1.1.6 PackagesNot all of Maple’s fu

1.1.6 Packages

Not all of Maple’s functions are able to be used immediately. Instead some of them are stored away in packages. We have not, hitherto, come across any packaged functions yet, so we quickly look at an example now. Suppose we have a list, and we wish to reverse its order. There is a function named Reverse in a package named, appropriately enough, ListTools.
. > L := [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
L := [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
If we try to use the Reverse function normally, nothing happens
. > Reverse(L)
Reverse([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
To use a function that is in a package we need to tell Maple exactly where to locate the function. That is, we need to tell Maple that the function is in a package, as well as in which package. This is done by using the so-called long form of the function, which

1.2 Putting It Together 11
is of the form package[function]. In the particular case of our list reversal example, this would be ListTools[Reverse], which should be read as “the Reverse function from the ListTools package.”
. > ListTools[Reverse](L)
[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
Being required to type ListTools[] every time we use a function might become tedious if we want to use the function more than just once or twice. Furthermore, we may wish to use other functions from the ListTools package. We may avoid the need to always use the long form of a function name by simply loading the package into Maple by using the with function. Doing this will load all the functions in the package, allowing their use directly, without need to specify to which package they belong.
 > with(ListT ools)
 [BinaryPlace, BinarySearch, Categorize, DotProduct, Enumerate, FindRepetitions,

 Flatten, FlattenOnce, Group, Interleave, Join, JoinSequence, LengthSplit,

 MakeUnique, Occurrences, Pad, PartialSums, Reverse, Rotate, Search, SearchAll,
 Sorted, Split, Transpose]

. > Reverse(L)



[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

Maple helpfully gives a list of all the new functions that are available when we use the with command. This may, of course, be suppressed in the usual way if we wish. Some small care must be taken here, as sometimes two (or more) packages may each contain a function (or functions) with identical names. In this case, the function from the most recently loaded package is the one that will be used, unless the long form is used to specifically and unambiguously refer to one or the other.


1.2 Putting It Together

In the previous section, we looked at inputting single commands into Maple. These may be thought of as building blocks. In this section we begin to put these building blocks together to produce more complicated calculations. We also begin to introduce some more serious mathematics in order to motivate or illustrate the particular Maple constructions with which we are dealing.


1.2.1 Creating Functions

In the previous section we have seen what a function is. In addition to the built-in functions, we may create our own. A function, using the arrow operator (→) takes on the form input → expression, and is a perfectly valid Maple expression on its own. The
→ operator is produced by typing the text ->
. > x → 3x2 + 4x − 2
x → 3x2 + 4x − 2
The above function takes a single expression as input (which it calls x), and then uses that expression to perform the calculation 3x2 + 4x − 2. The name of the input

12 1 Number Theory

variable is entirely arbitrary and could be any valid Maple variable name. In order to be able to actually use this function, we need to assign it to a variable name.
. > f := x → 3x2 + 4x − 2
f := x → 3x2 + 4x − 2
 > f(2); f(4); f(A); f(Γ (N )); f([1, 2])
 18
 62
 3A2 + 4A − 2
 3 Γ (N )2 + 4 Γ (N) − 2
3[1, 2]2 + 4[1, 2] − 2
It is interesting to see in the last example above that even though it makes apparently
no sense mathematically, Maple will, nonetheless, accept [1, 2] as input to the function
f and produce the output string as if [1, 2] were a variable.
How about something that might be a bit more familiar. Recall from first-year cal- culus that




diverges, whereas

 1


k
k=1

∞

 1
k2
k=1

converges. This is a good reminder that the divergence test is inconclusive in the case where the sequence has a limit of 0 because 1/k → 0 (as k → ∞) yet the series diverges but 1/k2 → 0 yet the series converges. To attempt to verify the convergence of the
1/k2 series, we can try the ratio test with Maple, but unfortunately this test also proves
inconclusive.


 > a := k →
 infinity)










1
; limit(a(N ), N = infinity); abs
k2

1
a := N → k2
0

. a(N + 1).


a(N )


; limit(%, N =

 . N 2 .
 . .
 . .
 .(N + 1)2 .



We side-track for a moment and notice that for every N we have
. a(N + 1).

. a(N )

. < 1
.


