12.7 Calculation of electron densit

12.7 Calculation of electron density: introduction of grids
One of the most important operations is the calculation of the density of electrons n. The
general form for a crystal treated in independent-particle theory, e. g. Eqs. (3.42) or (7.2),
can be written as

(12-27)

which is an average over k points (see Eq. (12.14)), with i denoting the bands at each k
point (including the spin index 0) and f (a,_k) denoting the Fermi function. For a plane wave
basis, expression (12.11) for the Bloch functions leads to

(12-28)

and

(12.29)

where m" denotes the G vector for which G,,,~ E Gm —l- G.
The symmetry operations Rn of the crystal can be used as in Secs. 4.5 and 4.6 to find the
density in terms only of the k points in the IBZ,

(12.30)
12.31

The phase factor due to the translation exp(iR,,G • t,,) follows from (12.28). ex
Despite the simplicity of (12.29), it is not the most efficient way to calculate the density m
n(r) or n(G). The problem is that finding all the Fourier components using (12.29) involves C,
a double sum, i.e. a convolution in Fourier space that requires N2; operations, where NG SI
is the number of G vectors needed to describe the density. For large systems this becomes
very expensive. On the other hand, if the Bloch states are known on a grid of NR points fa
in real space, the density can be found simply as a square, in NR operations. The trick is pi
to use a fast Fourier transform (FFT) that allows one to transform from one space to the is
other in N log N operations, where N : NR : NG . The flow chart, Fig. 12.4, illustrates gl
the algorithm, and the general features for all such operations are described in Sec. M.] 1. A
A great advantage is that n(r) is needed to find e,,,.(r) and (,,.(r). The inverse transform m

F12.4

Figure 12.4. Calculation of the density using Fourier transforms and grids. The notation {G} and
{R} denotes the sets of N G vectors and N grid points R. Since the fast Fourier transform (FFT)
scales as N ln N, the algorithm is faster than the double sum needed to calculate n{G} that scales as
N 2. In addition, the result is given in both real and reciprocal space, needed for calculation of the
exchahge—c0rrelati0n and Hartree terms. The algorithm is essentially the same as used in iterative
methods, App. M.

can be used to find rz(G) which can be used for solving the Poisson equation in Fourier
space.
lt is relevant to note that the density n requires Fourier components that extend twice as
far in each direction as those needed for the wavefunction ip because h oc lip}? Also the
FFT requires a regular grid in the form of a parallelepiped, whereas the wavefunction cutoff
is generally a sphere with (1/2)|k —|— G|2 < Ecumff. Thus the number of points in the FFT
grid for density N : N R : NG is roughly an order of magnitude larger than the number
Ngf of G vectors in the basis for the wavefunctions. Nevertheless, the FFT approach is
mach more ejjicierttfar large systems since the number of operations scales as N log N.

Kết quả (Việt) 1:

12.7 tính toán mật độ electron: giới thiệu của lướiMột trong các hoạt động quan trọng nhất là tính toán mật độ electron n. cácCác hình thức chung cho một tinh thể được điều trị trong lý thuyết độc lập-hạt, e. g. Eqs. (3,42) hoặc (7.2),có thể được viết dưới dạng(12-27)đó là một mức trung bình hơn k chỉ (xem Eq. (12.14)), với tôi nghĩa là các ban nhạc tại mỗi kđiểm (bao gồm chỉ số spin 0) và f (a, _k) nghĩa là chức năng Fermi. Đối với sóng phẳngcơ sở, biểu thức (12.11) cho các chức năng Bloch dẫn đến(12-28)và(12.29)nơi m "là bắt các véc tơ G cho mà G,,, ~ E Gm-l-G.Các hoạt động đối xứng Rn của các tinh thể có thể được sử dụng như trong giây. 4,5 và 4.6 để tìm cácmật độ trong các điều khoản chỉ của điểm k IBZ,(12.30)12.31Các yếu tố pha do các điểm kinh nghiệm dịch thuật (iR,, G • t,,) sau từ (12.28). cũBất chấp sự đơn giản của (12.29), nó không phải là cách hiệu quả nhất để tính toán mật độ mn(r) hoặc n(G). Vấn đề là rằng việc tìm kiếm tất cả Fourier thành phần bằng cách sử dụng (12.29) liên quan đến C,một số tiền tăng gấp đôi, tức là một convolution trong không gian Fourier đòi hỏi N2; hoạt động, nơi NG SIlaø soá löôïng G vectơ cần thiết để mô tả mật độ. Đối với hệ thống lớn, điều này sẽ trở thànhrất tốn kém. Mặt khác, nếu kỳ Bloch được biết đến trên một mạng lưới các NR chỉ fatrong không gian thực, mật độ có thể được tìm thấy chỉ đơn giản là như là một hình vuông, NR các chiến dịch. Bí quyết là piđể sử dụng một nhanh chóng biến đổi Fourier (FFT) cho phép một để chuyển đổi từ một không gian để các làkhác trong các hoạt động đăng nhập N N, nơi N: NR: NG. Biểu đồ dòng chảy, hình 12.4, minh hoạ glCác thuật toán, và các tính năng chung cho tất cả các hoạt động được mô tả Sec. m.] 1. AMột lợi thế lớn là n(r) đó cần thiết để tìm e,,.(r) và được viết bởi admin (,,. ()r). biến đổi nghịch đảo mF12.4Con số 12.4. Tính toán mật độ sử dụng biến đổi Fourier và lưới. Ký hiệu {G} và{R} là bắt các bộ của vectơ N G và N lưới điểm R. Kể từ khi Fourier nhanh chóng chuyển đổi (FFT)quy mô như N ln N, các thuật toán là nhanh hơn tổng đôi cần thiết để tính toán n {G} có quy mô nhưN 2. Ngoài ra, kết quả được đưa ra trong không gian thực và đối ứng, cần thiết cho các tính toán của cácexchahge-c0rrelati0n và điều khoản Hartree. Thuật toán là cơ bản giống như sử dụng trong lặp đi lặp lạiphương pháp, App. M.có thể được sử dụng để tìm rz(G) có thể được sử dụng để giải quyết các phương trình Poisson Fourierkhông gian.LT là có liên quan để lưu ý rằng mật độ n yêu cầu thành phần Fourier mở rộng gấp đôiđến nay trong mỗi hướng như những người cần thiết cho các ip wavefunction vì h oc môi}? Cũng làFFT đòi hỏi một lưới điện thường xuyên trong các hình thức của hình khối lục diện một, trong khi wavefunction cắtnói chung là một hình cầu với |k (1/2)-|-G|2 < Ecumff. Do đó số điểm trong FFTlưới mật độ N: N R: NG là khoảng một thứ tự cường độ lớn hơn sốNGF G vectơ trong cơ sở cho các wavefunctions. Tuy nhiên, phương pháp tiếp cận FFT làMach thêm các hệ thống lớn ejjicierttfar từ số lượng hoạt động quy mô như đăng nhập N N.

