3. Mathematical apparatusAccording

3. Mathematical apparatus
According to literature data, Response Surface Methodology (RSM) has
been developed in 1950s and has been defined by Myers et al. (1989) as “a
Optimization of coagulation-flocculation process with aluminum sulfate based on response (…) 79
collection of tools in design or data analysis that enhance the exploration of a
region of design variables in one ore more dimensions” [3].
Building a mathematical model based upon RSM is based on the following
assumptions: a dependent variable y (response) varies as a function of several
independent variables x1…xn (factors). Thus it can be defined a function
y f ( x ...x ) 1 n = (1)
Due to the fact that the factors are expressed in different units and vary in
different ranges, they are coded according to equation (2), in order to assess any
variable significance [3, 11, 12]:
i
i i ,
i x
x x
X
δ
−
= 0 (2)
where Xi represents the coded value of independent variable “i” ;
xi – uncoded value of independent variable “i” ;
xi,0 – median of the data array xi;
δxi – step change
Step change δxi is defined as follows:
( ) ( )
2
i i
i
max x min x
x
−
δ = (3)
Thus, all coded independent variables vary in the range [-1, 1], and any
significant variable can be easily evaluated [13, 14]. Function f in equation (1) can
be in linear, quadratic or a higher degree polynomial form [3].
4. Results and discussion
The variation of different parameters: Al dosage (x1), initial turbidity (x2),
and pH (x3) is presented in Table 1, and its influence on treated water turbidity,
which represents response variable (y) has been investigated.
Table 1
Variables ranges
Parameter Minimum Maximum
Al dose, mg/l (x1) 6.5 16.25
Initial turbidity, NTU (x2) 27 ± 1 53 ± 1
pH (x3) 3 ± 0.1 10 ± 0.1
The uncoded values of independent variables are:
( )
( )
(3.0, 6.5, 10.0)
27, 40, 53
6.50, 9.75, 13.00, 16.25
=
=
=
pH
T
Al
in (4)
80 Giani Apostol, Redha Kouachi, Ionel Constantinescu
Experimental results are presented in Table 2.
Table 2
Variables ranges
Tin = 27 NTU Tin = 40 NTU Tin = 53 NTU
Al,
mg/L
pH Tfin,
NTU
Al,
mg/L
pH Tfin,
NTU
Al,
mg/L
pH Tfin,
NTU
6.50 3 6.8 6.50 3 13.8 6.50 3 17.2
9.75 3 13.6 9.75 3 13.4 9.75 3 12.9
13.00 3 15.8 13.00 3 12.7 13.00 3 11.8
16.25 3 14.7 16.25 3 12.6 16.25 3 12.8
6.50 6.5 5.6 6.50 6.5 3.6 6.50 6.5 10.4
9.75 6.5 5.6 9.75 6.5 3.5 9.75 6.5 5.1
13.00 6.5 5.7 13.00 6.5 3.2 13.00 6.5 5.2
16.25 6.5 5.4 16.25 6.5 3.4 16.25 6.5 4.4
6.50 10 6.9 6.50 10 4.2 6.50 10 12.4
9.75 10 8.6 9.75 10 5.7 9.75 10 6.0
13.00 10 9.0 13.00 10 4.7 13.00 10 6.5
16.25 10 7.6 16.25 10 2.3 16.25 10 7.5
Data presented in equation 4 and Table 2, were symbolized as follows:
- Al represents aluminum dose (mg Al/L);
- Tin represents initial water turbidity;
- pH – pH value of treated water;
- Tfin – final turbidity of treated water.
According to equations (2) – (4), the coded values of independent
variables are:
( )
( )
( 1, 0, 1)
1, 0, 1
1, 1/ 3, 1/3, 1
3
2
1
= −
= −
= − −
x
x
x
, (5)
A quadratic polynomial model has been used to connect the data presented
in Table 2, using the coded independent variables according to equation (5) [3, 9-
12]:
7 1 2 8 1 3 9 2 3
2
6 3
2
5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
a x x a x x a x x
y a a x a x a x a x a x a x
+ + +
= + + + + + + +
(6)
Parameters in equation (6) have been calculated by linear regression, using
a system of 10 equations with 10 unknowns. The equation system has been solved
by using software package MathCAD™ 2001 Professional. A weak correlation
has been observed after comparing simulated vs. experimental data (R2 = 0.8587).
