Note that in this game, each player

Note that in this game, each player has a continuum of types, and so Θi is infinite. We shall
look for a Bayesian equilibrium in which player 1 goes to the fight if θ1 exceeds some critical
value x1 and goes to the ballet otherwise, and player 2 goes to the ballet if θ2 exceeds some
critical value x2 and goes to the fight otherwise. These strategies are usually called cut-point
strategies; that is, given an interval of types, there exists a special type (the cut-point) such
that all types to the left do one thing, and all types to the right do another.
Why are we looking for an equilibrium in such strategies? Because we can prove that any
equilibrium must, in fact, involve cut-point strategies. This follows from the fact that if in
equilibrium some type θ1 chooses F, then it must be the case that all θˆ1 must also be choosing
F. We can prove this by contradiction. Take some Bayesian equilibrium and some θ1 whose
optimal strategy is F. Now take some θˆ1 > θ1 and suppose that his optimal strategy is B. We
shall see that this leads to a contradiction. Since θ1 chooses F in equilibrium,
U1(F, σ ∗
2 |θ1) = (2 + θ1)σ ∗
2 (F) ≥ (1)(1 − σ ∗
2 (F)) = U1(B, σ ∗
2 |θ1).
Furthermore, since θˆ1 chooses B in equilibrium, it follows that:
U1(B, σ ∗
2 |θˆ1) = (1)(1 − σ ∗
2 (F)) ≥ (2 + θˆ1)σ ∗
2 (F) = U1(F, σ ∗
2 |θˆ1).
Putting these two inequalities together yields: (2 + θ1)σ ∗
2 (F) ≥ (2 + θˆ1)σ ∗
2 (F). If σ ∗
2 (F) = 0,
player 1’s best response is B regardless of type, which contradicts the supposition that θ1
chooses F. Therefore, it must be the case that σ ∗
2 (F) > 0. We can therefore simplify the above
inequality to obtain 2+θ1 ≥ 2+θˆ1 ⇒ θ1 ≥ θˆ1. However, this contradicts θˆ1 > θ. We conclude
that if some type of player 1 chooses F in equilibrium, then so must all higher types. A
symmetric argument establishes that if some type of player 2 chooses B in equilibrium, then
so must all higher types. In other words, players must be using cut-point strategies in any
equilibrium.
Let’s now go back to solving the game. For simplicity (and with slight abuse of notation),
let σ1(θ1) denote the probability that player 1 goes to the fight, that is:
σ1(θ1) = Pr[θ1 > x1] = 1 − Pr[θ1 ≤ x1] = 1 − x1
x .
Similarly, the probability that player 2 goes to the ballet is
σ2(θ2) = Pr[θ2 > x2] = 1 − Pr[θ2 ≤ x2] = 1 − x2
x .

Kết quả (Việt) 1:

Lưu ý rằng trong trò chơi này, mỗi người chơi có một liên tục của các loại, và vì vậy Θi là vô hạn. Chúng tôi sẽ
tìm sự cân bằng Bayes trong mà người chơi 1 đi vào cuộc đấu tranh nếu θ1 vượt quá một số quan trọng
giá trị x 1 và đi đến nếu không ballet, và 2 cầu thủ đi đến vở ballet nếu θ2 vượt quá một số
quan trọng giá trị x 2 và đi vào cuộc chiến bằng cách khác. Các chiến lược thường được gọi là cắt-điểm
chiến lược; đó là, cho một khoảng thời gian của các loại, có tồn tại một loại đặc biệt (cắt-điểm) như vậy
rằng tất cả các loại sang làm một việc, và tất cả các loại ở bên phải làm khác.
tại sao chúng tôi đang tìm kiếm một cân bằng trong chiến lược như vậy? Bởi vì chúng tôi có thể chứng minh rằng bất
cân bằng phải, trong thực tế, liên quan đến chiến lược cắt-điểm. Điều này sau từ một thực tế rằng nếu ở
cân bằng một số loại θ1 chọn F, sau đó nó phải là các trường hợp tất cả θˆ1 cũng phải lựa chọn
F. Chúng tôi có thể chứng minh điều này bằng cách mâu thuẫn. Có một số cân bằng Bayes và một số θ1 có
chiến lược tối ưu là F. Bây giờ có một số θˆ1 > θ1 và giả sử rằng chiến lược tối ưu của ông là sinh Chúng tôi
sẽ thấy rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn. Kể từ khi θ1 chọn F trong trạng thái cân bằng,
U1 (F, σ ∗
2 |θ1) = (2 θ1) σ ∗
2 (F) ≥ (1) (1 − σ ∗
2 (F)) = U1(B, σ ∗
2 |θ1).
hơn nữa, kể từ khi θˆ1 chọn B trong trạng thái cân bằng, nó sau đó:
U1 (B, σ ∗
2 |θˆ1) = (1) (1 − σ ∗
2 (F)) ≥ (2 θˆ1) σ ∗
2 (F) = U1(F, σ ∗
2 |θˆ1).
đặt những sự bất bình đẳng hai cùng sản lượng: (2 θ1) σ ∗
2 (F) ≥ (2 θˆ1) σ ∗
2 (F). Nếu σ ∗
2 (F) = 0,
chơi 1 của phản ứng tốt nhất là B bất kể loại, mà mâu thuẫn với giả thuyết cho rằng θ1
chọn F. Do đó, nó phải là các trường hợp đó ∗ σ
2 (F) > 0. Chúng tôi có thể do đó đơn giản hóa trên
bất bình đẳng để có được 2 θ1 ≥ 2 θˆ1 ⇒ θ1 ≥ θˆ1. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với θˆ1 > θ. Chúng tôi kết luận
rằng nếu một số loại cầu thủ 1 chọn F trong trạng thái cân bằng, sau đó vì vậy phải tất cả các loại cao. A
đối xứng đối số thiết lập mà nếu một số loại cầu thủ 2 chọn B trong trạng thái cân bằng, sau đó
vì vậy phải tất cả các loại cao. Nói cách khác, người chơi phải sử dụng cắt-điểm chiến lược trong bất kỳ
cân bằng.
Let của bây giờ đi trở lại để giải quyết các trò chơi. Để đơn giản (và với các lạm dụng nhẹ ký hiệu),
cho σ1(θ1) biểu thị xác suất là cầu thủ 1 đi vào cuộc chiến, có nghĩa là:
Σ1(θ1) = quan hệ công chúng [θ1 > x 1] = 1 − Pr [θ1 ≤ x 1] = 1 − x 1
x.
tương tự như vậy, xác suất 2 cầu thủ đó đi vào ballet is
σ2(θ2) = quan hệ công chúng [θ2 > x 2] = 1 − Pr [θ2 ≤ x 2] = 1 − x 2
x.

