In this chapter we study regular cu

In this chapter we study regular curves in the three dimensional
Euclidean space. We define their curvature and torsion and show that
these determine the curves up to orientation preserving Euclidean motions.
Let the 3-dimensional real vector space R
3 be equipped with its
standard Euclidean scalar product ⟨·, ·⟩ : R
3 ×R
3 → R. This is given
by
⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + x3y3
and induces the norm | · | : R
3 → R
+
0
on R
3 with
|x| =
√
x
2
1 + x
2
2 + x
2
3
.
Further we equip the three dimensional real vector space R
3 with
the standard cross product × : R
3 × R
3 → R
3
satisfying
(x1, y1, z1) × (x2, y2, z2) = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1).
Definition 3.1. A map Φ : R
3 → R
3
is said to be a Euclidean
motion of R
3
if it is given by Φ : x 7→ Ax + b where b ∈ R
3 and
A ∈ O(3) = {X ∈ R
3×3
| X
tX = I}.
A Euclidean motion Φ is said to be rigid or orientation preserving
if
A ∈ SO(3) = {X ∈ O(3)| det X = 1}.
Example 3.2. If p and q are two distinct points in R
3
then γ :
R → R
3 with
γ : t 7→ (1 − t) · p + t · q
parametrizes the straight line through p = γ(0) and q = γ(1).
Example 3.3. Let {Z, W} be an orthonormal basis for a 2-plane
V in R
3
, r ∈ R
+ and p ∈ R
3
. Then γ : R → R
3 with
γ : t 7→ p + r · (cost · Z + sin t · W)
parametrizes a circle in the affine 2-plane p + V with center p and
radius r.
15
16 3. CURVES IN THE EUCLIDEAN SPACE R
3
Example 3.4. If r, b ∈ R
+ then γ : R → R
3 with
γ = (x, y, z) : t 7→ (r · cos(t), r · sin(t), bt)
parametrizes a helix. It is easy to see that x
2 + y
2 = r
2
so the image
γ(R) is contained in the circular cylinder
{(x, y, z) ∈ R
3
| x
2 + y
2 = r
2
}
of radius r.
Definition 3.5. Let γ : I → R
3 be a regular C
2
-curve parametrized
by arclength. Then the curvature κ : I → R
+
0
of γ is defined by
κ(s) = |γ¨(s)|.
Theorem 3.6. Let γ : I → R
3
be a regular C
2
-curve parametrized
by arclength. Then its curvature κ : I → R
+
0
vanishes identically if and
only if the geometric curve γ(I) is contained in a line.
Proof. The curvature κ(s) = |γ¨(s)| vanishes identically if and
only if there exist a unit vector Z ∈ S
2 and a point p ∈ R
3
such that
γ(s) = p + s · Z
i.e. the geometric curve γ(I) is contained in a straight line.
Definition 3.7. A regular C
3
-curve γ : I → R
3
, parametrized
by arclength, is said to be a Frenet curve if its curvature κ is nonvanishing
i.e. κ(s) ̸= 0 for all s ∈ I.
For a Frenet curve γ : I → R
3 we define the tangent T : I → S
2
along γ by
T(s) = ˙γ(s),
the principal normal N : I → S
2 with
N(s) = γ¨(s)
|γ¨(s)|
=
γ¨(s)
κ(s)
and the binormal B : I → S
2 as the cross product
B(s) = T(s) × N(s).
The curve γ : I → R
3
is parametrized by arclength so
0 =
d
ds⟨γ˙(s), γ˙(s)⟩ = 2 ⟨γ¨(s), γ˙(s)⟩.
This means that for each s ∈ I the set {T(s), N(s), B(s)} is an orthonormal
basis for R
3
. It is called the Frenet frame along the curve.
3. CURVES IN THE EUCLIDEAN SPACE R
3
17
Definition 3.8. Let γ : I → R
3 be a Frenet curve. Then we define
the torsion τ : I → R of γ by
τ (s) = ⟨N˙ (s), B(s)⟩.
Note that the torsion is a measure of how fast the principal normal
N(s) = ¨γ(s)/|γ¨(s)| is bending in the direction of the binormal B(s), or
equivalently, out of the plane generated by T(s) and N(s).
Theorem 3.9. Let γ : I → R
3
be a Frenet curve. Then the Frenet
frame satisfies the following system of ordinary differential equations.


