Let X be a non-empty subset of ℜ n

Let X be a non-empty subset of ℜ n .
(a) Show that the convex hull of X coincides with the set of all convex combi-
nations of its elements, i.e.,
conv(X) =
( X
i∈I
α i x i
?
? I: a finite set,
X
i∈I
α i = 1, a i ≥ 0, x i ∈ X, ∀ i ∈ I
)
.
16
(b) Show that the affine hull of X coincides with the set of all linear combina-
tions of its elements with coefficients adding to 1, i.e.,
aff(X) =
( X
i∈I
α i x i
?
?
? I: a finite set,
X
i∈I
α i = 1, x i ∈ X, ∀ i ∈ I
)
.
Show also that if m is the dimension of aff(X), there exist vectors x,x 1 ,...,x m
from X such that x 1 − x,...,x m − x form

Kết quả (Việt) 1:

Cho X là một tập hợp con không có sản phẩm nào của ℜ n.(a) cho thấy rằng các bao lồi của X trùng với các thiết lập của tất cả lồi combi-Quốc gia của các yếu tố, ví dụ,conv(X) =(Xi∈IΑ tôi x i?? I: một hữu hạn thiết lập,Xi∈IΑ i = 1, i một ≥ 0, x i ∈ X, ∀ i ∈ I).16(b) cho thấy rằng afin của X trùng với các thiết lập của tất cả tuyến tính combina-tions các yếu tố với hệ số thêm 1, ví dụ,Aff(X) =(Xi∈IΑ tôi x i??? I: một hữu hạn thiết lập,Xi∈IΑ i = 1, x i ∈ X, ∀ i ∈ I).Hiển thị cũng rằng nếu m là kích thước aff(X), có vectơ x, x 1,..., x mtừ X như vậy mà x 1 − x,..., x m − x mẫu

Kết quả (Việt) 2:

Cho X là tập con không rỗng của ℜ n.
(A) Chứng minh rằng thân lồi của X trùng với các thiết lập của tất cả các combi- lồi
quốc gia của các thành phần của nó, tức là
chuyển đổi (X) =
(X
i∈I
α IXI
?
? I: một tập hợp hữu hạn,
X
i∈I
α i = 1, ai ≥ 0, xi ∈ X, ∀ i ∈ I
)
.
16
(b) Chứng minh rằng bao afin của X trùng với các thiết lập của tất cả các combina tuyến tính -
tions của các yếu tố của nó với hệ số tăng thêm 1, tức là,
aff (X) =
(X
i∈I
α IXI
?
?
I: một tập hợp hữu hạn,?
X
i∈I
α i = 1, xi ∈ X, ∀ i ∈ tôi
)
.
Hiện cũng rằng nếu m là kích thước của aff (x), có tồn tại vectơ x, x 1, ..., xm
từ x mà x 1 - x, ..., xm - x dạng