If the function f in (1.1.1) is rep

If the function f in (1.1.1) is replaced by a function g of two variables, that is, g : Z+ x R ^ R, where Z+ is the set of nonnegative integers and R is the set of real numbers, then we have
x(n +1) = g(n, x(n)). (1.1.2)
Equation (1.1.2) is called nonautonomous or time-variant, whereas (1.1.1) is called autonomous or time-invariant. The study of (1.1.2) is much more complicated and does not lend itself to the discrete dynamical system theory of first-order equations. If an initial condition x(n0) = x0 is given, then for n > no there is a unique solution x(n) = x(n,no,xo) of (1.1.2) such that x(n0, n0, x0) = x0. This may be shown easily by iteration. Now,
x(no + 1, n0, x0) = g(m, x(n0)) = g(m, x0), x(n0 + 2, no, xo) = g(no + 1, x(no + 1)) = g(no + 1, g(no, xo)), x(no + 3,no,xo) = g(no + 2,x(no + 2)) = g[no + 2,g(no + 1,g(no,xo))]. And, inductively, we get x(n, n0, x0) = g[n — 1, x(n — 1, n0, xo)].

Kết quả (Việt) 1:

Nếu hàm f (1.1.1) được thay thế bởi một g chức năng của hai biến, có nghĩa là, g: Z + x R ^ R, nơi Z + là tập hợp vô số nguyên và R là tập hợp của các số thực, sau đó chúng tôi cóx (n + 1) = g (n, x(n)). (1.1.2)Phương trình (1.1.2) được gọi là nonautonomous hoặc thời gian-phiên bản, trong khi (1.1.1) được gọi là tự trị hoặc thời gian bất biến. Nghiên cứu (1.1.2) là phức tạp hơn nhiều và không cho vay chính nó đến lý thuyết hệ thống động lực rời rạc của phương trình thứ tự đầu tiên. Nếu một ban đầu của bạn có điều kiện x(n0) = x 0 được đưa ra, sau đó cho n > không có là một giải pháp duy nhất x(n) = x(n,no,xo) của (1.1.2) như vậy mà x (n0, n0, x 0) = x 0. Điều này có thể được hiển thị một cách dễ dàng bởi lặp đi lặp lại. Bây giờ,x (không + 1, n0, x 0) = g (m, x(n0)) = g (m, x 0), x (n0 + 2, không có, xo) = g (không có + 1, x(no + 1)) = g (không có + 1, g(no, xo)), x (không có + 3, không có, xo) = g (không có + 2, x(no + 2)) = g [không có + 2, g(no + 1,g(no,xo))]. Và ăngten, chúng tôi nhận được x (n, n0, x 0) = g [n-1, x (n-1, n0, xo)].

Kết quả (Việt) 2:

Nếu hàm f trong (1.1.1) được thay thế bởi một hàm g của hai biến, đó là, g: Z + x R ^ R, trong đó Z + là tập hợp các số nguyên không âm và R là tập hợp các số thực, sau đó chúng tôi có
x (n + 1) = g (n, x (n)). (1.1.2)
Phương trình (1.1.2) được gọi nonautonomous hoặc thời gian biến thể, trong khi (1.1.1) được gọi là tự trị hoặc thời gian bất biến. Các nghiên cứu của (1.1.2) là phức tạp hơn nhiều và không thích hợp với các lý thuyết hệ thống động rời rạc của phương trình bậc nhất. Nếu một điều kiện ban đầu x (n0) = x0 được đưa ra, sau đó cho n> không có một giải pháp duy nhất x (n) = x (n, không có, xo) của (1.1.2) như vậy mà x (n0, n0, x0) = x0. Điều này có thể được thể hiện một cách dễ dàng bằng cách lặp đi lặp lại. Bây giờ,
x (không + 1, n0, x0) = g (m, x (n0)) = g (m, x0), x (n0 + 2, không có, xo) = g (không + 1, x (không + 1)) = g (không + 1, g (không có, xo)), x (không + 3, không có, xo) = g (không có + 2, x (không + 2)) = g [không có + 2, g (không + 1, g (không có, xo))]. Và, quy nạp, chúng ta có được x (n, n0, x0) = g [n - 1, x (n - 1, n0, xo)].