2.9 MatricesThe problems in this se

2.9 Matrices
The problems in this section can be solved using properties of matrices that do not
involve the row–column structure. An example is the following:
Prove that if A and B are n×n matrices, then
det(In−AB) = det(In−BA).
For the solution, let us assume first that B is invertible. Then In − AB = B−1
(In−BA)B, and hence
det(In−AB) = det(B−1)det(In−BA)detB = det(In−BA).
2.9. Matrices 65
If B is not invertible, consider instead the matrix Bx = xIn +B. Since det(xIn +B)
is a polynomial in x, the matrices Bx are invertible for all but finitely many values
of x. Thus we can use the first part of the proof and conclude that det(In −ABx) =
det(In −BxA) for all except finitely many values of x. But these two determinants are
polynomials in x, which are equal for infinitely many values of x, so they must always
be equal. In particular, for x = 0, det(In−AB) = det(In−BA).
As a consequence, we see that if In −AB is invertible, then In −BA is also invertible.
Here is a direct proof of this implication. If V is the inverse of In −AB, then
V(In−AB) = In, hence VAB =V −In. We have
(In+BVA)(In −BA) = In−BA+BVA−BVABA
= In−BA+BVA−B(V −In)A = In,
hence In+BVA is the inverse of In−BA.
1. Let A,B be two square matrices such that A+B = AB. Prove that A and B commute.
2. Prove that if A is a 5×4 matrix and B is a 4×5 matrix, then
det(AB−I5)+det(BA−I4) = 0.
3. Let X, Y, Z be n×n matrices such that
X +Y +Z = XY+YZ+ZX.
Prove that the equalities
XYZ = XZ−ZX,
YZX = YX−XY,
ZXY = ZY−YZ,
are equivalent.
4. Show that for any two n×n matrices A and B, the following identity holds:
det(In−AB) = det

In A
B In

.
5. Let A be an n×n matrix such that An = αA where α is a real number different
from 1 and −1. Prove that the matrix A+In is invertible.
6. If A and B are different matrices satisfying A3 = B3 and A2B = B2A, find
det(A2+B2).
7. Prove that if A is an n×n matrix with real entries, then
det(A2 +In) ≥ 0.
66 Chapter 2. Algebra and Analysis
8. Show that if A and B are n×n matrices with real entries and AB = 0n, then
det(In+A2p+B2q) ≥ 0 for any positive integers p and q.
9. Let A, B, C be n×n real matrices that are pairwise commutative and ABC = 0n.
Prove that
det(A3 +B3+C3)det(A+B+C)≥ 0.
10. Let p and q be real numbers such that x2 + px+q = 0 for every real number x.
Prove that if n is an odd positive integer, then
X2+ pX +qIn = 0n
for all real matrices X of order n×n.
11. Let A and B be two n×n matrices and let C =AB−BA. Show that ifC commutes
with both A and B, then there exists an integer m such that Cm = 0n.
2.10 The Mean Value Theorem
Rolle’s theorem states that if a function f : [a,b] → R is continuous on [a,b], differentiable
on (a,b), and such that f (a) = f (b), then there exists a point c ∈ (a,b) with
f (c) = 0. This is a consequence of the fact that f has an extremum in the interior of
the interval, and that the derivative vanishes at extremal points.
An important corollary of Rolle’s theorem is the mean value theorem, due to
