The proof outlined above accomplish

The proof outlined above accomplishes more than proving the equality of the
maximum-flow value and the minimum-cut capacity. It also implies that when the
augmenting-path method terminates, it yields both a maximum flow and a minimumcut.
If labeling of the kind utilized in the shortest-augmenting-path algorithm
is used, a minimum cut is formed by the edges from the labeled to unlabeled vertices
on the last iteration of the method. Finally, the proof implies that all such
edges must be full (i.e., the flows must be equal to the edge capacities), and all
the edges from unlabeled vertices to labeled, if any, must be empty (i.e., have
zero flows on them). In particular, for the network in Figure 10.7, the algorithm
finds the cut {(1, 2), (4, 3)} of minimum capacity 3, both edges of which are full as
required.
Edmonds and Karp proved in their paper [Edm72] that the number of augmenting
paths needed by the shortest-augmenting-path algorithm never exceeds
nm/2, where n and m are the number of vertices and edges, respectively. Since
the time required to find a shortest augmenting path by breadth-first search is
in O(n + m) = O(m) for networks represented by their adjacency lists, the time
efficiency of the shortest-augmenting-path algorithm is in O(nm2).
More efficient algorithms for the maximum-flow problem are known (see the
monograph [Ahu93], as well as appropriate chapters in such books as [Cor09] and
[Kle06]). Some of them implement the augmenting-path idea in a more efficient
manner. Others are based on the concept of preflows. A preflow is a flow that
satisfies the capacity constraints but not the flow-conservation requirement. Any
vertex is allowed to have more flow entering the vertex than leaving it.Apreflowpush
algorithm moves the excess flow toward the sink until the flow-conservation
requirement is reestablished for all intermediate vertices of the network. Faster algorithms
of this kind have worst-case efficiency close toO(nm). Note that preflowpush
algorithms fall outside the iterative-improvement paradigm because they do
not generate a sequence of improving solutions that satisfy all the constraints of
the problem.

Kết quả (Việt) 1:

Bằng chứng đã nêu ở trên hoàn thành hơn chứng minh sự bình đẳng của cácgiá trị tối đa luồng và năng lực cắt giảm tối thiểu. Nó cũng ngụ ý rằng khi cácphương pháp đường dẫn augmenting chấm dứt, nó mang lại một luồng cực đại và minimumcut một.Nếu ghi nhãn của các loại được sử dụng trong các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhấtsử dụng, một cắt giảm tối thiểu được hình thành bởi các cạnh từ đỉnh có nhãn để ổNgày lặp cuối của phương pháp. Cuối cùng, bằng chứng ngụ ý rằng tất cả cáccạnh phải được đầy đủ (ví dụ, dòng chảy phải bằng năng lực cạnh), và tất cảcác cạnh từ ổ đỉnh để dán nhãn, nếu có, phải được sản phẩm nào (ví dụ, cókhông dòng chảy vào chúng). Đặc biệt, cho mạng trong hình 10.7, các thuật toántìm thấy việc cắt giảm {(1, 2), (4, 3)} tối thiểu năng lực 3, cả hai cạnh trong đó có đầy đủ nhưyêu cầu.Edmonds và Karp đã chứng minh trong giấy của họ [Edm72] mà số lượng augmentingđường dẫn cần thiết bởi các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhất không bao giờ vượt quánm/2, nơi n và m là số lượng các đỉnh và các cạnh, tương ứng. Kể từthời gian cần thiết để tìm một con đường thông ngắn nhất bằng cách tìm kiếm theo chiều rộngở O (n + m) = O(m) cho mạng đại diện bởi danh sách kề của họ, thời gianhiệu quả của các thuật toán augmenting-đường đi ngắn nhất là trong O(nm2).Các thuật toán hiệu quả hơn cho các vấn đề tối đa-dòng chảy được biết đến (xem cácMonograph [Ahu93], cũng như thích hợp chương trong cuốn sách như vậy là [Cor09] và[Kle06]). Một số người trong số họ thực hiện ý tưởng con đường augmenting trong một hiệu quả hơncách. Những người khác được dựa trên các khái niệm về preflows. Preflow một là một dòng chảy màđáp ứng những hạn chế năng lực nhưng không yêu cầu bảo tồn dòng chảy. Bất kỳđỉnh được cho phép để có thêm dòng chảy vào đỉnh hơn để lại nó. Apreflowpushthuật toán di chuyển vượt quá dòng chảy về hướng bồn rửa chén cho đến khi dòng chảy bảo tồnyêu cầu tái lập cho tất cả trung gian đỉnh của mạng. Thuật toán nhanh hơnloại này có hiệu quả tồi tệ nhất đóng toO(nm). Lưu ý rằng preflowpushthuật toán nằm ngoài các mô hình cải thiện lặp đi lặp lại bởi vì họ làmkhông tạo ra một chuỗi các cải thiện giải pháp đáp ứng tất cả các khó khăn củavấn đề.