In consequence, a cubic polynomial model has been proposed, according to
equation:
Optimization of coagulation-flocculation process with aluminum sulfate based on response (…) 81
19 1 2 3
2
18 2 3
2
3 17 1 3
2
16 2
2
3 15 1 2
2
2 14 1
2
13 1
3
12 3
3
11 2
3
7 1 2 8 1 3 9 2 3 10 1
2
6 3
2
5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
a x x a x x x
a x x a x x a x x a x x a x x
a x x a x x a x x a x a x a x
y a a x a x a x a x a x a x
+ +
+ + + + + +
+ + + + + + +
= + + + + + + +
(7)
Trying to calculate model parameters, according to equation (7), turned to
a system of 20 equations with 20 unknowns, which could not be solved due to the
fact that its matrix was singular. It is due to the fact that cubic values of coded
variables, xi
3 are identical with values xi, for i = 2, 3. Thus, the model has been
simplified, according to equation (8):
16 1 2 3
2
15 2 3
2
3 14 1 3
2
13 2
2
12 1 2
3
2
2 11 1
2
7 1 2 8 1 3 9 2 3 10 1
2
6 3
2
5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
a x x a x x a x x a x x a x x x
a x x a x x a x x a x x a x x
y a a x a x a x a x a x a x
+ + + + +
+ + + + + +
= + + + + + + +
(8)
To determine parameters a0 … a16 in equation (8), a system of 17
equations with 17 unknowns had to be solved.
The parameters in equation 8 are presented in Fig. 1. The correlation
between experimental output data (treated water turbidity) and the response
variable calculated according to equation (8) are presented in Fig. 2.

Kết quả (Việt) 1:

3. toán học máyTheo dữ liệu văn học, có phản ứng bề mặt phương pháp luận (RSM)phát triển trong thập niên 1950 và đã được xác định bởi Myers et al. (1989) như là "mộtTối ưu hóa các quá trình đông máu-chất với nhôm sulfat dựa trên phản ứng (...) 79bộ sưu tập của các công cụ phân tích dữ liệu hoặc thiết kế tăng cường việc khai thác mộtvùng của thiết kế biến một quặng thêm chiều"[3].Xây dựng một mô hình toán học dựa trên RSM dựa trên những điều sau đâygiả định: một biến phụ thuộc y (phản ứng) khác nhau như là một chức năng của một sốđộc lập biến x 1... xn (yếu tố). Do đó nó có thể được xác định một chức năngy f (x.. .x) 1 n = (1)Do thực tế là những yếu tố được thể hiện trong các đơn vị khác nhau và khác nhau vềphạm vi khác nhau, họ được mã hoá theo phương trình (2), để đánh giá bất kỳbiến ý nghĩa [3, 11, 12]:tôitôi tôi,tôi xx xXΔ−= 0 (2)nơi mà Xi đại diện cho giá trị mã hoá của biến độc lập "i";Xi-uncoded giá trị của biến độc lập "i";Xi, 0-trung bình của dữ liệu mảng xi;Δxi-bước thay đổiBước thay đổi δxi được định nghĩa như sau:( ) ( )2tôi tôitôitối đa x min xx−Δ = (3)Do đó, tất cả các biến độc lập mã hóa khác nhau trong phạm vi [-1, 1], và bất kỳthay đổi quan trọng có thể được đánh giá một cách dễ dàng [13, 14]. Có thể hàm f trong phương trình (1)ở tuyến tính, bậc hoặc mức độ cao hơn một hình thức đa thức [3].4. kết quả và thảo luậnCác biến thể của các thông số khác nhau: Al liều (x 1), độ đục ban đầu (x 2),và pH (x 3) được trình bày trong bảng 1, và ảnh hưởng của nó trên nước xử lý độ đục,đại diện cho phản ứng biến (y) đã được nghiên cứu.Bảng 1Biến phạm viTham số tối thiểu tối đaLiều lượng Al, mg/l (x 1) 6.5 16.25Ban đầu, độ đục, NTU (x 2) 27 ± 1 53 ± 1pH (x 3) 3 ± 0.1 10 ± 0,1Uncoded các giá trị của các biến độc lập là:( )( )(3.0, 6,5, 10,0)27, 40, 536,50, 9,75, 13,00, 16.25===độ pHTAl(4)80 Giani Apostol, Redha Kouachi, Ionel ConstantinescuKết quả thử nghiệm được trình bày trong bảng 2.Bảng 2Biến phạm viTin = 27 NTU Tin = 40 NTU Tin = 53 NTUAl,mg/LpH Tfin,NTUAl,mg/LpH Tfin,NTUAl,mg/LpH Tfin,NTU6,50 3 6.8 6,50 3 13,8 6,50 3 17.29,75 3 13.6 9.75 3 13,4 9,75 3 12.913.00 3 15.8 13.00 3 12,7 13,00 3 11.816.25 3 14.7 16.25 3 16.25 12,6 3 12.86,50 6,5 5,6 6,50 6,5 3.6 6,50 6,5 10.49,75 6,5 5,6 9.75 6,5 3.5 9,75 6,5 5.113.00 6,5 5.7 13.00 6,5 3.2 13,00 6,5 5.216.25 6,5 5.4 16.25 6,5 3.4 16.25 6,5 4.46,50 10 6.9 6,50 10 4.2 6,50 10 12.49,75 10 8.6 9.75 10 5.7 9,75 10 6.013,00 10 9.0 13.00 10 4.7 13,00 10 6.516.25 10 7,6 16.25 10 2.3 16.25 10 7,5Dữ liệu trình bày trong phương trình 4 và bảng 2, biểu tượng như sau:-Đại diện Al nhôm liều (mg Al/L);-Tin thể hiện độ đục nước ban đầu;giá trị pH - pH-xử lý nước;-Tfin-cuối cùng độ đục của nước được điều trị.Theo phương trình (2)-(4), giá trị mã độc lậpbiến là:( )( )(1, 0, 1)1, 0, 11, 1 / 3, 1/3, 1321= −= −= − −xxx, (5)Một mô hình đa thức bậc hai đã được sử dụng để kết nối dữ liệu trình bàytrong bảng 2, bằng cách sử dụng các biến độc lập mã hoá theo phương trình (5), [3, 9-12]:7 1 2 8 1 3 9 2 320 u25 220 1 1 2 2 3 3 4 1x x x x x một xy một một x một một x một một x một+ + += + + + + + + +(6)Các tham số trong phương trình (6) đã được tính toán bởi hồi qui tuyến tính, bằng cách sử dụngmột hệ thống 10 phương trình với ẩn số 10. Hệ phương trình đã được giải quyếtbằng cách sử dụng phần mềm gói phần mềm MathCAD ™ 2001 chuyên nghiệp. Một sự tương quan yếuđã được quan sát thấy sau khi so sánh mô phỏng so với dữ liệu thực nghiệm (R2 = 0.8587).Hậu quả, một mô hình khối đa thức đã được đề xuất, theophương trình:Tối ưu hóa các quá trình đông máu-chất với nhôm sulfat dựa trên phản ứng (...) 8119 1 2 3218 2 323 17 1 3216 223 15 1 222 14 1213 1312 3311 231 7 2 8 1 3 9 2 3 10 120 u25 220 1 1 2 2 3 3 4 1x x một x x xx x x x x x x x x một xx x x x x x x một một x mộty một một x một một x một một x một+ ++ + + + + ++ + + + + + += + + + + + + +(7)Cố gắng để tính toán các thông số mô hình, theo phương trình (7), đã chuyển sangmột hệ thống các 20 phương trình với ẩn số 20, mà có thể không được giải quyết vì cácthực tế là ma trận của nó là số ít. Nó là do thực tế là giá trị khối mã hoábiến, xi3 là giống hệt nhau với xi giá trị, cho tôi = 2, 3. Vì vậy, các mô hình đãđơn giản hóa, theo phương trình (8):16 1 2 3215 2 323 14 1 3213 2212 1 2322 11 121 7 2 8 1 3 9 2 3 10 126 325 220 1 1 2 2 3 3 4 1x x x x x x x x x một xx x x x x x x x x một xy một một x một một x một một x một+ + + + ++ + + + + += + + + + + + +(8)Để xác định các thông số a0... a16 trong phương trình (8), một hệ thống số 17phương trình với ẩn số 17 đã được giải quyết.Các tham số trong phương trình 8 được trình bày trong hình 1. Các mối tương quangiữa các dữ liệu thực nghiệm sản lượng (xử lý nước độ đục) và phản ứngbiến tính theo phương trình (8) được trình bày trong hình 2.