Lagrange:
Let f : [a,b] → R be a function that is continuous on [a,b] and differentiable on
(a,b). Then there exists c ∈ (a,b) such that
f (b)− f (a)
b−a
= f (c).
A more general form of this theorem is due to Cauchy:
Let f ,g : [a,b] → R be two functions, continuous on [a,b] and differentiable on
(a,b). Then there exists c ∈ (a,b) such that
( f (b)− f (a))g(c) = (g(b)−g(a)) f (c).
This follows by applying Rolle’s theorem to the function
H(x) = (f (b)− f (a))(g(x)−g(a))−(g(b)−g(a))( f (x)− f (a)).
The mean value theorem is the special case where g(x) = x.
Let us apply the mean value theorem to solve a problem from the 1978 Romanian
Mathematical Olympiad, proposed by S. R˘adulescu.
2.10. The Mean Value Theorem 67
It can be easily seen that 20+50 = 30+40 and 21+51 = 31 +41. Are there other
real numbers x such that
2x+5x = 3x+4x?
Rewrite the equation as
5x−4x = 3x−2x.
Now view x as a constant, and the numbers 2,3,4,5 as points where we evaluate the
function f (t)=tx. On the intervals [2,3] and [4,5], this function satisfies the hypothesis
of the mean value theorem; hence there exist t1 ∈ (2,3) and t2 ∈ (4,5) with xtx−1
1 =
5x−4x and xtx−1
2 = 3x−2x (note that the derivative of f is f (t) = xtx−1).
It follows that tx−1
1 = tx−1
2 , and hence (t1/t2)x−1 = 1. The numbers t1 and t2 are
distinct, since they lie in disjoint intervals, so this equality cannot hold. Thus there are
no other real numbers x besides 0 and 1 that satisfy this equation.
1. Prove that if the real numbers a0,a1, . . . ,an satisfy
nΣ
i=0
ai
i+1
= 0,
then the equation anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 = 0 has at least one real root.
2. One can easily check that 22+92 =62+72 and 13+123 =93+103. But do there
exist distinct pairs (x,y) and (u,v) of positive integers such that the equalities
x2 +y2 = u2+v2
x3 +y3 = u3+v3
hold simultaneously?
3. Let p be a prime number, and let a,b,c,d be distinct positive integers such that
ap+bp = cp+dp. Prove that
|a−c|+|b−d|≥ p.
4. Let a,b be two positive numbers, and let f : [a,b]→R be a continuous function,
differentiable on (a,b). Prove that there exists c ∈ (a,b) such that
1
a−b
(a f (b)−b f (a)) = f (c)−c f (c).
5. Let f : [a,b]→R a continuous positive function, differentiable on (a,b). Prove
that there exists c ∈ (a,b) such that
f (b)
f (a)
= e(b−a) f (c)
f (c) .
68 Chapter 2. Algebra and Analysis
6. Let f ,g : [a,b] → R be two continuous functions, differentiable on (a,b).
Assume in addition that g and g are nowhere zero on (a,b) and that f (a)/
g(a) = f (b)/g(b). Prove that there exists c ∈ (a,b) such that
f (c)
g(c)
=
f (c)
g(c) .
7. Let f : [a,b]→R be a continuous function, differentiable on (a,b) and nowhere
zero on (a,b). Prove that there exists θ ∈ (a,b) such that
f (θ )
f (θ )
=
1
a−θ
+
1
b−θ .
8. Let f : R → R be a differentiable function. Assume that limx→∞ f (x) = a for
some real number a and that limx→∞ x f (x) exists. Evaluate this limit.
9. Compute the limit
lim
n→∞
√
n

