Once Bill began to conceptualize th

Once Bill began to conceptualize the table as being divided into small pieces, each one being a dA, he was able to relate pressure and area over each piece. These combined, through multiplication, to give the force “exerted on that part of the table.” Then the “infinite” number of small bits of forces were all added up to give the “total force” on the entire surface. Again we see the productiveness of the adding up pieces conceptualization for this problem, where both the anti-derivative and area under a curve notions proved less effective. Note that Bill’s explanation did not require any advanced understanding of multivariate calculus. He was able to simply divide the surface into smaller pieces and visualize an addition of force over all those pieces. Thus, this conceptualization is productive in this context (see Fig. 8).
As a final example, the adding up pieces symbolic form enabled the students to make sense of a variety of applied integrals by helping them attend to the relationship of the quantities represented by the integrand and the differential. Consider Devon’s explanation, while working with interview item Physics 1, about why an integral is appropriate for calculating the mass of a box. Devon created the integralV(r)dV, so I asked him to explain what it meant.

Kết quả (Việt) 1:

Sau khi Bill bắt đầu khái niệm bàn như được chia thành miếng nhỏ, mỗi một là một dA, ông đã có thể liên quan đến áp lực và lá trên mỗi phần. Các kết hợp, thông qua các phép nhân, để cung cấp cho lực lượng "tác dụng trên một phần của bảng." Sau đó số bit nhỏ của lực lượng, "vô hạn" đã được tất cả được gửi lên để cung cấp cho "tất cả quân" vào toàn bộ bề mặt. Một lần nữa chúng ta thấy productiveness thêm lên miếng conceptualization cho vấn đề này, nơi chống đạo hàm và các khu vực dưới một khái niệm đường cong đã có hiệu quả ít. Lưu ý rằng giải thích của Bill đã không yêu cầu bất kỳ sự hiểu biết tiên tiến của giải tích đa biến. Ông đã có thể chỉ đơn giản là chia bề mặt thành từng miếng nhỏ và hình dung một sự bổ sung của lực lượng trên tất cả các mảnh. Vì vậy, conceptualization này là sản xuất trong bối cảnh này (xem hình 8).Như là một ví dụ cuối cùng, thêm lên miếng hình thức biểu tượng cho phép các sinh viên để làm cho tinh thần của một loạt các ứng dụng tích phân bằng cách giúp họ tham gia vào mối quan hệ của số lượng đại diện bởi integrand và vi phân. Xem xét việc giải thích của Devon, trong khi làm việc với các cuộc phỏng vấn mục vật lý 1, về lý do tại sao một tích phân là thích hợp cho việc tính toán khối lượng của một hộp. Devon tạo tách rời V (r) dV, vì vậy tôi hỏi anh ta để giải thích những gì nó có nghĩa là.

Kết quả (Việt) 2:

Khi Bill bắt đầu để khái niệm bảng như được chia thành nhiều phần nhỏ, mỗi một là dA, ông đã có thể liên quan áp và khu vực trên mỗi mảnh. Những kết hợp, thông qua nhân, để cung cấp cho lực lượng "đè lên một phần của bảng." Sau đó, "vô hạn" số bit nhỏ của lực lượng đều tăng lên để cung cấp cho các "tổng lực" trên toàn bộ bề mặt. Một lần nữa chúng ta thấy năng suất của các thêm lên miếng khái niệm cho vấn đề này, trong đó cả những quan niệm chống phái sinh và diện tích dưới đường cong tỏ ra kém hiệu quả. Lưu ý rằng lời giải thích của Bill đã không yêu cầu bất kỳ sự hiểu biết tiên tiến của giải tích đa biến. Ông đã có thể chỉ đơn giản là chia bề mặt thành miếng nhỏ hơn và hình dung một sự bổ sung lực lượng cho tất cả những miếng. Như vậy, khái niệm này có năng suất cao trong bối cảnh này (xem hình. 8).
Như một ví dụ cuối cùng, các mảnh thêm lên hình thức tượng trưng cho phép các sinh viên để làm cho tinh thần của một loạt các tích phân ứng dụng bằng cách giúp họ tham gia vào các mối quan hệ của số lượng đại diện bởi các tích phân và sự khác biệt. Hãy xem xét lời giải thích của Devon, trong khi làm việc với Physics mục phỏng vấn 1, về việc tại sao một tích phân là thích hợp để tính khối lượng của một hộp. Devon tạo ra V không thể thiếu? (R) dV, vì vậy tôi yêu cầu ông giải thích ý nghĩa của nó.