Kết quả (Việt) 2:

3. bộ máy toán học
Theo dữ liệu văn học, đáp ứng bề mặt phương pháp luận (RSM) đã
được phát triển trong những năm 1950 và đã được xác định bởi Myers et al. (1989) là "một
Tối ​​ưu hóa quá trình đông máu-keo tụ với nhôm sulfate dựa vào phản ứng (...) 79
bộ sưu tập các công cụ trong thiết kế hoặc phân tích dữ liệu để tăng cường việc thăm dò của một
khu vực của các biến thiết kế trong kích thước một quặng hơn" [3].
xây dựng mô hình toán học dựa trên RSM được dựa trên những điều sau đây
giả định: một biến y phụ thuộc (phản ứng) khác nhau như là một hàm của nhiều
biến độc lập x1 ... xn (yếu tố). Vì vậy nó có thể được định nghĩa một hàm
y f (x ... x) 1 n = (1)
Do thực tế rằng các yếu tố này được thể hiện ở các đơn vị khác nhau và thay đổi trong
phạm vi khác nhau, chúng được mã hóa theo phương trình (2), trong để đánh giá bất kỳ
ý nghĩa biến [3, 11, 12]:
i
i i,
ix
xx
X
δ
-
= 0 (2)
nơi Xi đại diện cho các giá trị được mã hóa độc lập biến "i";
xi - giá trị uncoded độc lập biến "i" ;
xi, 0 - trung bình của xi mảng dữ liệu;
δxi - bước thay đổi
bước thay đổi δxi được định nghĩa như sau:
() ()
2
i i
i
max x min x
x
-
δ = (3)
như vậy, tất cả các biến độc lập mã hóa khác nhau khoảng [-1, 1], và bất kỳ
biến đáng kể có thể dễ dàng đánh giá [13, 14]. Hàm f trong phương trình (1) có thể
được tuyến tính, bậc hai hoặc một mức độ cao hơn hình thức đa thức [3].
4. Kết quả và thảo luận
Sự biến động của các thông số khác nhau: Al liều (x1), độ đục ban đầu (x2),
và độ pH (x3) được trình bày trong Bảng 1, và ảnh hưởng của nó đối với độ đục của nước được xử lý,
đại diện cho biến phản ứng (y) đã được điều tra .
Bảng 1
biến dao động
thông số tối thiểu tối đa
Al liều, mg / l (x1) 6,5 16,25
độ đục ban đầu, NTU (x2) 27 ± 1 53 ± 1
pH (x3) 3 ± 0,1 10 ± 0.1
các giá trị uncoded của các biến độc lập là:
()
()
(3.0, 6.5, 10.0)
27, 40, 53
6,50 9,75, 13.00, 16.25
=
=
=
pH
T
Al
trong (4)
80 Giani Apostol, Redha Kouachi, Ionel Constantinescu
nghiệm kết quả được thể hiện trong Bảng 2.