1+
1
n+1

n+1
−

1+
1
n

n

.
10. Let f : [0,1] → R be a continuous function, differentiable on (0,1), with the
property that there exists a ∈ (0,1] such that

a
0 f (x)dx = 0. Prove that


1
0
f (x)dx

≤ 1−a
2
sup
x∈(0,1)
| f (x)|.
Can equality hold?
11. Suppose that f : [0,1] → R has a continuous derivative and that

1
0 f (x)
dx = 0. Prove that for every α ∈ (0,1),

α
0
f (x)dx

≤ 1
8
max
0≤x≤1
| f (x)|.
12. The function f : R→R is differentiable and
f (x) = f

x
2

+
x
2
f (x)
for every real number x. Prove that f is a linear function, that is, f (x) = ax+b
for some a,b ∈ R.

Kết quả (Việt) 1:

2,9 ma trậnCác vấn đề trong phần này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các thuộc tính của ma trận khôngliên quan đến cấu trúc hàng-cột. Một ví dụ là sau đây:Chứng minh rằng nếu A và B là n × n ma trận, sau đóDet(in−AB) = det(In−BA).Cho các giải pháp, chúng ta hãy giả sử đầu tiên B là khả nghịch. Sau đó trong − AB = B−1(In−BA) B, và do đóDet(in−AB) = det (B−1) det (In−BA) detB = det(In−BA).2.9. ma trận 65Nếu B không phải là khả nghịch, xem xét việc thay vì ma trận Bx = Xin suo + sinh Kể từ det (Xin suo + B)là một đa thức trong x, Ma trận Bx là khả nghịch cho tất cả, nhưng giá trị nhiều finitelycủa x. Do đó chúng tôi có thể sử dụng phần đầu tiên của các bằng chứng và kết luận rằng det (trong −ABx) =Det (trong −BxA) cho tất cả ngoại trừ finitely nhiều giá trị của x. Nhưng những yếu tố quyết định haiđa thức trong x, đều được bình đẳng với vô hạn đếm được nhiều giá trị của x, do đó, họ phải luôn luônđược bình đẳng. Đặc biệt, với x = 0, det(In−AB) = det(In−BA).Kết quả là, chúng ta thấy rằng nếu −AB là khả nghịch, sau đó trong −BA cũng là khả nghịch.Đây là một bằng chứng trực tiếp của ngụ ý này. Nếu V là nghịch đảo của trong −AB, sau đóV(in−AB) = trong, do đó VAB = V −In. Chúng tôi có(Tại + BVA) (Trong −BA) = In−BA + BVA−BVABA= In−BA + BVA−B(V −In) A =,do đó tại + BVA là nghịch đảo của In−BA.1. Hãy để A, B là hai ma trận vuông như vậy đó A + B = AB. chứng minh rằng A và B đi làm.2. chứng minh rằng nếu A là một ma trận 5 × 4 và B là một ma trận 4 × 5, sau đóDet(AB−i5)+Det(ba−I4) = 0.3. Hãy để X, Y, Z là n × n ma trận như vậy màX + Y + Z = XY + YZ + ZX.Chứng minh các đẳngXYZ = XZ−ZX,YZX = YX−XY,ZXY = ZY−YZ,là tương đương.4. Hiển thị rằng cho bất kỳ hai n × n ma trận A và B, danh tính sau nắm giữ:Det(in−AB) = detTrong AB trong.5. giả sử A là một n × n ma trận như vậy mà một = αA nơi α là một số thực khác nhautừ 1 và −1. Chứng minh rằng ma trận một + trong là khả nghịch.6. Nếu A và B là hai ma trận khác nhau đáp ứng A3 = B3 và A2B = B2A, tìmDet(A2+B2).7. chứng minh rằng nếu A là một n × n ma trận bằng các mục được thực, sau đóDet(A2 +in) ≥ 0.66 chương 2. Đại số và phân tích8. Hiển thị đó nếu A và B là n × n ma trận với thực sự mục và AB = 0n, sau đóDet(in+A2p+B2q) ≥ 0 cho bất kỳ số nguyên dương p và q.9. Hãy để A, B, C là n × ma trận thực n pairwise giao hoán và ABC = 0n.Chứng minh rằngDet (A3 + B3 + C3) det (A + B + C) ≥ 0.10. Hãy p và q là số thực như vậy đó x 2 + px + q = 0 cho mọi số thực x.Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương lẻ, sau đóX 2 + pX + tần = 0ncho tất cả thực sự ma trận X bậc n × n.11. để cho A và B là hai n × n ma trận và C = AB−BA. Hiển thị đó ifC commutesvới cả hai A và B, sau đó có tồn tại một số nguyên m như vậy đó Cm = 0n.2.10 định lý giá trị trung bìnhRolle của định lý nói rằng nếu một hàm f: [a, b] → R là liên tục trên [a, b], trơnngày (a, b), và sao cho f (a) = f (b), sau đó có tồn tại một điểm c ∈ (a, b) vớif (c) = 0. Đây là một hệ quả của thực tế đó f có extremum một trong nội thất củakhoảng thời gian, và đó đạo hàm biến mất tại điểm game.Một corollary Rolle của định lý quan trọng là định lý giá trị trung bình, doLagrange:Cho f: [a, b] → R là một chức năng đó là liên tục trên [a, b] và khả vi trên(a, b). Sau đó có tồn tại c ∈ (a, b) sao chof (b) − f (a)b−a= f (c).Một hình thức tổng quát hơn của định lý này là do Cauchy:Hãy để f, g: [a, b] → R là hai chức năng, liên tục trên [a, b] và khả vi trên(a, b). Sau đó có tồn tại c ∈ (a, b) sao cho(f (b) − f (a)) g (c) = (g(b)−g(a)) f (c).