Kết quả (Việt) 2:

Các bằng chứng nêu trên hoàn thành hơn minh bình đẳng của các
giá trị tối đa-lưu lượng và công suất tối thiểu cắt. Nó cũng hàm ý rằng khi các
phương pháp làm tăng-con đường chấm dứt, nó mang lại cả một dòng chảy tối đa và một minimumcut.
Nếu ghi nhãn của các loại sử dụng trong thuật toán ngắn nhất làm tăng đường dẫn
được sử dụng, cắt giảm tối thiểu được hình thành bởi các cạnh từ các nhãn đến đỉnh không có nhãn
trên lặp cuối cùng của phương pháp. Cuối cùng, bằng chứng có nghĩa rằng tất cả như
cạnh phải đầy đủ (tức là, các dòng phải bằng năng lực cạnh), và tất cả
các cạnh từ đỉnh không có nhãn để dán nhãn, nếu có, phải là trống rỗng (tức là, có
không chảy vào chúng ). Đặc biệt, đối với các mạng trong hình 10.7, các thuật toán
tìm việc cắt giảm {(1, 2), (4, 3)} công suất tối thiểu 3, cả hai cạnh trong đó có đầy đủ như
yêu cầu.
Edmonds và Karp đã chứng minh trong bài báo của họ [ Edm72] là số lượng việc làm tăng
đường dẫn cần thiết bởi các thuật toán ngắn nhất làm tăng-con đường không bao giờ vượt quá
nm / 2, trong đó n và m là số đỉnh và các cạnh tương ứng. Kể từ
thời gian cần thiết để tìm một con đường làm tăng ngắn nhất bằng cách tìm kiếm theo chiều rộng là
trong O (n + m) = O (m) cho các mạng đại diện bởi danh sách kề của họ, thời gian
hiệu quả của thuật toán ngắn nhất làm tăng-path là trong O (nm2).
thuật toán hiệu quả hơn đối với các vấn đề tối đa luồng được biết (xem
chuyên khảo [Ahu93], cũng như các chương thích hợp trong cuốn sách như [Cor09] và
[Kle06]). Một số trong số họ thực hiện ý tưởng làm tăng đường dẫn trong một hiệu quả hơn
cách. Những người khác được dựa trên khái niệm về preflows. Một preflow là một dòng chảy đó
đáp ứng các hạn chế năng lực nhưng không yêu cầu dòng chảy-bảo tồn. Bất kỳ
đỉnh được phép có nhiều dòng chảy vào các đỉnh hơn là để it.Apreflowpush
thuật toán di chuyển các luồng dư thừa về phía bồn rửa cho đến khi dòng-bảo tồn
yêu cầu được tái thiết lập cho tất cả các đỉnh trung gian của mạng. Các thuật toán nhanh
của loại hình này có trường hợp xấu nhất hiệu quả gần quá (nm). Lưu ý rằng preflowpush
thuật toán nằm ngoài mô hình lặp đi lặp lại hoàn thiện bởi vì họ
không tạo ra một chuỗi các giải pháp cải thiện đáp ứng tất cả các khó khăn của
vấn đề.