T˙(s)
N˙ (s)
B˙(s)

 =


0 κ(s) 0
−κ(s) 0 τ (s)
0 −τ (s) 0




T(s)
N(s)
B(s)

 .
Proof. The first equation is a direct consequence of the definition
of the curvature
T˙(s) = ¨γ(s) = |γ¨(s)| · N = κ(s) · N(s).
We get the second equation from
⟨N˙ (s), T(s)⟩ =
d
ds⟨N(s), T(s)⟩ − ⟨N(s), T˙(s)⟩
= −⟨ γ¨(s)
|γ¨(s)|
, γ¨(s)⟩
= −κ(s),
2⟨N˙ (s), N(s)⟩ =
d
ds⟨N(s), N(s)⟩ = 0
and
⟨N˙ (s), B(s)⟩ =
d
ds⟨N(s), B(s)⟩ − ⟨N(s), B˙(s)⟩ = τ (s).
When differentiating B(s) = T(s) × N(s) we obtain
B˙(s) = T˙(s) × N(s) + T(s) × N˙ (s)
= κ(s) · N(s) × N(s) + T(s) × N˙ (s)
= T(s) × N˙ (s),
hence ⟨B˙(s), T(s)⟩ = 0. The definition of the torsion
⟨B˙(s), N(s)⟩ = −⟨B(s), N˙ (s)⟩ = −τ (s)
and the fact
2 ⟨B˙(s), B(s)⟩ =
d
ds⟨B(s), B(s)⟩ = 0
give us the third and last equation.
18 3. CURVES IN THE EUCLIDEAN SPACE R
3
Theorem 3.10. Let γ : I → R
3
be a Frenet curve. Then its torsion
τ : I → R vanishes identically if and only if the geometric curve γ(I)
is contained in a plane.
Proof. It follows from the third Frenet equation that if the torsion
vanishes identically then
d
ds⟨γ(s) − γ(0), B(s)⟩ = ⟨T(s), B(s)⟩ = 0.
Because ⟨γ(0) − γ(0), B(0)⟩ = 0 it follows that ⟨γ(s) − γ(0), B(s)⟩ = 0
for all s ∈ I. This means that γ(s) lies in a plane containing γ(0) with
constant normal B(s).
Let us now assume that the geometric curve γ(I) is contained in a
plane i.e. there exists a point p ∈ R
3 and a normal n ∈ R
3 {0} to the
plane such that
⟨γ(s) − p, n⟩ = 0
for all s ∈ I. When differentiating we get
⟨T(s), n⟩ = ⟨γ˙(s), n⟩ = 0
and
⟨γ¨(s), n⟩ = 0
so ⟨N(s), n⟩ = 0. This means that B(s) is a constant multiple of n, so
B˙(s) = 0 and hence τ ≡ 0.
The next result is called the fundamental theorem of curve
theory. It tells us that a Frenet curve is, up to orientation preserving
Euclidean motions, completely determined by its curvature and torsion.
Theorem 3.11. Let κ : I → R
+ and τ : I → R be two continuous
functions. Then there exists a Frenet curve γ : I → R
3 with curvature
κ and torsion τ . If γ˜ : I → R
3
is another such curve, then there exists
a matrix A ∈ SO(3) and an element b ∈ R
3
such that
γ˜(s) = A · γ(s) + b.
Proof. The proof is based on Theorem 3.9 and a well-known result
of Picard-Lindel¨of formulated here as Fact 3.12, see Exercise 3.6.
Fact 3.12. Let f : U → R
n
be a continuous map defined on an
open subset U of R × R
n and L ∈ R
+ such that
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ L · |x − y|
for all (t, x),(t, y) ∈ U. If (t0, x0) ∈ U then there exists a unique local
solution x : I → R
n
to the following initial value problem
x
′
(t) = f(t, x(t)), x(t0) = x0.
3. CURVES IN THE EUCLIDEAN SPACE R
3
19
In differential geometry we are interested in properties of geometric
objects which are independent of how these objects are parametrized.
The curvature and the torsion of a geometric curve should therefore
not depend on its parametrization.
Definition 3.13. Let γ : I → R
3 be a regular C
2
-curve in R
3 not
necessarily parametrized by arclength. Let t : J → I be a strictly
increasing C
2
-function such that the composition α = γ ◦ t : J → R
3
is a curve parametrized by arclength. Then we define the curvature
κ : I → R
+ of γ : I → R
3 by
κ(t(s)) = ˜κ(s),
where ˜κ : J → R
+ is the curvature of α. If further γ : I → R
3
is a
regular C
3
-curve with non-vanishing curvature and t : J → I is C
3
,
then we define the torsion τ : I → R of γ by
τ (t(s)) = ˜τ (s),
where ˜τ : J → R is the torsion of α.
We are now interested in deriving formulae for the curvature κ and
the torsion τ in terms of γ, under the above mentioned conditions.
Proposition 3.14. If γ : I → R
3
be a regular C
2
-curve in R
3
then
its curvature satisfies
κ(t) = |γ
′
(t) × γ
′′(t)|
|γ
′
(t)|
3
.
Proof. By differentiating γ(t) = α(s(t)) we get
γ
′
(t) = ˙α(s(t)) · s
′
(t),
⟨γ
′
(t), γ′
(t)⟩ = s
′
(t)
2
⟨α˙(s(t)), α˙(s(t))⟩ = s
′
(t)
2
and
2⟨γ
′′(t), γ′
(t)⟩ =
d
dt(s
′
(t)
2
) = 2 · s
′
(t) · s
′′(t).
When differentiating once more we get
s
′
(t) · α¨(s(t)) = s
′
(t) · γ
′′(t) − s
′′(t) · γ
′
(t)
s
′
(t)
2
and
α¨(s(t)) = s
′
(t)
2
· γ
′′(t) − s
′
(t) · s
′′(t) · γ
′
(t)
s
′
(t)
4
=
γ
′′(t)⟨γ
′
(t), γ′
(t)⟩ − γ
′
(t)⟨γ
′′(t), γ′
(t)⟩
|γ
′
(t)|
4
20 3. CURVES IN THE EUCLIDEAN SPACE R
3
=
γ
′
(t) × (γ
′′(t) × γ
′
(t))
|γ
′
(t)|
4
.
Finally we get a formula for the curvature of γ : I → R
3 by
κ(t) = ˜κ(s(t))
= |α¨(s(t))|
=
|γ
′
(t)| · |γ
′′(t) × γ
′
(t)|
|γ
′
(t)|
4
=
|γ
′
(t) × γ
′′(t)|
|γ
′
(t)|
3
.