Điều này sau bằng cách áp dụng Rolle của định lý để các chức năngH (x) = (f (b) − f (a))(g(x)−g(a))−(g(b)−g(a)) (f (x) − f (a)).Định lý giá trị trung bình là trường hợp đặc biệt nơi g(x) = x.Hãy để chúng tôi áp dụng định lý giá trị trung bình để giải quyết một vấn đề từ Romania năm 1978Olympic Toán học, được đề xuất bởi S. R˘adulescu.2.10. định lý giá trị trung bình 67Nó có thể dễ dàng thấy rằng 20 + 50 = 30 + 40 và 21 + 51 = + 41 31. Là có khácsố thực x như vậy đó2 x + 5 x = 3 x + 4 x?Ghi đè phương trình như5x−4X = 3x−2x.Bây giờ xem x là một hằng số, và những con số 2,3,4,5 là điểm nơi chúng tôi đánh giá cácchức năng f (t) = tx. Vào khoảng thời gian [2,3] và [4,5], chức năng này đáp ứng các giả thuyếtđịnh lý giá trị trung bình; do đó có tồn tại t1 ∈ (2,3) và t2 ∈ (4,5) với xtx−11 =5x−4X và xtx−12 = 3x−2x (lưu ý rằng đạo hàm của f f (t) = xtx−1).Nó sau đó tx−11 = tx−12, và do đó (t1/t2) x−1 = 1. Số t1 và t2khác biệt, kể từ khi họ nói dối trong các, vì vậy bình đẳng này không thể giữ. Do đó cókhông có các số thực x bên cạnh 0 và 1 mà thỏa mãn phương trình này.1. chứng minh rằng nếu số thực a0, a1,..., một satisfynΣTôi = 0Aii + 1= 0,sau đó các phương trình anxn + an−1xn−1 + · + a1x + a0 = 0 có ít nhất một gốc thực sự.2. một có thể dễ dàng kiểm tra mà 22 + 92 = 62 + 72 và 13 + 123 = 93 + 103. Nhưng làm cótồn tại khác biệt cặp (x, y) và (u, v) của số nguyên dương như vậy mà các Logisticsx 2 + y2 = u2 + v2x 3 + y3 = u3 + v3giữ cùng một lúc?3. cho p là một số nguyên tố, và cho a, b, c, d là số nguyên dương khác biệt như vậy màAP + bp = cp + dp. Chứng minh rằng|a−c| + |b−d|≥ p.4. để cho a, b là số dương hai, và để cho f: [a, b] →R là một hàm liên tục,trơn trên (a, b). Chứng minh rằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao cho1a−b(một f (b) −b f (a)) = f (c) −c f (c).5. Hãy để f: [a, b] →R một chức năng tích cực liên tục, trơn trên (a, b). Chứng minhrằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao chof (b)f (a)= e(b−a) f (c)f (c).68 chương 2. Đại số và phân tích6. Hãy để f, g: [a, b] → R là hai chức năng liên tục, trơn trên (a, b).Ngoài ra giả định rằng g và g là hư không không trên (a, b) và đó f (a) /g(a) = f (b)/g(b). Chứng minh rằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao chof (c)g(c)=f (c)g (c).7. Hãy để f: [a, b] →R là một hàm liên tục, trơn trên (a, b) và không có nơi nàokhông trên (a, b). Chứng minh rằng có tồn tại i ∈ (a, b) sao chof (i)f (i)=1a−θ+1b−θ.8. Hãy để f: R → R là một hàm khả vi. Giả định rằng limx→∞ f (x) = một chomột số số thực một và limx→∞ rằng x f (x) tồn tại. Đánh giá các giới hạn này.9. tính toán giới hạnLimn→∞√n1 +1n + 1n + 1−1 +1nn.10. Hãy để f: [0,1] → R là một hàm liên tục, trơn trên (0,1), với cácbất động sản rằng có tồn tại một ∈ (0,1] như vậy màmột0 dx f (x) = 0. Chứng minh rằng 10f (x) dx≤ 1−a2SUPx∈(0,1)| f (x) |.Có thể bình đẳng giữ?11. giả sử rằng f: [0,1] → R có một đạo hàm liên tục và mà10 f (x)DX = 0. Chứng minh rằng cho mỗi ∈ α (0,1), Α0f (x) dx≤ 18tối đa0≤x≤1| f (x) |.12. hàm số f: R→R là khả vi vàf (x) = fx2+x2f (x)Đối với mỗi thực số x. chứng minh rằng f là một hàm tuyến tính, có nghĩa là, f (x) = ax + bĐối với một số a, b ∈ R.

