Given a connected graph G, the vert

Given a connected graph G, the vertex and edge sets and their cardinalities are denoted by V(G), E(G), n and m, respectively. It is assumed that every vertex o is assigned a non-negative real number w(o), called the weight of o, and every edge uv is assigned a positive real number a(uo), the length of uo. The lengths determine the distance d(u, o) between any two vertices u and o as the minimal sum of the edge lengths of a u- o path. The distance between a vertex o e V(G) and a set XC V(G) is d(o, X):= min{d(o, x)[xeX}. A p-set is a set of cardinality p. Given G and p, the p-center problem is to find a p-set XC V(G) such that the objective function, weighted eccentricity, is minimized. The optimal value of r/(X) is often called the p-radius of G. A p-center is any optimal p-set X. If also any point of a network (either on an edge or at a vertex) is allowed to be an element of X, the corresponding problem is referred to as the absolute p-center problem. (Distances are defined as expected.) Clearly, any edge uo with d(u, o) < a(uo) can be deleted without affecting the optimal eccentricity. Therefore we will assume that d(u, o) = a(uo) for every edge uo. Note that we do not assume any other relations between edge lengths. However, some authors define the p-center problem only for complete graphs. In this case they can put d(u, o) := a(uo) whenever the triangle inequality for the lengths is assumed. Both definitions are clearly equivalent as to the p-center problem but not for the absolute p-center one. Therefore we prefer incomplete graphs. Moreover, sometimes a special structure of G can be exploited (see e.g. [17] for trees).

Kết quả (Việt) 1:

Cho đồ thị G kết nối, bộ đỉnh và edge và cardinalities của họ được biểu hiện bằng V(G), E(G), n và m, tương ứng. Người ta cho rằng mỗi đỉnh o được gán một số thực không âm w(o), được gọi là trọng lượng của o, và mỗi cạnh uv được gán một số thực dương a(uo), chiều dài của uo. Độ dài xác định khoảng cách d (u, o) giữa bất kỳ hai đỉnh bạn và o như Tổng độ dài cạnh của một con đường u-o, tối thiểu. Khoảng cách giữa đỉnh o e V(G) và một bộ là XC V(G) d(o, X): = min {d (o, x) [xeX}. Bộ p là một tập hợp các cardinality p. Cho G và p, p Trung tâm là để tìm một V(G) XC p-thiết lập sao cho hàm mục tiêu, trọng tâm sai, được giảm thiểu. Giá trị tối ưu của r/(X) thường được gọi là bán kính p của G. Một trung tâm p là bất kỳ tối ưu thiết lập p X. Nếu cũng bất kỳ điểm nào của một mạng lưới (một cạnh hoặc tại một đỉnh) được cho phép để là một phần tử của X, các vấn đề tương ứng được gọi là vấn đề tuyệt đối p-Trung tâm. (Khoảng cách được quy định như dự kiến.) Rõ ràng, bất kỳ cạnh uo với d (u, o) < a(uo) có thể bị xóa mà không ảnh hưởng đến độ lệch tâm tối ưu. Vì vậy chúng tôi sẽ giả định rằng d (u, o) = a(uo) cho mỗi uo cạnh. Lưu ý rằng chúng tôi không cho bất kỳ mối quan hệ khác giữa độ dài cạnh. Tuy nhiên, một số tác giả xác định các vấn đề Trung tâm p chỉ cho đồ thị hoàn toàn. Trong trường hợp này, họ có thể đặt d (u, o): = a(uo) bất cứ khi nào bất đẳng thức tam giác cho độ dài là giả định. Cả hai định nghĩa là rõ ràng tương đương như vấn đề p-Trung tâm nhưng không phải cho tuyệt đối p-Trung tâm một. Do đó, chúng tôi thích đồ thị không đầy đủ. Hơn nữa, đôi khi một cấu trúc đặc biệt của G có thể được khai thác (xem ví dụ: [17] cho cây).

Kết quả (Việt) 2:

Cho một đồ thị kết nối G, các đỉnh và cạnh bộ và cardinalities của họ được biểu hiện bằng V (G), E (G), n và m, tương ứng. Người ta cho rằng mỗi o đỉnh được gán một số thực không âm w (o), được gọi là trọng lượng của o, và mỗi uv cạnh được gán một số thực dương a (uo), chiều dài của uo. Độ dài xác định khoảng cách d (u, o) giữa hai đỉnh u và o là tổng tối thiểu của độ dài cạnh của một con đường o u-. Khoảng cách giữa một đỉnh oe V (G) và một bộ XC V (G) là d (o, X): = min {d (o, x) [xeX}. A p-set là một tập hợp của cardinality p. Với G và p, vấn đề p-trung tâm là tìm một p-thiết XC V (G) sao cho hàm mục tiêu, độ lệch tâm trọng, được giảm thiểu. Giá trị tối ưu của r / (X) thường được gọi là p-bán kính của G. A p-trung tâm là bất kỳ p-thiết lập tối ưu X. Nếu còn bất kỳ điểm nào của một mạng lưới (hoặc trên một cạnh hoặc tại một đỉnh) được phép là một phần tử của X, các vấn đề tương ứng được gọi là vấn đề p-trung tâm tuyệt đối. (Khoảng cách được định nghĩa như mong đợi). Rõ ràng, bất kỳ uo cạnh với d (u, o) <a (uo) có thể bị xóa mà không ảnh hưởng đến độ lệch tâm tối ưu. Vì vậy chúng tôi sẽ cho rằng d (u, o) = a (uo) cho mỗi uo cạnh. Lưu ý rằng chúng tôi không chịu bất kỳ mối quan hệ khác giữa độ dài cạnh. Tuy nhiên, một số tác giả xác định các vấn đề p-trung tâm chỉ cho đồ thị đầy đủ. Trong trường hợp này, họ có thể đặt d (u, o): = a (uo) bất cứ khi nào bất đẳng thức tam giác cho độ dài được giả định. Cả hai định nghĩa rõ ràng là tương đương như các vấn đề p-trung tâm nhưng không cho tuyệt đối p-một trung tâm. Vì vậy chúng tôi thích đồ thị không đầy đủ. Hơn nữa, đôi khi một cấu trúc đặc biệt của G có thể được khai thác (xem ví dụ [17] cho cây).