Therefore, in an acute triangle Eul

Therefore, in an acute triangle Euler’s line intersects the longest side AB and the shortest side AC, whereas in an acute triangle it intersects the longest side AB, and side BC of intermediate length.
5.109. a) Let Oa, Ob and Oc be the centers of the escribed circles of triangle ABC. The vertices of triangle ABC are the bases of the heights of triangle OaObOc (Problem 5.2) and, therefore, the circle of 9 points of triangle OaObOc passes through point A, B and C.

b) Let O be the intersection point of heights of triangle OaObOc, i.e., the intersection point of the bisectors of triangle ABC. The circle of 9 points of triangle OaObOc divides segment OOa in halves.
5.110. Let AA1 be an height, H the intersection point of heights. By Problem 5.45 b)
AH = 2R| cos ∠A|. The medians are divided by their intersection point in the ratio of 1:2,
−−→
= 2 : 3 and vectors AH and


2R cos ∠A : 2R sin ∠B sin ∠C = 2 : 3.

Taking into account that

cos ∠A = − cos(∠B + ∠C) = sin ∠B sin ∠C − cos ∠B cos ∠C

we get
sin ∠B sin ∠C = 3 cos ∠B cos ∠C.

5.111. Let CD be a height, O the center of the circumscribed circle, N the midpoint of side AB and let point E divide the segment that connects C with the intersection point of the

Kết quả (Việt) 1:

Vì vậy, trong một tam giác cấp tính của Euler dòng cắt dài cạnh AB và ngắn nhất bên AC, trong khi trong một tam giác cấp tính nó giao cắt dài cạnh AB, và bên BC của chiều dài trung cấp.5.109. bản) cho Oa, Ob và Oc có các trung tâm của vòng tròn escribed của tam giác ABC. Các đỉnh của tam giác ABC có các căn cứ của đỉnh cao của tam giác OaObOc (vấn đề 5.2), và do đó, trong vòng tròn của 9 điểm của tam giác OaObOc đi qua điểm A, B và C.b) giả O là giao điểm của đỉnh cao của tam giác OaObOc, tức là giao điểm của bisectors của tam giác ABC. Vòng tròn của 9 điểm của tam giác OaObOc chia phân đoạn OOa trong nửa.5.110. Hãy để AA1 là một chiều cao, H giao điểm độ cao. Bởi vấn đề mức 5,45 b)AH = 2R | cos ∠A |. Các số trung vị được chia theo giao điểm trong tỷ lệ 1:2,−−→= 2:3 và vector AH và2R cos ∠A: 2R sin ∠B sin ∠C = 2:3.Tham gia vào tài khoản màcos ∠A = − cos(∠B + ∠C) = sin sin ∠B ∠C − cos ∠B cos ∠Cchúng tôi nhận đượcSin ∠B sin ∠C = 3 cos ∠B cos ∠C.5.111. Hãy để đĩa CD là chiều cao, O là trung tâm của vòng tròn circumscribed, N là trung điểm của cạnh AB và cho điểm E chia đoạn kết nối C với giao điểm của các

Kết quả (Việt) 2:

Vì vậy, trong một tam giác cấp tính đường Euler cắt chiều dài nhất AB và AC bên ngắn nhất, trong khi ở một tam cấp nó cắt chiều dài nhất AB, và bên BC có độ dài trung bình.
5,109. a) Hãy Oa, Ob và Óc là trung tâm của đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC. Các đỉnh của tam giác ABC là cơ sở của những đỉnh cao của tam giác OaObOc (Vấn đề 5.2) và, do đó, vòng tròn 9 điểm của tam giác OaObOc đi qua điểm A, B và C.

b) Cho O là giao điểm của các độ cao tam giác OaObOc, tức là giao điểm của các đường trung của tam giác ABC. Vòng tròn 9 điểm của tam giác OaObOc chia đoạn OOA trong nửa.
5.110. Hãy AA1 có một chiều cao, H giao điểm của chiều cao. Bởi vấn đề 5,45 b)
AH = 2R | cos ∠A |. Các trung vị được chia theo giao điểm của họ ở tỷ lệ 1:
2, - →
= 2: 3 và vectơ AH và


2R cos ∠A: 2R tội lỗi tội lỗi ∠B ∠C = 2: 3.

Nếu tính rằng

cos ∠ A = - cos (∠B + ∠C) = sin ∠B phạm tội ∠C - cos cos ∠B ∠C

chúng tôi có được
. tội lỗi tội lỗi ∠B ∠C = 3 cos cos ∠B ∠C

5.111. Hãy CD là một chiều cao, O trung tâm của đường tròn ngoại tiếp, N là trung điểm của cạnh AB và để cho điểm E chia phân khúc nối C với điểm giao nhau của