bảng 2
biến khoảng
Tín = 27 NTU Tín = 40 NTU Tín = 53 NTU
Al,
mg / L
pH Tfin,
NTU
Al,
mg / L
pH Tfin,
NTU
Al,
mg / L
pH Tfin,
NTU
6.50 3 6,8 6,50 3 13,8 6,50 3 17,2
9,75 3 13,6 9,75 3 13,4 9,75 3 12,9
13,00 3 15,8 13,00 3 12,7 13,00 3 11,8
16,25 3 14,7 16,25 3 12,6 16,25 3 12,8
6,50 6,5 5,6 6,50 6,5 3,6 6,50 6,5 10,4
9,75 6,5 5,6 9,75 6,5 3,5 9,75 6,5 5,1
13,00 6,5 5,7 13.00 6,5 3,2 13,00 6,5 5,2
16,25 6,5 5,4 16,25 6,5 3,4 16,25 6,5 4,4
6,50 10 6,9 6,50 10 4,2 6,50 10 12,4
9,75 10 8,6 9,75 10 5,7 9,75 10 6.0
13.00 10 9.0 13.00 10 4,7 13,00 10 6,5
16,25 10 7,6 16,25 10 2,3 16,25 10 7.5
dữ liệu được trình bày trong phương trình 4 và bảng 2, được tượng trưng như sau:
- Al đại diện liều nhôm (mg Al / L);
- Tín đại diện cho độ đục của nước ban đầu;
- pH - giá trị pH của nước được xử lý;
- Tfin - đục cuối cùng của điều trị . nước
Theo phương trình (2) - (4), các giá trị được mã hóa độc lập
biến là:
()
()
(1, 0, 1)
1, 0, 1
1, 1/3, 1/3, 1
3
2
1
= -
= -
= - -
x
x
x
, (5)
Một mô hình đa thức bậc hai đã được sử dụng để kết nối các dữ liệu được trình bày
trong Bảng 2, sử dụng các biến độc lập được mã hóa theo phương trình (5) [3, 9
12]:
7 1 2 8 1 3 9 2 3
2
6 3
2
​​5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
một xxaxxaxx
yaaxaxaxaxaxax
+ + +
= + + + + + + +
(6)
Các tham số trong phương trình (6) đã được tính bằng hồi quy tuyến tính, sử dụng
một hệ thống của 10 phương trình với 10 ẩn số. Các hệ phương trình đã được giải quyết
bằng cách sử dụng gói phần mềm MathCAD ™ 2001 Professional. Một tương quan yếu
đã được quan sát thấy sau khi so sánh mô phỏng so với dữ liệu thực nghiệm (R2 = 0,8587).
Kết quả là, một mô hình đa thức khối đã được đề xuất, theo
phương trình:
Tối ưu hóa các quá trình đông máu-keo tụ với nhôm sulfate dựa vào phản ứng (...) 81
19 1 2 3
2
18 2 3
2
3 17 1 3
2
16 2
2
3 15 1 2
2
2 14 1
2
13 1
3
12 3
3
11 2
3
7 1 2 8 1 3 9 2 3 10 1
2
6 3
2
5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
một xxaxxx
axxaxxaxxaxxaxx
axxaxxaxxaxaxax
yaaxaxaxaxaxax
+ +
+ + + + + +
+ + + + + + +
= + + + + + + +
(7)
Đang cố gắng để tính toán các thông số mô hình, theo để phương trình (7), quay sang
một hệ thống 20 phương trình với 20 ẩn số, mà không thể giải quyết được do
thực tế là ma trận của nó là số ít. Đó là do thực tế là giá trị khối mã hóa
biến, xi
3 giống hệt với các giá trị xi, i = 2, 3. Như vậy, mô hình này đã được
đơn giản hóa, theo phương trình (8):
16 1 2 3
2
15 2 3
2
3 14 1 3
2
13 2
2
12 1 2
3
2
2 11 1
2
7 1 2 8 1 3 9 2 3 10 1
2
6 3
2
​​5 2
2
0 1 1 2 2 3 3 4 1
một xxaxxaxxaxxaxxx
axxaxxaxxaxxaxx
yaaxaxaxaxaxax
+ + + + +
+ + + + + +
= + + + + + + +
(8)
để xác định các tham số a0 ... A16 trong phương trình (8), một hệ thống của 17
phương trình với 17 ẩn số đã được giải quyết.
các thông số trong phương trình 8 được trình bày trong hình. 1. Tương quan
giữa số liệu thực nghiệm đầu ra (điều trị đục nước) và các phản ứng
biến tính theo phương trình (8) được thể hiện trong hình. 2.