This month's puzzle is about a two

This month's puzzle is about a two player game involving a shooter, S, and a target, T. The target can move among three locations 0,1,2. The game is played in rounds. Each round begins with T located where he was at the conclusion of the previous round. In each round T can choose to stay at the same location or move to a location 1 different. So T can move freely among the locations except moves from 0 to 2 or 2 to 0 are impossible. In each round S also picks a location (without knowing the T's choice). If T and S pick the same location S scores a point. At the end of each round S is told T's new location. The game is played over many rounds.
Part 1: The objective of S is to score points at the greatest possible rate. The objective of T is to allow S to score points at the least possible rate. If S and T play optimally at what rate (points/round) will S score points?
Part 2: Suppose the objectives are reversed, T is trying to get S to score points and S is trying to avoid scoring points. Again if both play optimally at what rate will S score?
**Note: a correct solution is required for both parts.
Answer:
It turns out T basically need only consider the current round.
Part 1: Answer is a rate of 3/7.
T minimizes S's score for the current round by picking each of the choices with equal probability. If T does this it is easy to verify T will start the round at 0, 1 or 2 with probability 2/7, 3/7 or 2/7 respectively. When T starts at 0 or 2, S will score at most 1/2 the time. When T starts at 1, S will score 1/3 the time. So overall S will score at a rate of 3/7 or less. Conversely S can guarantee scoring at a rate of 3/7 or more with the following strategy. When T starts at 0, S picks 0,1 with probability 3/7,4/7 respectively. When T starts at 1, S picks 0,1 or 2 with probability 2/7,3/7,2/7 respectively. When T starts at 2, S picks 1,2 with probability 4/7,3/7 respectively. It is easy to see this guarantees S will score at rate 3/7. When T stays put S will score 3/7 of the time. When T moves from 1 to 0 or 2, S will only score 2/7 of the time but when T returns to 1 from 0 or 2, S will score 4/7 of the time. So overall S will score at rate 3/7.
Part 2: Answer is a rate of 1/5.
Clearly T can only force scores when he starts at 1. If T starts at 1 and picks 0,1,2 with probability 1/3, S will score 1/3 of the time. When T starts at 0 or 2 he should immediately move to 1 to be in a position to force a score. If T follows this strategy it is easy to see he will start 1/5,3/5,1/5 of the rounds at 0,1,2 respectively and force S to score at a rate of 1/5. Conversely S can hold the rate he scores to 1/5 by following the following strategy. When T starts at 0 or 2 pick the other guaranteeing a miss. When T starts at 1 pick 0,1,2 with probability 2/5,1/5,2/5. So if T stays at 1, S will score at rate 1/5. If T moves from 1 to 0 or 2, S will score at rate 2/5 but will score 0 the next round. So overall S will score at a rate of at most 1/5.

Kết quả (Việt) 1:

câu đố của tháng này là về một trò chơi hai người chơi liên quan đến một game bắn súng, s, và một mục tiêu, t. mục tiêu có thể di chuyển giữa ba địa điểm 0,1,2. chơi trò chơi là trong vòng. mỗi vòng bắt đầu với t nằm nơi ông là khi kết thúc vòng đấu trước. trong mỗi t vòng có thể chọn ở tại cùng một vị trí hoặc di chuyển đến một vị trí khác nhau 1.do đó, t có thể di chuyển tự do giữa các địa điểm ngoại trừ di chuyển 0-2 hoặc 2-0 là không thể. trong mỗi vòng cũng chọn một vị trí (mà không biết sự lựa chọn của t). nếu t và s chọn điểm cùng vị trí là một điểm. ở cuối mỗi vòng s được nói với vị trí mới của t. các trò chơi được chơi trên nhiều vòng
phần 1:. mục tiêu là để ghi điểm với tốc độ lớn nhất có thể.mục tiêu của t là cho phép s để ghi điểm ở mức ít nhất có thể. nếu s và t chơi tối ưu ở những gì tỷ lệ (điểm / vòng) sẽ s điểm số điểm
phần 2: giả sử các mục tiêu được đảo ngược, t đang cố gắng để có được s để điểm số điểm và s đang cố gắng để tránh điểm ghi bàn. một lần nữa nếu cả hai chơi tối ưu ở những gì tỷ lệ sẽ s Điểm
** lưu ý:
câu trả lời một giải pháp chính xác là cần thiết cho cả hai phần:.
nó quay ra t về cơ bản chỉ cần xem xét các vòng hiện
phần 1:.. Câu trả lời là một tỷ lệ 3/7
t giảm thiểu s điểm cho vòng hiện tại bằng cách chọn mỗi lựa chọn với xác suất bằng nhau. nếu t thực hiện điều này rất dễ dàng để xác minh t sẽ bắt đầu vòng 0, 1 hoặc 2 với xác suất 2/7, 3/7 hoặc 2/7 tương ứng. khi t bắt đầu từ 0 hoặc 2, s sẽ ghi bàn nhiều nhất là 1/2 thời gian. khi t bắt đầu từ 1,s sẽ ghi 1/3 thời gian. để s tổng thể sẽ ghi với tốc độ 3/7 hoặc ít hơn. ngược lại s có thể đảm bảo điểm với tỷ lệ 3/7 trở lên với chiến lược sau đây. khi t bắt đầu từ 0, s chọn với xác suất 0,1 3/7, 4/7 tương ứng. khi t bắt đầu từ 1, s chọn 0,1 hoặc 2 với xác suất 2/7, 3/7, 2/7 tương ứng. khi t bắt đầu vào lúc 2, s chọn với xác suất 1,2 4/7, 3/7 tương ứng.nó rất dễ dàng để xem đảm bảo nay sẽ số điểm tỷ lệ 3/7. khi t vẫn đặt s sẽ ghi 3/7 của thời gian. khi t di chuyển 1-0 hoặc 2, s sẽ chỉ ghi được 2/7 thời gian, nhưng khi trở về t 1 từ 0 hoặc 2, s sẽ ghi 4/7 của thời gian. vì vậy tổng thể s sẽ ghi điểm ở mức 3/7
phần 2:. Câu trả lời là một tỷ lệ 1/5
t rõ ràng chỉ có thể buộc điểm khi ông bắt đầu từ 1.. nếu t bắt đầu từ 1 và chọn 0,1,2 với xác suất 1/3, s sẽ ghi 1/3 thời gian. khi t bắt đầu từ 0 hoặc 2 ông phải ngay lập tức di chuyển đến 1 để được ở một vị trí để buộc một số điểm. nếu t sau chiến lược này nó rất dễ dàng để xem anh ta sẽ bắt đầu từ 1/5, 3/5, 1/5 của ván tại 0,1,2 tương ứng và buộc s để ghi điểm với tỷ lệ 1/5. ngược lại s có thể giữ tỷ lệ ông điểm 1/5 bằng cách làm theo các chiến lược sau đây.khi t bắt đầu từ 0 hoặc 2 chọn bảo lãnh khác một bỏ lỡ. khi t bắt đầu từ 1 chọn 0,1,2 với xác suất 2/5, 1/5, 2/5. vì vậy nếu t vẫn ở 1, s sẽ ghi bàn ở tỷ lệ 1/5. nếu t di chuyển 1-0 hoặc 2, s sẽ ghi với tốc độ 2/5 nhưng sẽ ghi 0 vào vòng tiếp theo. vì vậy tổng thể s sẽ ghi với tốc độ tối đa là 1/5.

Kết quả (Việt) 2:

Câu đố của tháng này là về một hai người chơi trò chơi liên quan đến một game bắn súng, S, và một mục tiêu, T. Mục tiêu có thể di chuyển một trong ba địa điểm 0,1,2. Trò chơi được chơi trong vòng. Mỗi vòng bắt đầu với T có vị trí cách nơi ông đã kết thúc các vòng trước đó. Trong mỗi vòng có thể chọn để ở cùng một vị trí hoặc di chuyển đến một vị trí 1 khác nhau. Vì vậy T thể di chuyển tự do giữa các vị trí ngoại trừ việc di chuyển từ 0 đến 2 hoặc 2-0 là không thể. Trong mỗi vòng cũng chọn vị trí (mà không biết sự lựa chọn của T). Nếu T và S nhận cùng một vị trí S điểm một điểm. Vào cuối của mỗi vòng nói với vị trí mới của T. Trò chơi được chơi trong nhiều vòng.
phần 1: mục tiêu của S là điểm ở mức có thể lớn nhất. Mục tiêu của T là cho phép S để điểm số điểm ở mức ít nhất có thể. Nếu S và T chơi tối ưu tại những gì tỷ lệ (điểm/vòng) sẽ S điểm?
phần 2: giả sử các mục tiêu được đảo ngược, T cố gắng để có được S để điểm số điểm và S cố gắng để tránh ghi điểm. Một lần nữa nếu cả hai đều chơi tối ưu tại những gì tỷ lệ sẽ được điểm S?
** lưu ý: một giải pháp chính xác là cần thiết cho cả hai bộ phận.
câu trả lời:
Nó chỉ ra T về cơ bản chỉ cần xem xét các vòng hiện tại.
phần 1: câu trả lời là một tỷ lệ 3/7.
T giảm thiểu S điểm cho vòng hiện hành bằng cách chọn mỗi người trong số các lựa chọn với xác suất bằng nhau. Nếu T thực hiện điều này nó rất dễ dàng để xác minh T sẽ bắt đầu trong vòng tại 0, 1 hoặc 2 với xác suất 2/7, 3/7 hoặc 2/7 tương ứng. Khi T bắt đầu lúc 0 hoặc 2, S sẽ điểm tối đa 1/2 giờ. Khi T bắt đầu từ 1, S sẽ điểm 1/3 thời gian. Vì vậy tổng thể S sẽ điểm tại một tỷ lệ 3/7 hoặc ít hơn. Ngược lại S có thể đảm bảo ghi tốc độ 3/7 hoặc nhiều hơn với các chiến lược sau. Khi T bắt đầu lúc 0, S chọn 0,1 với xác suất 7,4-3-7 tương ứng. Khi T bắt đầu tại 1, S chọn 0,1 hoặc 2 với xác suất 2/7,3/7,2/7 tương ứng. Khi T bắt đầu lúc 2, S chọn 1,2 với xác suất 7,3-4-7 tương ứng. Nó rất dễ dàng để xem điều này đảm bảo S sẽ điểm ở mức 3/7. Khi T được đặt S sẽ điểm 3/7 của thời gian. Khi T di chuyển từ 1 0 hoặc 2, S sẽ chỉ điểm 2/7 thời gian nhưng khi T trở về 1 0 hoặc 2, S sẽ điểm 4/7 của thời gian. Vì vậy, tổng thể S sẽ điểm ở mức 3/7.
phần 2: câu trả lời là một tỷ lệ 1/5.
rõ ràng T có thể chỉ lực lượng điểm khi anh ta bắt đầu lúc 1. Nếu T bắt đầu từ 1 và chọn 0,1,2 với xác suất 1/3, S sẽ điểm 1/3 thời gian. Khi T bắt đầu từ 0 hoặc 2 ông nên ngay lập tức di chuyển đến 1 để ở một vị trí để buộc một số điểm. Nếu T sau chiến lược này có thể dễ dàng nhìn thấy ông sẽ bắt đầu 1/5,3/5,1/5 quả đạn pháo lúc 0,1,2 tương ứng và lực lượng S để điểm số một tỷ lệ 1/5. Ngược lại, S có thể giữ mức ông điểm cho 1/5 bằng cách làm theo các chiến lược sau. Khi T bắt đầu tại 0 hoặc 2 chọn các đảm bảo một lỡ. Khi T bắt đầu từ 1 chọn 0,1,2 với xác suất 2/5,1/5,2/5. Vì vậy, nếu T vẫn tại 1, S sẽ điểm ở mức 1/5. Nếu T di chuyển từ 1 đến 0 hoặc 2, S sẽ điểm ở mức 2/5 nhưng sẽ điểm 0 vào vòng tiếp theo. Vì vậy, tổng thể S sẽ điểm tại một tỷ lệ tối đa 1/5.