olutions13. (a) For each of the fol

olutions
13. (a) For each of the following three matrices decide whether or not the matrix is
diagonalizable over R. The eigenvalues for each matrix are given. You should
justify your answers.
(i)

7 −14 −10
−2 7 4
7 −19 −12

has eigenvalues: −1, 1, 2
(ii)

3 −2 −2
0 1 0
1 −1 0

has eigenvalues: 1, 1, 2
(iii)

0 0 1
6 4 −6
1 1 0

has eigenvalues: 1, 1, 2
(b) (i) Write down a symmetric 2 × 2 matrix A such that
x y A x
y = [8x2 + 6xy]
(ii) Find an orthogonal matrix Q and a diagonal matrix D such that
D = QTAQ
(iii) Consider the conic
8x2 + 6xy = 1
Use your answer to part (ii) to find a simplified equation for the conic.
Hence identify and sketch the conic using both the x-y axes and your new
coordinate axes (i.e., the principal axes for the conic).
[10 marks]
Solutions:
(a) (i) The matrix is diagonalizable since it has distinct eigenvalues.
(ii) The matrix is diagonalizable iff the matrix B − I has nullity 2.

2 −2 −2
0 0 0
1 −1 −1

∼

1 −1 −1
0 0 0
0 0 0

The matrix has rank 1, and nullity 2 and is therefore diagonalizable.

Kết quả (Việt) 1:

olutions13. (a) đối với mỗi người trong ma trận 3 sau quyết định có hay không các ma trận làdiagonalizable trên R. Spectral ma trận từng được đưa ra. Bạn nênbiện minh cho câu trả lời của bạn.(i) 7 −14 TỚI-10−2 7 47 −19 −12có tuyến: −1, 1, 2(ii) 3 −2 −20 1 01 −1 0có tuyến: 1, 1, 2(iii) 0 0 16 4 −61 1 0có tuyến: 1, 1, 2(b) (i) viết xuống một đối xứng 2 × 2 Ma trận A màx y A xy = [8 x 2 + 6xy](ii) tìm thấy một ma trận trực giao Q and a diagonal matrix D sao choD = QTAQ(iii) xem xét conic8 x 2 + 6xy = 1Sử dụng câu trả lời của bạn cho một phần (ii) để tìm một phương trình đơn giản cho conic.Do đó xác định và phác họa conic sử dụng cả trục x-y và mới của bạnphối hợp trục (tức là, các hiệu trưởng trục cho conic).[10 nhãn hiệu]Giải pháp:(a) (i) các ma trận là diagonalizable vì nó có khác biệt spectral.(ii ma trận) là diagonalizable iff − ma trận B tôi đã nullity 2.2 −2 −20 0 01 −1 −1∼1 −1 −10 0 00 0 0Ma trận này có cấp bậc 1, nullity 2 và do đó diagonalizable.

Kết quả (Việt) 2:

olutions
13. (a) Đối với mỗi trong ba ma trận sau quyết định có hay không ma trận là
những đường chéo trên R. Các giá trị riêng cho mỗi ma trận được đưa ra. Bạn nên
. Biện minh cho câu trả lời của bạn
(i) 

7 -14 -10
-2 7 4
7 -19 -12

có giá trị riêng: -1, 1, 2
(ii) 

3 -2 -2
0 1 0
1 -1 0

có giá trị riêng: 1, 1, 2
(iii) 

0 0 1
6 4 -6
1 1 0

có giá trị riêng: 1, 1, 2
(b) (i) Viết xuống đối xứng 2 × 2 ma trận A sao
? xy? A? X
y? = [8x2 + 6xy]
(ii) Tìm một ma trận Q trực giao và một ma trận D chéo mà
D = QTAQ
(iii) Xem xét cônic
8x2 + 6xy = 1
Sử dụng câu trả lời của bạn cho một phần (ii) để tìm một phương trình đơn giản hóa cho . nón
Do đó xác định và phác họa hình nón sử dụng cả các trục xy và mới của bạn
. trục tọa độ (tức là, các trục chính cho nón)
[10 điểm]
Giải pháp:
(a) (i) các ma trận là những đường chéo vì nó có giá trị riêng biệt .
(ii) các ma trận đường chéo là khi và chỉ khi ma trận B - tôi có vô hiệu 2.

2 -2 -2
0 0 0
1 -1 -1

~

1 -1 -1
0 0 0
0 0 0
 
ma trận đã có xếp hạng 1, và vô hiệu 2 và do đó là những đường chéo.