Applications and Variations of Domi

Applications and Variations of Domination in Graphs
by Paul Andrew Dreyer, Jr.
Dissertation Director: Fred S. Roberts
In a graphG=(V;E),SVis a dominating setofGif every vertex is either in Sor
joined by an edge to some vertex in S. Many dierent types of domination have been
researched extensively. This dissertation explores some new variations and applications
of dominating sets.
We rst introduce the concept of Roman domination. ARoman dominating function
is a function f : V !f0;1;2gsuch that every vertex v for which f(v)=0hasa
neighborwwithf(w) = 2. This corresponds to a problem in army placement where
every region is either defended by its own army or has a neighbor with two armies,
in which case one of the two armies can be sent to the undefended region if a conflict
breaks out. Theweightof a Roman dominating functionf is f(V)=
P
v2V
f(v),
and we are interested in nding Roman dominating functions of minimum weight. We
explore the graph theoretic, algorithmic, and complexity issues of Roman domination,
including algorithms for nding minimum weight Roman dominating functions for trees
and grids.
We then explore a dynamic variant of domination. Given a graph with each vertex
having a signf+;−g, we dene a k−threshold process by updating the graph at every
time step according to the rule that a vertex switches sign if and only ifkor more of
its neighbors have the opposite sign. A set Sof vertices is ak−conversion setif when a
ii
k−threshold process is started with the vertices inSpositive and the vertices inV−S
negative, the entire vertex set eventually becomes all positive. We prove several bounds
on the sizes of minimumk−conversion sets and also exploremonotoneconversion sets,
which are conversion sets where no positive vertex ever becomes negative, andirreversiblek−threshold processes, where a vertex changes from−to + if it has more than
kpositive neighbors, but not vice versa.
Finally, we discuss a index structure based on dominating sets to speed up range
queries on large point sets. Originally developed for searches through libraries of amino
acid sequences, the structure can be applied to any library of objects with an associated
metric. Some theoretical results are presented, as well as an analysis of the performance
of the structure on subsets of the SWISS-PROT protein sequence database.

Kết quả (Việt) 1:

Ứng dụng và các biến thể của sự thống trị trong đồ thịbởi Paul Andrew Dreyer, Jr.Luận án giám đốc: Fred S. RobertsTrong một graphG = (V; E), S Vis một setofGif thống trị mỗi đỉnh là một trong hai trong Sorsự tham gia của một cạnh với một số đỉnh trong S. Nhiều di tiểu loại của sự thống trị đãnghiên cứu rộng rãi. Luận án này khám phá một số biến thể mới và ứng dụngcủa thống trị bộ.Chúng tôi rst giới thiệu khái niệm về La Mã thống trị. ARoman thống trị chức nănglà một hàm số f: V! f0; 1; 2gsuch đó mỗi đỉnh v cho đó f (v) = 0hasaneighborwwithf(w) = 2. Điều này tương ứng với một vấn đề trong quân đội vị trí nơimỗi khu vực hoặc được bảo vệ bởi quân đội của riêng mình hoặc có một người hàng xóm với hai quân đội,trong trường hợp một trong hai quân đội có thể được gửi tới vùng undefended nếu một cuộc xung độtxảy ra. Theweightof một functionf thống trị La Mã là f(V) =Pv2Vf(v),và chúng tôi đang quan tâm đến nding La Mã thống trị chức năng lượng tối thiểu. Chúng tôikhám phá những đồ thị, lý thuyết, thuật toán, và vấn đề phức tạp của La Mã thống trị,bao gồm các thuật toán cho nding tối thiểu trọng lượng La Mã thống trị chức năng cho câyvà lưới.Sau đó chúng tôi khám phá một biến thể năng động của sự thống trị. Cho một đồ thị với mỗi đỉnhcó một signf +; −g, chúng tôi de ne k−threshold một xử lý bằng cách Cập Nhật đồ thị tại mỗithời gian bước theo các quy tắc một đỉnh chuyển đăng nếu và chỉ ifkor thêm củanước láng giềng có dấu ngược lại. Một thiết lập Sof đỉnh là ak−conversion setif khi mộtIIquá trình k−Threshold bắt đầu với đỉnh inSpositive và đỉnh inV−Stiêu cực, đỉnh toàn bộ thiết lập cuối cùng trở thành tất cả tích cực. Chúng tôi chứng minh một số giới hạntrên các kích thước của minimumk−conversion bộ và cũng có thể exploremonotoneconversion bộ,đó là chuyển đổi bộ mà không tích cực đỉnh bao giờ trở nên tiêu cực, quy trình andirreversiblek−threshold, nơi một đỉnh thay đổi from−to + nếu nó có nhiều hơnhàng xóm kpositive, nhưng không phải ngược.Cuối cùng, chúng tôi thảo luận về một cơ cấu chỉ số dựa trên thống trị bộ để tăng tốc độ phạm vitruy vấn trên điểm lớn bộ. Ban đầu được phát triển cho các tìm kiếm thông qua các thư viện của amintrình tự axit, cấu trúc có thể được áp dụng cho bất kỳ thư viện của các đối tượng với một liên kếtsố liệu. Một số kết quả lý thuyết được trình bày, cũng như phân tích hiệu suấtcấu trúc trên tập hợp con của cơ sở dữ liệu chuỗi protein SWISS-PROT.

