PROBLEMS AND SOLUTIONS 51Pick j as

PROBLEMS AND SOLUTIONS 51
Pick j as large as possible so that vi = wi
for i ≤ j. If j < M, then
vj
, vj+1, wj+1 are distinct vertices. The walk vj
, . . ., vM, wN−1, . . ., wj+1 contains
a path from vj to wj+1, and so we have a cycle by adding the edge
wj+1vj
. But T has no cycles, so the path is unique.
Suppose G is not a tree. If G is not connected there are two vertices not
joined by any path. Suppose G is connected and has a cycle with vertices
v1, . . ., vN , N ≥ 3. Then v1 and vN are joined by distinct paths v1, . . ., vN
and the path consisting of the single edge v1vN . Thus if a graph G is not a
tree, then there is a vertex pair u, v joined by a number of paths not equal
to one.
3.2.10 Let T be a tree of order N > 1. Show that the number of leaves is
2 + X
deg(v)≥3
(deg(v) − 2).
Use induction on the number of vertices N, with the first case N = 2
being trivial. Assume the result holds for trees with fewer than N vertices.
A tree T with N > 2 vertices has a leaf v with adjacent vertex w. By the
induction hypothesis the result holds for the tree S = T − v. Add back v.
The number of leaves does not increase if and only if w is a leaf of S, which
occurs if and only if deg(w) = 1 in S, or deg(w) = 2 in T. If deg(w) ≥ 2
in S, then the number of leaves in T is one more than in S, and deg(w) − 2
increases by one for the single vertex w which has degree at least 3 in T.
3.2.12 Let T be a tree such that every vertex adjacent to a leaf has degree
at least 3. Prove that some pair of leaves has a common neighbor.
The result is true if there is only a single vertex which is not a leaf. If
there are at least two vertices which are not leaves, pick one such vertex u,
and let v be the most distant vertex which is adjacent to a leaf w1. The
unique path from u to v contains exactly one vertex w2 adjacent to v. By
the degree requirement, v is adjacent to another vertex w3, which must be a
leaf by the ’most distant vertex’ requirement.
3.3.2 Prove that a graph G is a tree if and only if it is connected and has
exactly one spanning tree.
First suppose G is a tree with N vertices. Then G is connected and has
itself as a spanning tree. If G had another spanning tree, then G would have
at least N edges, which is impossible since G is a tree. Thus a tree has a
unique spanning tree.
Suppose G is not a tree, but is connected. Then G contains a cycle
with vertices v1, . . ., vN and edges v1v2, . . ., vN v1. The edges v1v2 and v2v3
52 CHAPTER 4. TREES
are distinct. By removing edges different from v1v2 from cycles we may
construct a spanning tree containing v1v2, and similarly for v2v3. Thus if G
is connected and contains a cycle, it has more than one spanning tree.
3.3.4 Let G be connected and let e be an edge of G. Prove that e is a
bridge if and only if it is in every spanning tree of G.
Recall that e = v1v2 is a bridge in a connected graph G if and only if
G − e is disconnected. In particular v1 and v2 cannot be joined by a path in
G − e.
Suppose e is not a bridge, so that G − e is connected. Then G − e, as
well as G, contains a spanning tree not containing e. Thus e is not in every
spanning tree of G.
Suppose e is not in every spanning tree. Then G −e has a spanning tree,
so G − e is connected, and e is not a bridge.

Kết quả (Việt) 1:

VẤN ĐỀ VÀ GIẢI PHÁP 51Chọn j lớn nhất có thể vì vậy mà vi = wicho tôi ≤ j. Nếu j < M, sau đóVJ, vj + 1, wj + 1 là đỉnh khác biệt. Bộ vj,..., vM, wN−1,..., wj + 1 cómột con đường từ vj wj + 1, và vì vậy chúng tôi có một chu kỳ bằng cách thêm các cạnhWJ + 1vj. Nhưng T có chu kỳ không có, do đó, con đường là duy nhất.Giả sử G không phải là một cây. Nếu G không kết nối hai đỉnh không cósự tham gia của bất kỳ đường dẫn. Giả sử G được kết nối và có một chu kỳ với đỉnhv1,..., vN, N ≥ 3. Sau đó v1 và vN được tham gia bằng con đường khác biệt v1,..., vNvà con đường bao gồm v1vN cạnh duy nhất. Vì vậy nếu một đồ thị G là không mộtcây, sau đó có một cặp đỉnh u, v sự tham gia của một số của những con đường không bằngmột.3.2.10 cho T là một cây thứ tự N > 1. Hiển thị số lượng lá là2 + Xdeg (v) ≥3(deg(v) − 2).Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh N, với đầu tiên trường hợp N = 2được tầm thường. Giả sử kết quả giữ cho cây với ít hơn so với N đỉnh.Một cây T với N > 2 đỉnh có một lá, với đỉnh liền kề w v. Bởi cácgiả thuyết cảm ứng kết quả giữ cho cây S = T − v. Thêm trở lại v.Số lượng lá không tăng khi và chỉ khi w là một lá của S, màxảy ra nếu và chỉ nếu deg(w) = 1 thuộc S, hoặc deg(w) = 2 trong T. Nếu deg(w) ≥ 2thuộc S, sau đó số lượng lá trong T là một nhiều hơn trong S, và deg(w) − 2tăng bởi một cho w đơn đỉnh có mức độ ít nhất 3 trong T.3.2.12 cho T là một cây như vậy mà mỗi đỉnh liền kề với một lá có bằng cấpít nhất 3. Chứng minh rằng một số cặp lá có một người hàng xóm phổ biến.Kết quả là sự thật, nếu có chỉ một đỉnh duy nhất, mà không phải là một lá. Nếucó ít nhất hai đỉnh mà không lá, chọn một u đỉnh như vậy,và để cho v là đỉnh xa nhất mà nằm một w1 lá. Cáccon đường duy nhất từ bạn để v có đúng một đỉnh w2 liền kề với c. bởiyêu cầu mức độ, v là tiếp giáp với một đỉnh w3, mà cần phải có mộtlá của 'xa nhất đỉnh' yêu cầu.3.3.2 chứng minh rằng một đồ thị G là một cây nếu và chỉ nếu nó được kết nối và cóchính xác một khung cây.Đầu tiên cho rằng G là một cây với N đỉnh. Sau đó G được kết nối và cóchính nó như là một cây khung. Nếu G đã có một khung cây, sau đó G sẽ cóít N cạnh, đó là không thể vì G là một cây. Vì vậy một cây có mộtcây khung độc đáo.Giả sử G không phải là một cây, nhưng được kết nối. Sau đó G có một chu kỳvới đỉnh v1,..., vN và cạnh v1v2,..., vN v1. Cạnh v1v2 và v2v352 CHƯƠNG 4. CÂYlà khác biệt. Bằng cách loại bỏ cạnh khác nhau từ v1v2 từ các chu kỳ chúng ta có thểxây dựng khung gỗ có chứa v1v2, và tương tự cho v2v3. Vì vậy nếu Gđược kết nối và có một chu kỳ, đô thị này có nhiều hơn một khung cây.3.3.4 cho G được kết nối và để cho e là một cạnh G. chứng minh rằng e là mộtthu hẹp nếu và chỉ nếu nó là trong mọi cây khung của gNhớ lại rằng e = v1v2 là một cây cầu trong một đồ thị liên thông G khi và chỉ khiG − e bị ngắt kết nối. Đặc biệt v1 và v2 không thể được tham gia bởi một con đường trongG − e.Giả sử e không phải là một cây cầu, do đó, rằng G − e được kết nối. Sau đó G − e, nhưcũng như G, có một cây khung không có e. Do đó e không phải là tại mỗicây khung của gCho rằng e là không ở mỗi cây khung. Sau đó G −e có một cây khung,do đó, G − e được kết nối, và e không phải là một cây cầu.

