In this project we explore three of

In this project we explore three of the many applications of calculus to baseball. The physical interactions of the game, especially the collision of ball and bat, are quite complex and their models are discussed in detail in a book by Robert Adair, The Physics of Baseball, 3d ed. (New York: HarperPerennial, 2002).
1. It may surprise you to learn that the collision of baseball and bat lasts only about
a thousandth of a second. Here we calculate the average force on the bat during
this collision by first computing the change in the ball’s momentum.
The of an object is the product of its mass and its velocity , that is,
Suppose an object, moving along a straight line, is acted on by a force that is a
continuous function of time.
(a) Show that the change in momentum over a time interval is equal to the integral
of from to ; that is, show that This integral is called the impulse of the force
over the time interval.
(b) A pitcher throws a 90-mi'h fastball to a batter, who hits a line drive directly
Back to the pitcher. The ball is in contact with the bat for 0.001 s and leaves the
bat with velocity 110 mi'h. A baseball weighs 5 oz and, in US Customary units,
its mass is measured in slugs: where .
(i) Find the change in the ball’s momentum.
(ii) Find the average force on the bat.
2. In this problem we calculate the work required for a pitcher to throw a 90-mi'h
fastball by first considering kinetic energy.
The kinetic energy of an object of mass and velocity is given by . Suppose
an object of mass , moving in a straight line, is acted on by a force that
depends on its position . According to Newton’s Second Law where and denote
the acceleration and velocity of the object.
(a) Show that the work done in moving the object from a position to a position is
Equal to the change in the object’s kinetic energy; that is, show that
where and are the velocities of the object at the positions and .
Hint: By the Chain Rule,
(b) How many foot-pounds of work does it take to throw a baseball at a speed of
90 mi'h?
3. (a) An outfielder fields a baseball 280 ft away from home plate and throws it
directly to the catcher with an initial velocity of 100 ft's. Assume that the
velocity of the ball after seconds satisfies the differential equation because of
air resistance. How long does it take for the ball to reach home plate? (Ignore
any vertical motion of the ball.)
(b) The manager of the team wonders whether the ball will reach home plate
sooner if it is relayed by an infielder. The shortstop can position himself
directly between the outfielder and home plate, catch the ball thrown by the
outfielder, turn, and throw the ball to the catcher with an initial velocity of 105
ft's. The manager clocks the relay time of the shortstop (catching, turning,
throwing) at half a second. How far from home plate should the shortstop
position himself to minimize the total time for the ball to reach home plate?
Should the manager encourage a direct throw or a relayed throw? What if the
shortstop can throw at 115 ft's?
; (c) For what throwing velocity of the shortstop does a relayed throw take the
same time as a direct throw?

Kết quả (Việt) 1:

Trong dự án này chúng tôi khám phá ba trong nhiều ứng dụng của giải tích để bóng chày. Sự tương tác vật lý của trò chơi, đặc biệt là sự va chạm của quả bóng và dơi, là khá phức tạp và các mô hình được thảo luận chi tiết trong một cuốn sách của Robert Adair, The vật lý bóng chày, 3d ed. (New York: HarperPerennial, 2002).1. nó có thể bất ngờ bạn để tìm hiểu rằng sự va chạm của bóng chày và dơi kéo dài chỉ về một 1000 của một giây. Ở đây chúng tôi tính toán các lực lượng trung bình trên cây gậy trong sự va chạm này bởi máy tính đầu tiên sự thay đổi trong đà của quả bóng. Các của một đối tượng là sản phẩm của khối lượng và vận tốc của nó, có nghĩa là, Giả sử một đối tượng, di chuyển dọc theo một đường thẳng, hoạt động trên một lực lượng đó là một hàm liên tục của thời gian.(a) cho thấy rằng sự thay đổi trong Đà trong một khoảng thời gian là tương đương với tích phân của từ đến; có nghĩa là, Hiển thị tích phân này được gọi là sự thúc đẩy lực lượng trong khoảng thời gian.(b) một pitcher ném một fastball 90-mi'h để một đập, người truy cập một ổ đĩa dòng trực tiếp Quay lại các pitcher. Bóng là tiếp xúc với bat 0,001 s và lá các Bat với tốc độ 110 mi'h. Một bóng chày nặng 5 oz và, tại đơn vị chúng tôi phong tục, khối lượng của nó được đo bằng slugs: nơi. (i) tìm thấy sự thay đổi trong đà của quả bóng. (ii) tìm thấy lực lượng trung bình trên bat.2. trong vấn đề này, chúng tôi tính toán các công việc cần thiết cho một pitcher ném 90 mi'h fastball bởi đầu tiên xem xét động năng. Năng lượng động học của một vật thể khối lượng và vận tốc được cho bởi. Giả sử một đối tượng của khối lượng, di chuyển trong một đường thẳng, hoạt động trên một lực lượng mà phụ thuộc vào vị trí của nó. Theo định luật 2 Newton nơi và biểu thị gia tốc và tốc độ của đối tượng. (a) cho thấy rằng việc thực hiện trong việc di chuyển đối tượng từ một vị trí vào một vị trí là Bằng sự thay đổi trong các năng lượng động học của đối tượng; đó là, cho thấy rằng nơi và là vận tốc của đối tượng tại các vị trí và. Gợi ý: bởi quy luật chuỗi, (b) bao nhiêu foot-pounds công việc hiện nó đi để ném một bóng chày ở tốc độ của 90 mi'h?3. (a) một outfielder lĩnh vực một bóng chày 280 ft ra khỏi tấm nhà và ném nó trực tiếp để bắt với một vận tốc ban đầu của 100 ft Cho rằng các tốc độ của quả bóng sau giây thỏa mãn phương trình vi phân vì sức cản không khí. Mất bao lâu cho bóng để đạt được tấm nhà? (Bỏ qua bất kỳ chuyển động theo chiều dọc của bóng.) (b) người quản lý của đội thắc mắc cho dù bóng sẽ đạt được tấm nhà sớm hơn nếu nó được chuyển tiếp bởi một infielder. Shortstop có thể vị trí mình trực tiếp giữa outfielder và tấm nhà, bắt bóng ném bởi các outfielder, lần lượt, và ném quả bóng để bắt với một vận tốc ban đầu tổng 105 ft Người quản lý đồng hồ thời gian chuyển tiếp của shortstop (đánh bắt, chuyển, ném) lúc nửa một thứ hai. Làm thế nào đến nay từ tấm nhà nên shortstop vị trí của mình để giảm thiểu thời gian tất cả các quả bóng để đạt được tấm nhà? Người quản lý nên khuyến khích một ném trực tiếp hoặc ném relayed? Nếu các shortstop có thể ném vào 115 ft?; (c) đối với những gì tốc độ ném của shortstop hiện một chuyển tiếp ném đi các cùng thời gian với một ném trực tiếp?