Kết quả (Việt) 2:

Các ứng dụng và các biến thể của Domination trong đồ thị
bởi Paul Andrew Dreyer, Jr.
Dissertation Giám đốc: Fred S.
Roberts? Trong một graphG = (V, E), S Vis một trận đấu bên phía setofGif mỗi đỉnh được hoặc trong Sor
tham gia của một cạnh với một số đỉnh trong S. Nhiều di? loại erent thống trị đã được
nghiên cứu rộng rãi. Luận án này nghiên cứu một số biến thể mới và các ứng dụng
của bộ thống trị.
Chúng tôi đầu tiên giới thiệu các khái niệm về sự thống trị của La Mã. ARoman chức năng trận đấu bên phía
là một hàm f: f0 V; 1; 2gsuch rằng mỗi đỉnh v mà f (v) = 0hasa!
Neighborwwithf (w) = 2. Điều này tương ứng với một vấn đề ở vị trí quân đội, nơi
mỗi khu vực được bảo vệ bởi một trong hai của mình quân đội riêng hoặc có người hàng xóm với quân đội hai nước,
trong đó có trường hợp một trong hai đội quân có thể được gửi đến các khu vực không được bảo vệ nếu một cuộc xung đột
nổ ra. Theweightof một trận đấu bên phía functionf Roman là f (V) =
P
V2V
(v) f,
và chúng tôi rất quan tâm đến chức năng nding trận đấu bên phía Roman trọng lượng tối thiểu. Chúng tôi
khám phá những đồ thị lý thuyết, thuật toán, và các vấn đề phức tạp của sự thống trị của La Mã,
bao gồm các thuật toán cho nding trọng lượng tối thiểu chức năng Roman trận đấu bên phía cho cây
và lưới.
Sau đó chúng tôi khám phá một biến động của sự thống trị. Cho một đồ thị với mỗi đỉnh
có một signf +; - g, chúng tôi de ne quá ak-ngưỡng bằng cách cập nhật các biểu đồ ở mỗi
bước thời gian theo các quy tắc mà một đỉnh chuyển dấu khi và chỉ ifkor hơn của
các nước láng giềng có dấu hiệu ngược lại. Một tập Sof đỉnh là Setif ak-chuyển đổi khi
ii
quá trình k-ngưỡng được bắt đầu với các đỉnh inSpositive và các đỉnh inv-S
tiêu cực, toàn bộ đỉnh thiết lập cuối cùng trở thành tất cả tích cực. Chúng tôi chứng minh một số giới hạn
về kích thước của bộ minimumk chuyển đổi và cũng exploremonotoneconversion bộ,
đó là bộ chuyển đổi mà không có đỉnh dương bao giờ trở thành tiêu cực, quá trình andirreversiblek-ngưỡng, nơi một thay đổi đỉnh từ-to + nếu nó có hơn
hàng xóm kpositive, nhưng không phải ngược lại.
Cuối cùng, chúng tôi thảo luận về một cơ cấu chỉ số dựa trên thống trị bộ để tăng tốc độ phạm vi
truy vấn trên tập điểm lớn. Được phát triển để tìm kiếm thông qua thư viện của các amin
tự axit, cơ cấu có thể được áp dụng cho bất kỳ thư viện của các đối tượng với một liên kết
số liệu. Một số kết quả lý thuyết được trình bày, cũng như phân tích các hoạt động
của cấu trúc trên một phần nhỏ của các cơ sở dữ liệu trình tự protein SWISS-PROT.