This is not hard to verify by hand, but we ask Maple for a verification anyway. Observe that the fraction is undefined for N = −1, but this isn’t a concern for us as we’re only
interested in natural values of N . However, we may need to be a little specific in what we ask Maple.

1.2 Putting It Together 13


 > is(abs



. a(N + 1).


a(N )

. a(N + 1).


< 1)




FAIL

 > is(abs


a(N )

< 1) assuming N :: posint
true

You should read N :: posint as “N is a positive integer.” We could, in this particular case (but not always), have used N ≥ 0 in place of N :: posint and would have obtained
the same answer.
Now, returning to the question of convergence of 1/k2, we have yet to verify analyt- ically whether the series converges or diverges. Recall, however, that an infinite sum is a limit of partial sums. That is,


∞
 a(k) = lim
k=1 N→∞

N
 a(k)
k=1

As our next attempt we attempt to see how the partial sums behave. To do this we begin by creating the N th partial sum of our series 1/k2 as a function in Maple.


 > f := N → sum




. 1 .
, k = 1..N
k2
N 1


 f := N 
 k2
k=1
We now have f as a function of N where N is the number of terms to sum. Let us
now see how this sum behaves with increasing values
 > f (1), f (2), f (10), f (100), f (10000)

 1,



5 1968329
4 , 1270080 ,

1589508694133037873112297928517553859702383498543709859889432834803818131090369901
 972186144434381030589657976672623144161975583995746241782720354705517986165248000

 −Ψ (1, 10001) + 6 π
Well that wasn’t particularly helpful, although the term for f (10000) looks promising.
Let’s try asking for decimal answers instead.
. > seq(evalf (f (10i)), i = 1..6)
1.549767731, 1.634983900, 1.643934568, 1.644834073, 1.644924068, 1.644933068
Note that we needed to be careful here, as our function f consisted of a sum that used the dummy variable k, and so if we had also used k for the dummy variable in the seq command, they would have conflicted. See Exercise 13. We avoided this problem by using i as the dummy variable for the seq command.
We can see evidence here of convergence of the series to 1.644. . . , remembering that the sequence we asked for was

f (1), f (10), f (100), f (1000), f (10000), f (1000000)

As we calculate progressively larger and larger partial sums, the value of those partial sums seems to change less and less. At this point we may as well ask Maple if it can give us an answer for the limit.

14 1 Number Theory
 > limit(f (n), n = infinity); evalf (%)
 1 2



1.644934068
And there we have it. It looks very much as if the series converges to 1/6 π2.

Kết quả (Việt) 2:

1.1.6 Gói Không phải tất cả các chức năng của Maple có thể được sử dụng ngay lập tức. Thay vào đó một số trong số họ được lưu trữ bên trong các gói. Chúng tôi đã không, cho đến nay, đi qua bất kỳ chức năng đóng gói nào, vì vậy chúng tôi nhanh chóng xem xét một ví dụ bây giờ. Giả sử chúng ta có một danh sách, và chúng tôi muốn đảo ngược trật tự của nó. Có một chức năng có tên Xếp trong một gói có tên, thích hợp đủ, ListTools.> L:. = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] L: = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Nếu chúng ta cố gắng sử dụng các chức năng Xếp bình thường, không có gì xảy ra. > Reverse (L) khoản ([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) Để sử dụng một chức năng mà là trong một gói chúng ta cần nói Maple chính xác nơi để xác định vị trí các chức năng. Đó là, chúng ta cần phải nói cho Maple rằng chức năng là trong một gói, cũng như trong đó gói. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng cái gọi là dạng dài của các chức năng, trong đó 1.2 Đưa Nó Cùng 11 là của gói dạng [chức năng]. Trong trường hợp cụ thể của danh sách ví dụ đảo chiều của chúng tôi, điều này sẽ là ListTools [Xếp], mà nên được đọc là "chức năng Xếp từ gói ListTools.". > ListTools [Xếp] (L) [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] Được yêu cầu gõ ListTools [] mỗi khi chúng tôi sử dụng một chức năng có thể trở nên tẻ nhạt nếu chúng ta muốn sử dụng chức năng nhiều hơn là chỉ một lần hoặc hai lần. Hơn nữa, chúng ta có thể sử dụng các chức năng khác từ gói ListTools. Chúng tôi có thể tránh được sự cần thiết phải luôn luôn sử dụng các dạng dài của một tên chức năng đơn giản bằng cách tải các gói vào Maple bằng cách sử dụng các chức năng. Việc làm này sẽ tải tất cả các chức năng trong các gói phần mềm, cho phép họ sử dụng trực tiếp, mà không cần phải xác định ra những gói nào thuộc. > với (ListT ools)  [BinaryPlace, BinarySearch, Phân loại, DotProduct, liệt kê, FindRepetitions,   Flatten , FlattenOnce, Group, Interleave, Tham gia, JoinSequence, LengthSplit,   MakeUnique, lần xuất hiện, Pad, PartialSums, Reverse, Rotate, Search, SearchAll,  Sắp xếp, Split, Transpose]. > Reverse (L) [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] Maple cách hữu ích cho một danh sách của tất cả các chức năng mới mà có sẵn khi chúng tôi sử dụng với lệnh. Điều này có thể, tất nhiên, bị đàn áp một cách bình thường nếu chúng ta muốn. Một số nhỏ chăm sóc phải được thực hiện ở đây, như đôi khi hai (hay nhiều) mỗi gói có thể chứa một hàm (hoặc chức năng) với tên giống hệt nhau. Trong trường hợp này, các chức năng từ gói vừa tải nhất là một trong đó sẽ được sử dụng, trừ khi dạng dài được sử dụng cụ thể và rõ ràng đề cập đến một hay khác. 1.2 Đưa Nó Cùng Trong phần trước, chúng ta đã xem xét nhập lệnh duy nhất vào Maple. Đây có thể được coi như là khối xây dựng. Trong phần này, chúng tôi bắt đầu đặt những khối xây dựng lại với nhau để tạo ra các tính toán phức tạp hơn. Chúng tôi cũng bắt đầu giới thiệu một số toán học nghiêm trọng hơn để thúc đẩy hoặc minh họa các công trình xây dựng Maple đặc biệt mà chúng ta đang đối phó. 1.2.1 Tạo Chức năng Trong phần trước chúng ta đã thấy những gì một chức năng là. Ngoài các chức năng được xây dựng trong, chúng ta có thể tạo riêng của chúng tôi. Một chức năng, sử dụng các nhà điều hành mũi tên (→) đưa vào đầu vào dạng → biểu hiện, và là một biểu hiện Maple hoàn toàn hợp lệ của riêng mình. Các → điều hành được sản xuất bằng cách gõ văn bản ->. > X → 3x2 + 4x - 2 x → 3x2 + 4x - 2 Các chức năng trên có một biểu hiện duy nhất là đầu vào (mà nó gọi x), và sau đó sử dụng biểu thức để thực hiện các phép tính 3x2 + 4x - 2. Tên gọi của đầu vào 12 1 số lý thuyết biến là hoàn toàn tùy ý và có thể là bất kỳ Maple tên biến hợp lệ. Để có thể thực sự sử dụng chức năng này, chúng ta cần phải gán nó cho một tên biến.