Corollary 3.15. If γ : I → R
3
is a regular C
2
-curve in R
3
then
the geometric curve γ(I) is contained in a line if and only if γ
′
(t) and
γ
′′(t) are linearly dependent for all t ∈ I.
Proof. The statement is a direct consequence of Theorem 3.6 and
Proposition 3.14.
Proposition 3.16. Let γ : I → R
3
be a regular C
3
-curve with
non-vanishing curvature. Then its torsion τ satisfies
τ (t) = det[γ
′
(t), γ′′(t), γ′′′(t)]
|γ
′
(t) × γ
′′(t))|
2
.
Proof. See Exercise 3.5.
Corollary 3.17. Let γ : I → R
3
be a regular C
3
-curve with nonvanishing
curvature. Then the geometric curve γ(I) is contained in a
plane if and only if γ
′
(t), γ
′′(t) and γ
′′′(t) are linearly dependent for all
t ∈ I.
Proof. The statement is a direct consequence of Theorem 3.10
and Proposition 3.16.

Kết quả (Việt) 2:

Trong chương này chúng ta nghiên cứu các đường cong đều đặn trong ba chiều
không gian Euclide. Chúng tôi xác định độ cong và xoắn của họ và cho rằng
những xác định đường cong lên để định hướng bảo tồn chuyển động Euclide.
Hãy để cho 3 chiều vector thực không gian R
3 được trang bị nó
tiêu chuẩn vô hướng sản phẩm Euclide ⟨·, ·⟩: R
3 × R
3 → R. này được đưa ra
bởi
⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + x3y3
và gây ra các chuẩn mực | · |: R
3 → R
+
0
trên R
3 với
| x | =
√
x
2
+ 1 x
2
x 2 +
2
3
.
Hơn nữa chúng tôi trang bị cho ba chiều vector thực không gian R
3 với
các sản phẩm chéo tiêu chuẩn ×: R
3 × R
3 → R
3
thỏa mãn
(x1, y1, z1) × (x2, y2, z2) = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 -. x2y1)
Định nghĩa 3.1. Một Φ đồ: R
3 → R
3
được cho là một Euclide
chuyển động của R
3
nếu nó được cho bởi Φ: x 7 → Ax + b trong đó b ∈ R
3 và
A ∈ O (3) = {X ∈ R
3 × 3
| X
tx = I}.
Một chuyển động Euclide Φ được cho là cứng nhắc hoặc định hướng bảo tồn
nếu
A ∈ SO (3) = {X ∈ O (3) |. det X = 1}
Ví dụ 3.2. Nếu p và q là hai điểm khác biệt trong R
3
sau đó γ:
R → R
3 với
γ: t → 7 (1 - t) · p + q t ·
parametrizes các đường thẳng qua p = γ (0) và q = γ (1).
Ví dụ 3.3. Hãy {Z, W} là một cơ sở trực chuẩn cho một chiếc máy bay 2-
V trong R
3
, r ∈ R
+ và p ∈ R
3
. Sau đó γ: R → R
3 với
γ: t 7 → p + r · (chi phí · Z + sin t · W)
parametrizes một vòng tròn trong affine 2 mặt phẳng p + V với trung tâm và p