Kết quả (Việt) 2:

Trong dự án này, chúng tôi khám phá ba trong số rất nhiều các ứng dụng của các phép tính để bóng chày. Các tương tác vật lý của trò chơi, đặc biệt là sự va chạm của bóng và dơi, khá phức tạp và mô hình của họ sẽ được thảo luận chi tiết trong một cuốn sách của Robert Adair, Vật lý của bóng chày, 3d ed. (New York: HarperPerennial, 2002).
1. Nó có thể làm bạn ngạc nhiên khi biết rằng sự va chạm của bóng chày và dơi chỉ kéo dài khoảng
một phần nghìn của một giây. Dưới đây chúng tôi tính toán lực lượng bình quân trên bat trong
vụ va chạm này bằng cách đầu tiên tính toán sự thay đổi trong đà của quả bóng.
Các của một đối tượng là các sản phẩm của khối lượng của nó và vận tốc của nó, có nghĩa là,
Giả sử một đối tượng, di chuyển dọc theo một đường thẳng, là tác động bởi một lực lượng mà là một
hàm liên tục của thời gian.
(a) Cho thấy sự thay đổi trong đà trong một khoảng thời gian bằng việc tách rời
các từ để; có nghĩa là, cho thấy không thể thiếu này được gọi là sự thúc đẩy của các lực lượng
trong khoảng thời gian.
(b) Một pitcher ném một fastball 90-mi'h đến một đập, người truy cập một ổ đĩa trực tuyến
Quay lại bình. Bóng tiếp xúc với dơi cho 0,001 s và lá
dơi với vận tốc 110 mi'h. Một bóng chày nặng 5 oz, và trong các đơn vị Mỹ tục,
khối lượng của nó được đo bằng sên:. nơi
(i) Tìm sự thay đổi trong đà của quả bóng.
(ii) Tìm các lực lượng trung bình trên những con dơi.
2. Trong vấn đề này, chúng tôi tính toán các công việc cần thiết cho một bình để ném một 90-mi'h
fastball bởi lần đầu tiên xem xét động năng.
Động năng của một vật khối lượng và vận tốc được cho bởi. Giả sử
một vật có khối lượng, chuyển động theo một đường thẳng, chịu tác động của một lực lượng mà
phụ thuộc vào vị trí của nó. Theo Luật thứ hai của Newton ở đâu và biểu thị
sự tăng tốc và vận tốc của vật.
(a) Chứng minh rằng các công việc thực hiện trong việc di chuyển các đối tượng từ một vị trí cho một vị trí là
bình đẳng với sự thay đổi năng lượng động học của đối tượng; có nghĩa là, cho thấy
ở đâu và là vận tốc của các đối tượng tại các vị trí và.
Gợi ý: Bằng các Rule Chain,
(b) Có bao nhiêu chân-pounds công việc hiện nó đi để ném một quả bóng chày với tốc độ
90 mi'h ?
3. (A) Một outfielder các lĩnh vực bóng chày 280 mét từ tấm nhà và ném nó
trực tiếp đến catcher với một vận tốc ban đầu là 100 ft của. Giả sử rằng
vận tốc của quả bóng sau khi giây thỏa mãn phương trình khác biệt vì
sức cản không khí. Làm thế nào lâu cho quả bóng để đạt được tấm nhà? (Bỏ qua
bất kỳ chuyển động theo chiều dọc của bóng.)
(b) Người quản lý của đội bóng tự hỏi liệu sẽ đạt tấm nhà
sớm hơn nếu nó được chuyển tiếp bởi một infielder. Các shortstop có thể vị trí mình
trực tiếp giữa các outfielder và nhà tấm, bắt bóng ném bởi
outfielder, lần lượt, và ném bóng cho catcher với một vận tốc ban đầu của 105
ft của. Người quản lý đồng hồ thời gian tiếp sức của shortstop (bắt, quay,
ném) ở một nửa thứ hai. Làm thế nào xa nhà nên các tấm shortstop
vị trí chính mình để giảm thiểu tổng số thời gian cho bóng để đạt được tấm nhà?
có nên khuyến khích người quản lý một ném trực tiếp hoặc chuyển tiếp một ném? Điều gì nếu
shortstop có thể ném vào 115 ft của?
; (C) Đối với những gì ném vận tốc của shortstop không một ném chuyển tiếp lấy
thời gian giống như một ném trực tiếp?