Kết quả (Việt) 2:

Lưu ý rằng trong trò chơi này, mỗi người chơi có một sự liên tục của các loại, và như vậy Θi là vô hạn. Chúng tôi sẽ
tìm kiếm một sự cân bằng Bayesian trong đó người chơi 1 đi vào cuộc chiến nếu θ1 vượt quá một số quan trọng
x1 giá trị và đi xem ballet khác, và máy nghe nhạc 2 đi xem ballet nếu θ2 vượt quá một số
giá trị x2 quan trọng và đi đến cuộc chiến khác. Những chiến lược này thường được gọi là cắt giảm điểm
chiến lược; có nghĩa là, với một khoảng thời gian các loại, có tồn tại một loại đặc biệt (cut-điểm) như vậy
mà tất cả các loại bên trái làm một việc, và tất cả các loại bên phải làm khác.
Tại sao chúng ta tìm kiếm một sự cân bằng trong chiến lược này ? Bởi vì chúng ta có thể chứng minh rằng bất kỳ
trạng thái cân bằng phải, trên thực tế, liên quan đến việc cắt giảm điểm chiến lược. Này xuất phát từ thực tế là nếu trong
trạng thái cân bằng một số loại θ1 chọn F, sau đó nó phải là trường hợp đó tất cả θ1 cũng phải được lựa chọn
F. Chúng tôi có thể chứng minh điều này bằng cách mâu thuẫn. Hãy dành một chút cân bằng Bayesian và một số θ1 có
chiến lược tối ưu là F. Bây giờ có một số θ1> θ1 và cho rằng chiến lược tối ưu của ông là B. Chúng ta
sẽ thấy rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn. Kể từ khi θ1 chọn F cân bằng,
U1 (F, σ *
2 | θ1) = (2 + θ1) σ *
2 (F) ≥ (1) (1 - σ *
2 (F)) = U1 (B, σ *
. 2 | θ1)
Hơn nữa, kể từ khi θ1 chọn B ở trạng thái cân bằng, nó sau đó:
U1 (B, σ *
2 | θ1) = (1) (1 - σ *
2 (F)) ≥ (2 + θ1) σ *
2 (F) = U1 (F, σ *
2 | θ1).
Đưa hai sự bất bình đẳng này lại với nhau sản lượng: (2 + θ1) σ *
2 (F) ≥ (2 + θ1) σ *
2 (F). Nếu σ *
2 (F) = 0,
đáp ứng tốt nhất người chơi 1 là B bất kể loại, trong đó mâu thuẫn với giả thiết rằng θ1
chọn F. Vì vậy, nó phải là trường hợp đó σ *
2 (F)> 0 do đó chúng ta có thể đơn giản hóa trên
bất bình đẳng để có được 2 + θ1 ≥ 2 + θ1 ⇒ θ1 ≥ θ1. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với θ1> θ. Chúng tôi kết luận
rằng nếu một số loại máy nghe nhạc 1 lựa chọn F cân bằng, sau đó vì vậy tất cả phải loại cao hơn. Một
lập luận đối xứng xác định rằng nếu một số loại máy nghe nhạc 2 chọn B ở trạng thái cân bằng, sau đó
vì vậy tất cả phải loại cao hơn. Nói cách khác, người chơi phải sử dụng chiến lược cắt giảm điểm trong bất kỳ
trạng thái cân bằng.
Bây giờ chúng ta quay trở lại để giải quyết các trò chơi. Để đơn giản (và lạm dụng nhẹ ký hiệu),
cho σ1 (θ1) biểu thị xác suất mà người chơi 1 đi vào cuộc chiến, đó là:
σ1 (θ1) = Pr [θ1> x1] = 1 - Pr [θ1 ≤ x1] = 1 - x1
. x
Tương tự như vậy, xác suất để 2 cầu thủ đi xem ballet là
σ2 (θ2) = Pr [θ2> x2] = 1 - Pr [θ2 ≤ x2] = 1 - x2
x.