. bán kính r
15
16 3. Curves TRONG Euclide SPACE R
3
Ví dụ 3.4. Nếu r, b ∈ R
+ sau đó γ: R → R
3 với
γ = (x, y, z): t 7 → (r · cos (t), r · sin (t), bt)
parametrizes một đường xoắn ốc. Nó rất dễ dàng để thấy rằng x
2 + y
2 = r
2
vì vậy hình ảnh
γ (R) được chứa trong các trụ tròn
{(x, y, z) ∈ R
3
| x
2 + y
2 = r
2
}
bán kính r.
Định nghĩa 3.5. Hãy γ: I → R
3 là một C thường xuyên
2
-curve parametrized
bởi arclength. Sau đó, κ cong: I → R
+
0
của γ được xác định bởi
κ (s) = | g (s) |.
Định lý 3.6. Hãy γ: I → R
3
là một C thường xuyên
2
-curve parametrized
bởi arclength. Sau đó κ độ cong của nó: I → R
+
0
biến mất hệt nếu và
chỉ nếu γ đường cong hình học (I) được chứa trong một dòng.
Proof. Các κ cong (s) = | g (s) | biến mất hệt nếu và
chỉ nếu tồn tại một đơn vị vector ∈ Z S
2 và một điểm p ∈ R
3
như vậy mà
γ (s) = p + s · Z
tức các đường cong hình học γ (I) được chứa trong một đường thẳng.
Định nghĩa 3.7. A thường xuyên C
3
-curve γ: I → R
3
, parametrized
bởi arclength, được cho là một đường cong Frenet nếu κ độ cong của nó là nonvanishing
tức κ (s) ̸ = 0 cho tất cả s ∈ I.
Đối với một đường cong Frenet γ: I → R
3, chúng tôi xác định các tiếp tuyến T: I → S
2
cùng γ bởi
T (s) = ˙γ (s),
bình thường chính N: I → S
2 với
N (s) = g (s)
| g (s) |
=
g (s)
κ (s)
và binormal B: I → S
2 là sản phẩm chéo
B (s ) = T (s) × N (s).
Các đường cong γ: I → R
3
là parametrized bởi arclength nên
0 =
d
ds⟨γ˙ (s), γ˙ (s)⟩ = 2 ⟨γ¨ (s) , γ˙ (s)⟩.
Điều này có nghĩa rằng đối với mỗi s ∈ I tập {T (s), N (s), B (s)} là một trực giao
cơ sở cho R
3
. Nó được gọi là khung Frenet dọc theo đường cong.
3. Curves TRONG Euclide SPACE R
3
17
Định nghĩa 3.8. Hãy γ: I → R
3 là một đường cong Frenet. Sau đó, chúng tôi xác định
các τ xoắn: I → R của γ bởi
τ (s) = ⟨N˙ (s), B (s)⟩.
Lưu ý rằng xoắn là một biện pháp nhanh như thế nào cho hiệu trưởng bình thường
N (s) = ¨ γ (s) / | g (s) | được uốn theo hướng của binormal B (s), hoặc
tương đương, ra khỏi mặt phẳng được tạo ra bởi T (s) và N (s).
Định lý 3.9. Hãy γ: I → R
3
là một đường cong Frenet. Sau đó, các Frenet
khung đáp ứng các hệ thống sau đây của các phương trình vi phân thường.


t (s)
N (s)
B (s)

 =


0 κ (s) 0
-κ (s) 0 τ (s )
0 -τ (s) 0




T (s)
N (s)
B (s)