> F: = x → 3x2 + 4x - 2. F: = x → 3x2 + 4x - 2 > f (2); f (4); f (A); f (Γ (N)); f ([1, 2])  18  62  3A2 + 4A - 2  3 Γ (N) 2 + 4 Γ (N) - 2 3 [1, 2] 2 + 4 [1, 2] - 2 Nó là thú vị để xem trong ví dụ cuối cùng ở trên đó mặc dù nó làm cho rõ ràng không có ý nghĩa về mặt toán học, Maple sẽ, tuy nhiên, chấp nhận [1, 2] như là đầu vào cho hàm f và tạo ra chuỗi kết quả nếu như [1, 2] là một biến. Làm thế nào về một cái gì đó mà có thể là nhiều hơn một chút quen thuộc. Nhớ lại từ culus đầu năm cal- rằng phân kỳ, trong khi  1 k k = 1 ∞  1 k2 k = 1 hội tụ. Đây là một lời nhắc nhở tốt rằng các thử nghiệm phân kỳ là không thể kết luận trong trường hợp các chuỗi có một giới hạn từ 0 vì 1 / k → 0 (khi k → ∞) chưa phân kì loạt nhưng 1 / k2 → 0 chưa loạt hội tụ. Để cố gắng để xác minh sự hội tụ của hàng loạt 1 / k2, chúng ta có thể thử kiểm tra tỷ lệ với Maple, nhưng tiếc là thử nghiệm này cũng chứng minh thuyết phục.  > a: = k →  vô cùng)          1; hạn (a (N), N = vô cực); abs k2 1 a: = N → k2 0. a (N + 1). a (N); hạn (%, N = . N 2. .. .. . (N + 1) 2.   Chúng tôi bên kia theo dõi một lúc và nhận thấy rằng đối với mỗi N chúng tôi có. a (N + 1) .. a (N). <1. Điều này không khó để xác minh bằng tay, nhưng chúng tôi yêu cầu Maple trong kiểm tra anyway. Quan sát phần là undefined cho N = -1, nhưng đây không phải là một mối quan tâm đối với chúng tôi như chúng tôi chỉ quan tâm đến giá trị tự nhiên của N. Tuy nhiên, chúng ta có thể cần phải được cụ thể một chút trong những gì chúng tôi yêu cầu Maple. 1.2 Đưa Nó Cùng 13  > là (abs  . a (N + 1). a ( N). a (N + 1). <1) FAIL > là (abs  a (N) <1) giả sử N :: posint đúng Bạn nên đọc N :: posint là "N là một số nguyên dương." Chúng tôi có thể, trong trường hợp đặc biệt này (nhưng không phải luôn luôn), đã sử dụng N ≥ 0 ở vị trí của N :: posint và sẽ đã có được câu trả lời tương tự. Bây giờ, trở lại câu hỏi về sự hội tụ của 1 / k2, chúng ta vẫn chưa xác minh analyt- ically dù loạt hội tụ hay phân kì. Nhớ lại, tuy nhiên, có một tổng vô hạn là một giới hạn của các khoản tiền một phần. Đó là, ∞  a (k) = lim k = 1 N → ∞ N  a (k) k = 1 Khi nỗ lực tiếp theo của chúng tôi, chúng tôi cố gắng để xem làm thế nào một phần khoản tiền ứng xử. Để làm điều này chúng ta bắt đầu bằng cách tạo ra các N thứ tiền một phần của chúng tôi hàng loạt 1 / k2 là một chức năng trong Maple.  > f: = N → tổng   . 1., K = 1..N k2 N 1  f: N =   k2 k = 1 Chúng tôi hiện có f là một hàm số của N trong đó N là số lượng các điều kiện để tổng hợp. Hãy để chúng tôi bây giờ nhìn thấy như thế nào số tiền này cư xử với sự gia tăng giá trị > f (1), f (2), f (10), f (100), f (10000)  1,   5 1.968.329 4, 1.270.080, 1589508694133037873112297928517553859702383498543709859889432834803818131090369901  972186144434381030589657976672623144161975583995746241782720354705517986165248000   -Ψ (1, 10001) + 6 π Vâng đó là không đặc biệt hữu ích, mặc dù thời hạn cho f (10000) trông đầy hứa hẹn. Hãy thử hỏi cho câu trả lời thay vì chữ số thập phân..> seq (evalf (f (10i) ), i = 1..6) 1,549767731, 1,634983900, 1,643934568, 1,644834073, 1,644924068, 1,644933068 Lưu ý rằng chúng tôi cần phải cẩn thận ở đây, như chức năng của chúng tôi e gồm một khoản tiền mà sử dụng k biến giả, và như vậy nếu chúng ta cũng có sử dụng k cho biến giả trong lệnh seq, họ sẽ có mâu thuẫn. Xem bài tập 13. Chúng tôi tránh vấn đề này bằng cách sử dụng i là biến giả cho các lệnh tiếp theo. Chúng ta có thể nhìn thấy bằng chứng ở đây hội tụ của series 1,644. . . , Nhớ rằng các trình tự, chúng tôi yêu cầu được f (1), f (10), f (100), f (1000), f (10000), f (1000000) Như chúng ta tính toán số tiền phần lớn dần và lớn hơn, giá trị những khoản tiền một phần dường như thay đổi ít hơn và ít hơn. Tại thời điểm này, chúng ta cũng có thể yêu cầu Maple nếu nó có thể cung cấp cho chúng tôi một câu trả lời cho những giới hạn. 14 Số 1 Lý thuyết > giới hạn (f (n), n = vô cực); evalf (%)  1 2    1,644934068 Và chúng tôi đã có nó. Nó trông rất giống như hàng loạt các tụ đến 1/6 π2.