15determined by the boundary condit

15
determined by the boundary conditions x(O) = 0 and x(l) = 2.
x(O) = at + d = 0 implies d = 0 and x(l) = 2 = a(l) + 0. The solution
is thus a straight line going through the origin
x(t) = 2t
Example 2.2
1 0
Find the extremum of fo f(x, ±, t) dt where f(x, ±, t) - ar 2+ bx +at
with x(O) = 1, x(lO) = 5 the Euler equation gives
fx - ~ fx = b - ~ 2ar =- b - 2a.f = o
or x = b/2a whose solution obtained by integrating twice, is±= (b/2a)t + e
bt2
and x(t) =- + et + y. From x(O) = 1, and x(lO) = 5, we have
4a
x(t) = (b/4a) t 2 + (.4 - 2.5 b/a)t + 1
where a, b are the known coefficients in f = ar2 + bx + at. The solution
is thus a polynomial function, convex if a and b are of the same sign and
concave if they are of opposite signs.
Example 2.3
Find the optimal output x(t) level of a producer facing a constant
market price p = $4 and a total cost function of ±2 + x 2 discounted at
the market rate of interest of r = 0.2 from an initial output level of
x(O) = 0 to a terminal output x(l) = 10. The problem is one of maximizing
1
J (4x - x2 - x2) e-· 2t dt , x(O)
0
0; x(l) 10
The discounted profit function is f(x, x, t) _ (4x - ±2 - x2) e-· 2t
Euler equation gives
fx
d -.2t (4 -2x )
d -.2t (-2±) 0 - IH fx = e -ate
i.e., x· - .z± -X - 2

Kết quả (Việt) 1:

15xác định bởi điều kiện biên x(O) = 0 và x(l) = 2.x(O) = lúc + d = 0 ngụ ý d = 0 và x(l) = 2 = a(l) + 0. Các giải phápdo đó một đường thẳng đi qua nguồn gốcx(t) = 2tVí dụ 2.21 0Tìm extremum cho f (x, ±, t) dt nơi f (x, ±, t) - ar 2 + bx + tạivới x(O) = 1, x(lO) = 5 phương trình Euler choFX - ~ fx = b - ~ 2ar =-b - 2a.f = ohoặc x = b/2a có giải pháp thu được bằng cách tích hợp hai lần, is± = (b/2a) t + eBT2và x(t) =-et + y. Từ x(O) = 1, và x(lO) = 5, chúng tôi có4Ax(t) = (b/4a) t 2 + (.4 - 2,5 b / a) t + 1nơi a, b là các hệ số được biết đến trong f = ar2 + bx + tại. Các giải pháplà như vậy, một đa thức chức năng, lồi nếu một và b là các dấu hiệu tương tự vàlõm nếu họ có dấu hiệu đối diện.Ví dụ 2.3Tìm thấy mức độ x(t) tối ưu đầu ra của một nhà sản xuất phải đối mặt với một hằng sốgiá cả thị trường p = $4 và một chức năng tổng chi phí của ±2 + x 2 giảm giá tạithị trường, lệ lãi suất của r = 0.2 từ một mức độ ban đầu ra củax(O) = 0 đến một thiết bị đầu cuối sản lượng x(l) = 10. Vấn đề là một trong tối đa hóa1J (4 x-x 2-x 2) e-· 2T dt, x(O)00; x(l) 10Chức năng lợi nhuận giảm giá là f (x, x, t) _ (4 x - ±2 - x 2) e-· 2TPhương trình Euler choFXd - .2t (4 -2 x)d - .2t (-2±) 0 - IH fx = e-ănVí dụ, x· -. z± -X - 2

Kết quả (Việt) 2:

15
quyết định bởi các điều kiện x ranh giới (O) = 0 và x (l) = 2.
x (O) = at + d = 0 nghĩa d = 0 và x (l) = 2 = a (l) + 0. giải pháp
là như vậy, một đường thẳng đi qua gốc
x (t) = 2t
Ví dụ 2.2
1 0
Tìm ​​các cực trị của fo f (x, ±, t) dt đó f (x, ±, t) - ar 2+ + bx ở
với x (O) = 1, x (LO) = 5 phương trình Euler cho
fx - ~ fx = b - ~ 2ar = - b - 2a.f = o
hoặc x = b / 2a có giải pháp thu được bằng cách tích hợp hai lần, là ± = (b / 2a) t + e
bt2
và x (t) = - + et + y. Từ x (O) = 1 và x (LO) = 5, chúng tôi có
4a
x (t) = (b / 4a) t 2 + (0,4-2,5 b / a) t + 1
trong đó a, b là hệ số tiếng ở f = AR2 + bx + tại. Các giải pháp
như vậy, là một hàm đa thức, lồi nếu a và b là các dấu hiệu tương tự và
lõm nếu chúng có dấu hiệu ngược lại.
Ví dụ 2.3
Tìm đầu ra tối ưu x (t) mức độ của một nhà sản xuất phải đối mặt với một hằng số
giá thị trường p = 4 $ và một hàm chi phí tổng cộng ± 2 + x 2 chiết khấu theo
tỷ giá thị trường quan tâm của r = 0,2 từ mức sản lượng ban đầu của
x (O) = 0 với một thiết bị đầu cuối đầu ra x (l) = 10. Vấn đề là một trong tối đa hóa
1
J (4x - x2 - x2) e- · 2t dt, x (O)
0
0; x (l) 10
Lợi nhuận giảm chức năng là f (x, x, t) _ (4x - ± 2 - x2) e- · 2t
Euler phương trình cho
fx
d -.2t (4 -2x)
d -.2t (- 2 ±) 0 - IH = fx e -ate
tức, x · - z ± X - 2