.
Proof. Phương trình đầu tiên là một hệ quả trực tiếp của định nghĩa
của độ cong
t (s) = g (s) = | g (s) |. · N = κ (s) · N (s)
Chúng tôi nhận được phương trình thứ hai từ
⟨N˙ (s), T (s)⟩ =
d
ds⟨N (s), T (s)⟩ - ⟨N (s), T (s)⟩
= -⟨ g (s)
| γ ¨ (s) |
, g (s)⟩
= -κ (s),
2⟨N˙ (s), N (s)⟩ =
d
ds⟨N (s), N (s)⟩ = 0
và
⟨ N (s), B (s)⟩ =
d
ds⟨N (s), B (s)⟩ -. ⟨N (s), B (s)⟩ = τ (s)
Khi phân biệt B (s) = T (s) × N (s), chúng tôi có được
B (s) = T (s) × N (s) + T (s) × n (s)
= κ (s) · N (s) × N (s) + T (s) × n (s)
= T (s) × n (s),
do đó ⟨B˙ (s), T (s)⟩ = 0. Định nghĩa của xoắn
⟨B ˙ (s), N (s)⟩ = -⟨B (s), N (s)⟩ = -τ (s)
và thực tế
2 ⟨B˙ (s), B (s)⟩ =
d
ds⟨ B (s), B (s)⟩ = 0
cho chúng ta những phương trình thứ ba và cuối cùng.
18 3. Curves TRONG Euclide SPACE R
3
Định lý 3.10. Hãy γ: I → R
3
là một đường cong Frenet. Sau đó xoắn của nó
τ: I → R biến mất hệt nếu và chỉ nếu γ đường cong hình học (I)
được chứa trong một chiếc máy bay.
Proof. Sau đó từ phương trình Frenet thứ ba là nếu xoắn
biến mất hệt sau đó
d
ds⟨γ (s) - γ (0), B (s)⟩ = ⟨T (s), B (s)⟩ = 0.
Vì ⟨γ (0) - (0) γ, B (0)⟩ = 0 nó sau đó ⟨γ (s) - γ (0), B (s)⟩ = 0
cho tất cả s ∈ I. Điều này có nghĩa rằng γ (s) nằm trong một mặt phẳng chứa (0) γ với
liên tục bình thường B (s).
Bây giờ chúng ta giả định rằng γ đường cong hình học (I) được chứa trong một
chiếc máy bay tức là có tồn tại một điểm p ∈ R
3 và n ∈ R bình thường
3 {0} vào
máy bay như vậy mà
⟨γ (s) - p, n⟩ = 0
cho tất cả s ∈ I. Khi phân biệt chúng tôi nhận được
⟨T (s), n⟩ = ⟨γ˙ (s), n⟩ = 0
và
⟨γ¨ (s), n⟩ = 0
nên ⟨N (s), n⟩ = 0. Điều này có nghĩa là B (s) là một bội số của hằng số n, do đó
B (s) = 0 và do đó τ ≡ 0.
Các kết quả tiếp theo được gọi là định lý cơ bản của đường cong
lý thuyết. Nó cho chúng ta biết rằng một đường cong Frenet là, lên đến định hướng bảo tồn
chuyển động Euclide, hoàn toàn xác định bởi độ cong của nó và xoắn.
​​Định lý 3.11. Hãy κ: I → R
+ và τ: I → R là hai liên tục
các chức năng. Sau đó, có tồn tại một đường cong Frenet γ: I → R
3 với độ cong
κ và xoắn τ. Nếu γ~: I → R
3
là một đường cong như vậy, thì tồn tại
một ma trận A ∈ SO (3) và một phần tử b ∈ R
3
như vậy mà
γ~ (s) = A · γ (s) + b.
Chứng minh. Các bằng chứng dựa trên định lý 3.9 và một nổi tiếng kết quả
của Picard-Lindelof xây dựng ở đây như là Fact 3.12, xem bài tập 3.6.
Thực tế 3.12. Cho f: U → R
n
là một bản đồ liên tục xác định trên một
tập con mở U của R × R
n và L ∈ R
+ như vậy mà
| f (t, x) - f (t, y) | ≤ L · | x - y |
cho tất cả (t, x), (t, y) ∈ U. Nếu (t0, x0) ∈ U thì tồn tại một địa phương độc đáo
giải pháp x: I → R
n
như sau vấn đề giá trị ban đầu
x
'
(t) = f (t, x (t)), x (t0) = x0.
3. Curves TRONG Euclide SPACE R
3
19