Kết quả (Việt) 2:

2.9 Ma trận
Các vấn đề trong phần này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng tính chất của ma trận mà không
liên quan đến cơ cấu hàng cột. Một ví dụ là như sau:
Chứng minh rằng nếu A và B được n × n ma trận, sau đó
det (In-AB) = det (In-BA).
Đối với các giải pháp, chúng ta hãy giả đầu tiên mà B là khả nghịch. Sau đó, In - AB = B-1
(In-BA) B, và do đó
det (In-AB) = det (B-1) det (In-BA) detB = det (In-BA).
2.9. Ma trận 65
Nếu B là không khả nghịch, hãy xem xét thay vì ma trận Bx = Xin + B. Kể từ det (Xin + B)
là một đa thức theo x, các ma trận Bx là nghịch cho tất cả nhưng hữu hạn nhiều giá trị
của x. Như vậy chúng ta có thể sử dụng một phần đầu tiên của chứng minh và kết luận rằng det (Trong -ABx) =
det (Trong -BxA) cho tất cả ngoại trừ hữu hạn nhiều giá trị của x. Nhưng hai yếu tố quyết định đây là những
đa thức tại x, mà là bình đẳng cho vô hạn các giá trị của x, do đó họ phải luôn luôn
được bình đẳng. Đặc biệt, đối với x = 0, det (In-AB) = det (In-BA).
Do đó, chúng ta thấy rằng nếu trong -AB là khả nghịch, sau đó trong -BA cũng là nghịch.
Dưới đây là một bằng chứng trực tiếp của Hàm ý này. Nếu V là nghịch đảo của In -AB, sau đó
V (In-AB) = In, do đó VAB = V -Trong. Chúng tôi có
(In + BVA) (Trong -BA) = In-BA + BVA-BVABA
= In-BA + BVA-B (V -Trong) A = In,
do đó Trong + BVA là nghịch đảo của In-BA.
1 . Cho A, B là hai ma trận vuông sao cho A + B = AB. Chứng minh rằng A và B đi làm.
2. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận 5 × 4 và B là một ma trận 4 × 5, sau đó
det (AB-I5) + det (BA-I4) = 0.
3. Cho X, Y, Z là n × n ma trận như vậy mà
X + Y + Z = XY + YZ + ZX.
Chứng minh rằng đẳng
XYZ = XZ-ZX,
YZX = YX-XY,
ZXY = ZY-YZ,
là tương đương.
4. Cho thấy cho bất kỳ hai n × n ma trận A và B, danh tính sau giữ:
det (In-AB) =
det?
In A
B Trong?. 5. Cho A là một ma trận n × n như vậy mà An = αA nơi α là một số thực khác nhau từ 1 và -1. Chứng minh rằng các ma trận A + Trong nghịch. 6. Nếu A và B là các ma trận khác nhau đáp ứng A3 = B3 và A2B = B2A, tìm det (A2 + B2). 7. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận n × n với mục thật, thì det (A2 + In) ≥ 0. 66 Chương 2. Đại số và Phân tích 8. Chứng minh rằng nếu A và B được n × n ma trận với mục thực và AB = 0n, sau đó det (In + A2P + B2q) ≥ 0 với bất kỳ số nguyên p và q dương. 9. Cho A, B, C được n × n ma trận thực sự mà là cặp hoán và ABC = 0n. Chứng minh rằng det (A3 + B3 + C3) det (A + B + C) ≥ 0. 10. Cho p và q là các số thực sao cho x2 + px + q = 0 với mọi số thực x. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương lẻ, sau đó X2 + px +? = Tần 0n cho tất cả các ma trận X thực sự của tự n × n. 11. Gọi A và B là hai ma trận n × n và để cho C = AB-BA. Hiển thị rằng IFC tiện di chuyển với cả A và B, sau đó có tồn tại một số nguyên m như vậy mà Cm = 0n. 2.10 Mean Value Định lý Định lý Rolle nói rằng nếu một hàm f: [a, b] → R là liên tục trên [a, b ], khả vi trên (a, b), và như vậy mà f (a) = f (b), thì tồn tại một điểm c ∈ (a, b) với f? (c) = 0. Đây là một kết quả của các thực tế rằng f có cực trị trong nội thất của. khoảng thời gian, và rằng đạo hàm biến mất tại điểm extremal Một hệ quả quan trọng của định lý Rolle là định lý giá trị trung bình, do Lagrange: Cho f: [a, b] → R là một chức năng đó là liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (b) - f (a) b-a = f (c)?. Một dạng tổng quát hơn của định lý này là do Cauchy: Cho f, g: [a , b] → R có hai chức năng, liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Thì tồn tại c ∈ (a, b) sao? (F (b) - f (a)) g (c) = (g (b) -g (a)) f (c)?. Điều này sau bằng cách áp dụng Định lý Rolle cho hàm (x) = H (f (b) - f (a)) (g (x) -g (a)) - (g (b) -g (a)) (f (x) - f (a)). Các định lý giá trị trung bình là trường hợp đặc biệt, nếu g (x) = x. Hãy để chúng tôi áp dụng các định lý giá trị trung bình để giải quyết một vấn đề từ năm 1978 Rumani Mathematical Olympiad, bởi S. Rădulescu đề xuất. 2.10. Định lý Mean Value 67 Nó có thể dễ dàng nhìn thấy rằng 20 + 50 = 30 + 40 và 21 + 51 = 31 +41. Có khác các số thực x sao cho 2x + 5x = 3x + 4x? Viết lại phương trình như 5x-4x = 3x-2x. Bây giờ xem x là một hằng số, và các số 2,3,4,5 là điểm mà chúng tôi đánh giá các hàm f (t) = tx. Trên khoảng [2,3] và [4,5], chức năng này thỏa mãn các giả thiết của định lý giá trị trung bình; do đó có tồn tại t1 ∈ (2,3) và t2 ∈ (4,5) với xtx-1 1 = 5x-4x và xtx-1 2 = 3x-2x (lưu ý rằng đạo hàm của f là f? (t) = xtx-1). Nó sau đó tx-1 1 = tx-1 2, và do đó (t1 / t2) x-1 = 1. Các số t1 và t2 là phân biệt, vì chúng nằm trong khoảng thời gian rời nhau, do đó, sự bình đẳng này có thể không giữ. Như vậy có không có khác thực số x ngoài 0 và 1 thỏa mãn phương trình này. 1. Chứng minh rằng nếu các số thực a0, a1,. . . , một thỏa mãn nΣ i = 0 ai i + 1 = 0, thì phương trình anxn + an-1xN-1 + · · · + a1x + a0 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. 2. Người ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng 22 + 92 = 62 + 72 và 13 + 123 = 93 + 103. Nhưng đừng có tồn tại các cặp khác nhau (x, y) và (u, v) các số nguyên dương sao cho đẳng x2 + y2 = u2 + v2 x3 + y3 = u3 + v3 giữ cùng một lúc? 3. Cho p là một số nguyên tố, và để cho a, b, c, d là các số nguyên dương phân biệt như vậy mà ap + bp = cp + dp. Chứng minh rằng | a-c | + | b-d |. ≥ p 4. Cho a, b là hai số dương, và để cho f: [a, b] → R là một hàm liên tục, khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao cho 1 a-b (af (b) -bf (a)) = f (c) -cf? (C). 5. Cho f: [a, b] → R là một hàm số liên tục, khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (b) f (a) = e (b-a) f? (C) f (c). 68 Chương 2. Đại số và Phân tích 6. Cho f, g:. [A, b] → R là hai chức năng liên tục, khả vi trên (a, b) Giả sử ngoài mà g và g? là hư không trên (a, b) và f (a) / g (a) = f (b) / g (b). Chứng minh rằng có tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) g (c) = f? (C) g? (C). 7. Cho f: [a, b] → R là một hàm liên tục, khả vi trên (a, b) và hư không trên (a, b). Chứng minh rằng có tồn tại θ ∈ (a, b) sao cho f? (Θ) f (θ) = 1 a-θ + 1 b-θ. 8. Cho f: R → R là một hàm khả vi. Giả sử rằng limx → ∞ f (x) = a cho một số số một thực tế và limx rằng → ∞ XF? (X) tồn tại. Đánh giá giới hạn này. 9. Tính toán giới hạn lim n ∞ → √ n ?? 1+ 1 n + 1? N + 1 -? 1+ 1 n? N?. 10. Cho f: [0,1] → R là một hàm liên tục, khả vi trên (0,1), với tài sản đó có tồn tại a ∈ (0,1] mà như vậy? A 0 f (x) dx = 0. Chứng minh mà ???? 1 0 f (x) dx ???? ≤ 1-a 2 sup x∈ (0,1)?. | f (x) | thể bình đẳng giữ? 11. Giả sử f: [0, 1] → R có một dẫn xuất liên tục và đó? 1 0 f (x) dx = 0. Chứng minh rằng với mọi α ∈ (0,1), ???? alpha 0 f (x) dx ???? ≤ 1 8 max 0≤x≤1 | f (x) |?. 12. Hàm f: R → R là khả vi và f (x) = f? x 2? + x 2? f (x) với mọi số thực x . Chứng minh rằng f là một hàm tuyến tính, có nghĩa là, f (x) = ax + b cho một số a, b ∈ R.