giữa các thành phần trong không gian và thời gian? Chúng ta biết rằng thành phần độc lập với nhau. Được họ độc lập với nhau trong thời gian, space trở lên cả hai? e) f) g) h) Bây giờ hiển thị và kiểm tra các đồ thị tải cho các thành phần 4, 5 và 6. Căng ra mỗi người trong số những hình ảnh thành phần đối xứng có thể sử dụng tùy chọn căng trung trong nhà soạn nhạc người. Cấu phần 4 là cũng rõ ràng là một chu kỳ theo mùa; Tuy nhiên, nó là semiannual. Thành phần 5 rõ ràng là một chu kỳ interannual (chúng tôi sẽ có nhiều để nói về việc này một thời gian ngắn), trong khi thành phần 6 dường như là một kết hợp giữa một chu kỳ theo mùa (một lần nữa, bán hàng năm) và một interan - dao động nual. Điều này làm nổi bật một vấn đề thú vị liên quan đến PCA/EOF. Mặc dù các thành phần có thể repre-gửi đúng nguồn cơ bản của biến đổi, họ cũng có thể đại diện cho hỗn hợp. Chúng tôi sẽ khám phá này hơn nữa trong bài tập tiếp theo. Thường đó là những dao động interannual có một quan tâm chính trong phân tích chuỗi thời gian hình ảnh. Nếu trường hợp này xảy ra, sau đó nó là thường nên chạy PCA trên dữ liệu deseasoned. Vì vậy, hãy trở về tab phân tích và chạy PCA một lần nữa, nhưng lần này sử dụng các bất thường trong SST bạn tạo ra trong một tập thể dục trước đó. Sử dụng tất cả cùng tham số bạn đã lần đầu tiên (tức là, mặc định). Bây giờ nhìn vào thành phần 1 từ này phân tích mới và so sánh nó với thành phần 5 từ một trước đó của bạn. Rõ ràng họ là những điều tương tự (mặc dù nạp cho thành phần 1 của bất thường ở SST là chặt chẽ hơn theo thời gian), nhưng các mô hình được đảo ngược trong những hình ảnh thành phần và đồ thị lực nâng. Kể từ khi họ là cả hai đảo ngược, họ do đó đại diện cho cùng một điều. Nó là giống như lấy tiêu cực của một số tiêu cực đó sản lượng một tích cực. Điều này dẫn đến một vấn đề quan trọng. Nó về mặt toán học cho phép để đảo ngược các đồ thị lực (bằng cách nhân -1) nếu bạn cũng hoán đổi hình ảnh thành phần. Kết quả cuối cùng là giống hệt nhau toán học, nhưng trong một số trường hợp có thể dễ dàng hơn để giải thích. Đừng ngần ngại để làm điều này. Cho đồ thị, xuất khẩu các dữ liệu vào một bảng tính (nhấp chuột phải vào các không gian trống trong đồ thị và chọn tùy chọn văn bản bảng tạm để dán vào bảng tính của bạn, và sau đó sau đó nhân bởi -1); Đối với hình ảnh thành phần, sử dụng mô-đun vô hướng hoặc hình ảnh máy tính để nhân bởi -1. Nếu bạn đã không được kéo dài thành phần 1 từ phân tích bất thường của bạn, làm như vậy bây giờ (với các tùy chọn đối xứng). Đây là El Nino / La Niña hiện tượng (còn được biết đến như El Nino / Nam dao động, abbre-viated như ENSO). ENSO là một dao động bất thường trong phạm vi 2,5-7 năm. El Nino sự kiện có liên quan đến một sự suy yếu (hoặc thậm chí là một đảo ngược) của đậu (gió mậu dịch) hiện hành dọc theo đường xích đạo. Thông thường, có hiệu lực ma sát của các đậu trên mặt biển gây ra một phong trào của vùng biển ấm bề mặt để phía Châu á Thái Bình Dương. Trong thực tế, thông thường, Châu á là thực sự cao hơn (khoảng 40 cm) hơn phía Nam Mỹ. Khi gió mậu dịch làm suy yếu này ngoài trời ấm nước chảy về phía Nam Mỹ dưới các lực lượng của lực hấp dẫn. Sau một thời gian khoảng 6-12 tháng của sự nóng lên, tiếp tục gió mậu dịch và các mô hình đảo ngược. Trong thực tế, El Nino sự kiện đặc trưng được theo sau bởi một tăng cường bất thường của các ngành nghề, sản xuất có hiệu lực đối diện được gọi là La Niña. Tập thể dục 7-4 phân hủy bằng cách sử dụng chính thành phần 304 2 nhìn vào đồ thị tải của bạn, lớn đỉnh núi và thung lũng lớn đại diện cho El Nino và La Nina sự kiện, tương ứng. Chia loại thời gian khi bạn nghĩ rằng El Nino điều kiện tồn tại, khi mẫu La Niña là phổ biến và khi không phải là hiện tại (một số cuộc gọi này "La Nada"). Những gì bạn nghĩ là chiều dài điển hình của một sự kiện El Nino hoàn thành? Điều gì về chiều dài điển hình của một La Niña? Làm thế nào bình thường điều kiện La Nada? i) j) ENSO is known as a climate teleconnection because it leads to correlated climate conditions over widely dispersed areas of the globe. A teleconnection can also be defined as a characteristic pattern of variability. There is great interest in the study of teleconnections because of their utility in seasonal forecasting. By monitoring SST in the central Pacific, we now have good warning about the development of ENSO conditions, which has facilitated seasonal forecasting around