Trong hình học khác biệt, chúng tôi quan tâm đến tính chất của hình học
đối tượng mà là độc lập về cách thức các đối tượng được parametrized.
Độ cong và xoắn của một đường cong hình học nên do đó
không phụ thuộc vào nó parametrization.
Định nghĩa 3.13. Hãy γ: I → R
3 là một C thường xuyên
2
-curve trong R
3 không
nhất thiết parametrized bởi arclength. Hãy t: J → Tôi là một nghiêm
C tăng
2
-function mà chế phẩm α = γ ◦ t: J → R
3
là một đường cong parametrized bởi arclength. Sau đó, chúng tôi xác định độ cong
κ: I → R
+ của γ: I → R
3 của
κ (t (s)) = ~κ (s),
nơi ~κ: J → R
+ là độ cong của α. Nếu γ thêm: I → R
3
là một
C thường xuyên
3
-curve với không biến mất độ cong và t: J → Tôi là C
3
,
sau đó chúng tôi xác định τ xoắn: I → R của γ bởi
τ (t (s)) = ~τ (s),
nơi ~τ:. J → R là xoắn α
Chúng tôi đang quan tâm đến việc phát sinh các công thức cho κ cong và
các τ xoắn về γ, dưới các điều kiện nêu trên.
Dự 3.14. Nếu γ: I → R
3
là một C thường xuyên
2
-curve trong R
3
sau đó
đáp ứng độ cong của nó
κ (t) = | γ
'
(t) x γ
'' (t) |
| g
'
| (t)
3
.
Proof . Bằng cách phân biệt γ (t) = α (s (t)), chúng tôi có được
γ
'
(t) = ˙α (s (t)) · s
'
(t),
⟨γ
'
(t), γ '
(t)⟩ = s
'
(t)
2
⟨α˙ (s (t)), α˙ (s (t))⟩ = s
'
(t)
2
và
2⟨γ
'' (t), γ '
(t) =⟩
d
dt (s
'
(t)
2
) = 2 · s
'
(t) · s
'' (t).
Khi phân biệt một lần nữa chúng ta có được
s
'
(t) · alpha (s (t)) = s
'
( t) · γ
'' (t) - s
'' (t) · γ
'
(t)
s
'
(t)
2
và
alpha (s (t)) = s
'
(t)
2
· γ
'' (t ) - s
'
(t) · s
'' (t) · γ
'
(t)
s
'
(t)
4
=
γ
'' (t) ⟨γ
'
(t), γ '
(t)⟩ - γ
'
( t) ⟨γ
'' (t), γ '
(t)⟩
| g
'
(t) |
4
20 3. Curves TRONG gian Euclide R
3
=
γ
(
t) x (γ
'' (t) x γ
'
(t))
| γ
'
(t) |
4
.
Cuối cùng chúng ta có được một công thức cho độ cong của γ: I → R
3 của
κ (t) = ~κ (s (t))
= | alpha (s ( t)) |
=
| γ
'
(t) | · | γ
'' (t) x γ
'
(t) |
| g
'
(t) |
4
=
| γ
'
(t) x γ
'' (t) |
| γ
'
(t) |
3
. Hệ quả 3.15. Nếu γ: I → R 3 là một C thường xuyên 2 -curve trong R 3 sau đó các đường cong hình học γ (I) được chứa trong một đường nếu và chỉ nếu γ ' (t) và γ '' (t) là phụ thuộc tuyến tính cho tất cả các t ∈ I. Chứng minh. Các tuyên bố là một hậu quả trực tiếp của định lý 3.6 và Dự 3.14. Dự 3.16. Hãy γ: I → R 3 là một C thường xuyên 3 -curve với không biến mất độ cong. Sau đó đáp ứng xoắn τ của τ (t) = det [γ ' (t), γ '' (t), γ '' '(t)] | γ ' (t) x γ '' (t)) | 2 . Proof. Xem bài tập 3.5. Hệ quả 3.17. Hãy γ: I → R 3 là một C thường xuyên 3 -curve với nonvanishing cong. Sau đó, các đường cong hình học γ (I) được chứa trong một mặt phẳng khi và chỉ khi γ ' (t), γ '' (t) và γ '' '(t) là phụ thuộc tuyến tính cho tất cả các t ∈ I. Chứng minh. Các tuyên bố là một hậu quả trực tiếp của định lý 3.10 và Dự 3.16.