Kết quả (Việt) 2:

12.7 Tính toán mật độ electron: giới thiệu các công trình lưới
Một trong những hoạt động quan trọng nhất là việc tính toán mật độ electron n. Các
hình thức chung của một tinh thể được điều trị trong lý thuyết độc lập-hạt, ví dụ như phương trình. (3.42) hoặc (7.2),
có thể được viết như sau (12-27) mà là một trung bình trên các điểm k (xem Eq. (12,14)), với i biểu thị các ban nhạc tại mỗi k điểm (bao gồm cả các chỉ số quay 0) và f (a, _k) biểu thị các chức năng Fermi. Đối với một sóng phẳng cơ sở, biểu thức (12.11) cho các chức năng Bloch dẫn đến (12-28) và (12.29) , nơi m "biểu thị vector G mà G ,,, ~ E Gm -l- G. Các hoạt động đối xứng Rn của tinh thể có thể được sử dụng như trong Secs. 4.5 và 4.6 để tìm ra mật độ trong điều kiện chỉ có trong những điểm k trong IBZ, (12.30) 12.31 Các yếu tố giai đoạn do các điểm kinh nghiệm dịch thuật (iR ,, G • t ,,) sau từ (12,28) cũ. Mặc dù đơn giản của (12,29), nó không phải là cách hiệu quả nhất để tính toán mật độ m n (r) hoặc n (G). Vấn đề là tìm tất cả các thành phần Fourier sử dụng (12.29) bao gồm C, một số tiền gấp đôi, tức là một chập trong không gian Fourier mà đòi hỏi N2; hoạt động, nơi NG SI . là số G vectơ cần thiết để mô tả mật độ Đối với các hệ thống lớn này sẽ trở thành . rất đắt Mặt khác, nếu các Bloch bang được biết đến trên một mạng lưới các khu bảo tồn chỉ fa trong không gian thực, mật độ có thể được tìm thấy chỉ đơn giản là một hình vuông, trong hoạt động NR. Bí quyết là pi để sử dụng một biến đổi Fourier nhanh (FFT) cho phép một để chuyển đổi từ một không gian để là khác trong hoạt động N N log, nơi N: NR: NG. Các biểu đồ, hình. 12.4 minh họa GL các thuật toán, và các tính năng chung cho tất cả các hoạt động đó được mô tả trong Sec. M.] 1. Một lợi thế lớn là n (r) là cần thiết để tìm e ,,,. (r) và (,,. (r). Các nghịch đảo m F12.4 Hình 12.4. Tính mật độ sử dụng các phép biến đổi Fourier và lưới. Các ký hiệu {G} và {R} biểu thị các bộ vectors NG và N điểm lưới R. Do biến đổi Fourier nhanh (FFT) quy mô như N ln N, thuật toán là nhanh hơn so với số tiền gấp đôi cần thiết để tính toán n {G} mà quy mô như N 2. Ngoài ra, kết quả được đưa ra trong cả không gian thực và đối ứng, cần thiết cho tính toán của exchahge-c0rrelati0n và các điều khoản Năng lượng Hartree. Các thuật toán cơ bản cũng giống như được sử dụng lặp đi lặp lại trong các phương pháp , App. M. có thể được sử dụng để tìm rz (G) mà có thể được sử dụng để giải quyết các phương trình Poisson trong Fourier không gian. lt là có liên quan cần lưu ý rằng mật độ n đòi hỏi các thành phần Fourier mở rộng gấp đôi đến nay trong mỗi hướng là những điều cần thiết ? cho ip hàm sóng vì h oc môi} Ngoài ra FFT đòi hỏi một lưới điện thường xuyên trong các hình thức của một -hình, trong khi cắt hàm sóng nói chung là một khối cầu (1/2) | k - | - G | 2 <Ecumff. Như vậy số lượng các điểm trong FFT lưới cho mật độ N: NR: NG là khoảng một đơn đặt hàng của các cường độ lớn hơn so với số lượng NGF của G vectơ trong cơ sở cho các hàm sóng. Tuy nhiên, các phương pháp FFT là mach ejjicierttfar hơn các hệ thống lớn vì số lượng các hoạt động quy mô như N log N.