mv˙ = mg − bv2,where m includes the

mv˙ = mg − bv2
,
where m includes the mass of the parachute.
The terminal velocity, v0, can be found from the equation of motion as t → ∞; when
there is no acceleration, v˙ = 0, so
bv2
0 = mg, or v0 =
)
mg
b
.
9.2 First-Order Differential Equations 545
The variables t and v separate
dv
g −
b
m
v
2
= dt,
which we integrate by decomposing the denominator into partial fractions. The roots of the
denominator are at v = ±v0. Hence

g −
b
m
v
2
−1
=
m
2v0b

1
v + v0
−
1
v − v0

.
Integrating both terms yields
 v dV
g −
b
m
V 2
=
1
2
)
m
gb
ln
v0 + v
v0 − v
= t.
Solving for the velocity yields
v =
e
2t/T − 1
e
2t/T + 1
v0 = v0
sinh t
T
cosh t
T
= v0 tanh
t
T
,
where T =

m
gb is the time constant governing the asymptotic approach of the velocity to
the limiting velocity, v0.
Putting in numerical values, g = 9.8 m/s
2
and taking b = 700 kg/m, m = 70 kg, gives
v0 =
√
9.8/10 ∼ 1 m/s ∼ 3.6 km/h ∼ 2.23 mi/h, the walking speed of a pedestrian at
landing, and T =
 m
bg = 1/
√
10 · 9.8 ∼ 0.1 s. Thus, the constant speed v0 is reached
within a second. Finally, because it is always important to check the solution, we verify
that our solution satisfies
v˙ =
cosh t/T
cosh t/T
v0
T
−
sinh2
t/T
cosh2
t/T
v0
T
=
v0
T
−
v
2
T v0
= g −
b
m
v
2
,
that is, Newton’s equation of motion. The more realistic case, where the parachutist is in
free fall with an initial speed vi = v(0) > 0 before the parachute opens, is addressed in

Kết quả (Việt) 1:

MV˙ = mg − bv2,nơi m bao gồm khối lượng của dù.Tốc độ thiết bị đầu cuối, v0, có thể được tìm thấy từ các phương trình chuyển động như t → ∞; Khicó là không có gia tốc, v˙ = 0, do đóbv20 = mg hoặc v0 =)mgb.9.2 đầu tiên đặt hàng Differential Equations 545Biến t và v riêng biệtDVg −bmv2= dt,mà chúng tôi tích hợp bởi phân hủy mẫu thành phần phân số. Nguồn gốc của cácmẫu số là v = ±v0. Do đóg −bmv2−1=m2v0b1v + v0−1v − v0.Tích hợp cả hai điều khoản sản lượng v dVg −bmV 2=12)mGBLNv0 + vv0 − v= t.Giải quyết cho sản lượng vận tốcv =e2T/T − 1e2T/T + 1v0 = v0sinh tTcosh tT= v0 tánhtT,nơi T =mGB là hằng số thời gian áp dụng phương pháp tiệm cận của vận tốc đểvận tốc giới hạn, v0.Đặt trong giá trị số, g = 9,8 m/s2và việc b = 700 kg/m, m = 70 kg, cung cấp chov0 =√9.8/10 ∼ 1 m/s ∼ 3.6 km/h ∼ 2,23 dặm/h, tốc độ đi bộ của một người đi bộ tạihạ cánh, và T =mBG = 1 /√10 · 9,8 ∼ 0.1 s. Vì vậy, đạt đến tốc độ v0trong một lần thứ hai. Cuối cùng, bởi vì nó luôn luôn là quan trọng để kiểm tra các giải pháp, chúng tôi xác minhgiải pháp của chúng tôi đáp ứngv˙ =cosh t/Tcosh t/Tv0T−sinh2t/Tcosh2t/Tv0T=v0T−v2T v0= g −bmv2,đó là, Newton phương trình chuyển động. Trường hợp thực tế hơn, nơi mà parachutistrơi tự do với một ban đầu của bạn tăng tốc độ vi = v(0) > 0 trước khi nhảy dù mở, được

Kết quả (Việt) 2:

MV = mg - bv2
,
. trong đó m bao gồm khối lượng của chiếc dù
Vận tốc thiết bị đầu cuối, v0, có thể được tìm thấy từ các phương trình chuyển động như t → ∞; khi
không có khả năng tăng tốc, v = 0, do đó
bv2
0 = mg, hoặc v0 =
)
mg
b
.
9.2 đầu tiên đặt hàng Differential Equations 545
Các biến t và v riêng
dv
g -
b
m
v
2
= dt,
mà chúng tôi tích hợp bằng cách phân hủy mẫu số thành phân số một phần. Nguồn gốc của
mẫu số là tại v = ± v0. Do đó
?
G -
b
m
v
2
? -1
=
M
2v0b
?
1
v + v0
-
1
v - v0
?
.
Tích hợp cả về sản lượng
 v dV
g -
b
m
V 2
=
1
2
)
m
gb
ln
v0 + v
v0 - v
= t.
Giải quyết cho sản lượng vận tốc
v =
e
2t / T - 1
e
2t / T + 1
v0 = v0
sinh t
T
cây vồ t
T
= v0 tanh
t
T
,
trong đó T =
?
m
gb là hằng số thời gian chi phối cách tiếp cận tiệm cận của các vận tốc đến
vận tốc giới hạn, v0.
đưa các giá trị bằng số, g = 9,8 m / s
2
và lấy b = 700 kg / m, m = 70 kg, mang lại cho
v0 =
√
9.8 / 10 ~ 1 m / s ~ 3.6 km / h ~ 2.23 mi / h, tốc độ đi bộ của một người đi bộ ở
hạ cánh, và = T
? m
bg = 1 /
√
10 · 9,8 ~ 0,1 s. Như vậy, tốc độ không đổi v0 đạt được
trong vòng một giây. Cuối cùng, vì nó luôn luôn là quan trọng để kiểm tra các giải pháp, chúng tôi xác minh
rằng giải pháp đáp ứng của chúng tôi
v =
cây vồ t / T
cây vồ t / T
v0
T
-
sinh2
t / T
cosh2
t / T
v0
T
=
v0
T
-
v
2
T v0
= g -
b
m
v
2
,
có nghĩa là, phương trình chuyển động của Newton. Các trường hợp thực tế hơn, nơi mà nhảy dù là trong
mùa thu miễn phí với một vi tốc độ ban đầu = v (0)> 0 trước khi nhảy dù mở ra, được đề cập