Kết quả (Việt) 2:

VẤN ĐỀ VÀ GIẢI PHÁP 51
Pick j càng lớn càng tốt để vi = wi
cho i ≤ j. Nếu j <M, sau đó
vj
, vj + 1, wj + 1 là các đỉnh khác biệt. Các vj đi bộ
,. . ., VM, wn-1,. . ., Wj + 1 chứa
một đường dẫn từ vj để WJ + 1, và vì vậy chúng tôi có một chu kỳ bằng cách thêm vào các cạnh
wj + 1vj
. Nhưng T không có chu kỳ, vì vậy con đường là duy nhất.
Giả sử G không phải là một cái cây. Nếu G không được kết nối có hai đỉnh không
tham gia bất kỳ con đường. Giả sử G là kết nối và có một chu kỳ với các đỉnh
v1,. . ., VN, N ≥ 3. Sau đó v1 và VN được tham gia bởi các đường dẫn v1 biệt,. . ., VN
và các đường bao gồm các cạnh duy v1vN. Vì vậy, nếu một đồ thị G không phải là một
cây, sau đó có một cặp đỉnh u, v tham gia của một số con đường không bằng
một.
3.2.10 Cho T là một cây tự N> 1. Chứng minh rằng số lượng lá là
2 + X
deg (v) ≥3
(deg (v) - 2).
Sử dụng cảm ứng trên số đỉnh N, với các trường hợp đầu tiên N = 2
là tầm thường. Giả sử kết quả giữ cho cây có ít hơn N đỉnh.
Một cây T với N> 2 đỉnh có một v lá với giáp đỉnh w. By các
giả thuyết quy nạp kết quả giữ cho cây S = T -.. v Thêm lại v
Số lượng lá không tăng nếu và chỉ nếu w là một chiếc lá của S, mà
xảy ra khi và chỉ khi deg (w) = 1 trong S, hoặc deg (w) = 2 trong T. Nếu deg (w) ≥ 2
trong S, sau đó số lượng lá trong T là một nhiều hơn trong S, và deg (w) - 2
tăng một cho các đơn đỉnh w trong đó có mức độ ít nhất 3 trong T.
3.2.12 Cho T là một cây như vậy mà mỗi đỉnh kề với một chiếc lá bằng
ít nhất 3. Chứng minh rằng một số cặp lá có một người hàng xóm thường.
Kết quả là true nếu có chỉ là một đỉnh duy nhất mà không phải là một chiếc lá. Nếu
có ít nhất hai đỉnh mà không phải là lá, chọn một đỉnh như u,
và để cho v là đỉnh xa nhất nằm cạnh một W1 lá. Các
con đường duy nhất từ u đến v chứa chính xác một đỉnh w2 kề v. By
yêu cầu bằng cấp, v là kề nhau w3 đỉnh, mà cần phải có một
lá do 'đỉnh xa nhất' yêu cầu.
3.3.2 Chứng minh rằng một đồ thị G là một cây nếu và chỉ nếu nó được kết nối và có
chính xác một cây bao trùm.
Đầu tiên giả sử G là một cây với N đỉnh. Sau đó, G được kết nối và có
chính nó như là một cây bao trùm. Nếu G có một cây bao trùm, sau đó G sẽ có
ít nhất N cạnh, đó là không thể vì G là một cây. Vì vậy, một cây có một
cây mở rộng độc đáo.
Giả sử G không phải là một cái cây, nhưng được kết nối. Sau đó, G chứa một chu kỳ
với các đỉnh v1,. . ., VN và cạnh v1v2,. . ., VN v1. Các cạnh v1v2 và v2v3
52 CHƯƠNG 4. TREES
là khác biệt. Bằng cách loại bỏ các cạnh khác nhau từ v1v2 từ chu kỳ chúng ta có thể
xây dựng một cây bao trùm chứa v1v2, và tương tự cho v2v3. Vì vậy, nếu G
được kết nối và có chứa một chu kỳ, nó đã hơn một spanning tree.
3.3.4 Cho G được kết nối và cho e là một cạnh của G. Chứng minh rằng e là một
cây cầu khi và chỉ khi nó ở trong mỗi cây bao trùm của G.
Nhớ lại rằng e = v1v2 là một cây cầu trong một đồ thị liên thông G nếu và chỉ nếu
G - e được ngắt kết nối. Trong v1 và v2 cụ thể không thể được nối bởi một đường dẫn trong
G -. e
Giả sử e không phải là một cây cầu, vì vậy mà G - e được kết nối. Sau đó, G - e, như
cũng như G, có một cây bao trùm không chứa e. Như vậy e không phải là ở tất cả các
cây khung của G.
Giả sử e không phải là ở tất cả các cây bao trùm. Sau đó, G-e có một cây bao trùm,
vì vậy G - e được kết nối, và e không phải là một cây cầu.