For a given (externally generated)

For a given (externally generated) gravitational field, the tidal acceleration at a point with respect to a body is obtained by vectorially subtracting the gravitational acceleration at the center of the body (due to the given externally generated field) from the gravitational acceleration (due to the same field) at the given point. Correspondingly, the term tidal force is used to describe the forces due to tidal acceleration. Note that for these purposes the only gravitational field considered is the external one; the gravitational field of the body (as shown in the graphic) is not relevant. (In other words, the comparison is with the conditions at the given point as they would be if there were no externally generated field acting unequally at the given point and at the center of the reference body. The externally generated field is usually that produced by a perturbing third body, often the Sun or the Moon in the frequent example-cases of points on or above the Earth's surface in a geocentric reference frame.)

Tidal acceleration does not require rotation or orbiting bodies; for example, the body may be freefalling in a straight line under the influence of a gravitational field while still being influenced by (changing) tidal acceleration.

By Newton's law of universal gravitation and laws of motion, a body of mass m at distance R from the center of a sphere of mass M feels a force vec F_g,

vec F_g = - hat r ~ G ~ frac{M m}{R^2}
equivalent to an acceleration vec a_g,

vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2}
where hat r is a unit vector pointing from the body M to the body m (here, acceleration from m towards M has negative sign).

Consider now the acceleration due to the sphere of mass M experienced by a particle in the vicinity of the body of mass m. With R as the distance from the center of M to the center of m, let ∆r be the (relatively small) distance of the particle from the center of the body of mass m. For simplicity, distances are first considered only in the direction pointing towards or away from the sphere of mass M. If the body of mass m is itself a sphere of radius ∆r, then the new particle considered may be located on its surface, at a distance (R ± ∆r) from the centre of the sphere of mass M, and ∆r may be taken as positive where the particle's distance from M is greater than R. Leaving aside whatever gravitational acceleration may be experienced by the particle towards m on account of m's own mass, we have the acceleration on the particle due to gravitational force towards M as:

vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{(R pm Delta r)^2}
Pulling out the R2 term from the denominator gives:

vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2} ~ frac{1}{(1 pm Delta r / R)^2}
The Maclaurin series of 1/(1 pm x)^2 is 1 mp 2x + 3x^2 mp cdots which gives a series expansion of:

vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2} pm hat r ~ G ~ frac{2 M }{R^2} ~ frac{Delta r}{R} + cdots
The first term is the gravitational acceleration due to M at the center of the reference body m, i.e., at the point where Delta r is zero. This term does not affect the observed acceleration of particles on the surface of m because with respect to M, m (and everything on its surface) is in free fall. When the force on the far particle is subtracted from the force on the near particle, this first term cancels, as do all other even-order terms. The remaining (residual) terms represent the difference mentioned above and are tidal force (acceleration) terms. When ∆r is small compared to R, the terms after the first residual term are very small and can be neglected, giving the approximate tidal acceleration vec a_t(axial) for the distances ∆r considered, along the axis joining the centers of m and M:

vec a_t(axial) ~ approx ~ pm ~ hat r ~ 2 Delta r ~ G ~ frac{M}{R^3}
When calculated in this way for the case where ∆r is a distance along the axis joining the centers of m and M, vec a_t is directed outwards from to the center of m (where ∆r is zero).

Tidal accelerations can also be calculated away from the axis connecting the bodies m and M, requiring a vector calculation. In the plane perpendicular to that axis, the tidal acceleration is directed inwards (towards the center where ∆r is zero), and its magnitude is | vec a_t(axial) | /2 in linear approximation as in Figure 2.

The tidal accelerations at the surfaces of planets in the Solar System are generally very small. For example, the lunar tidal acceleration at the Earth's surface along the Moon-Earth axis is about 1.1 × 10−7 g, while the solar tidal acceleration at the Earth's surface along the Sun-Earth axis is about 0.52 × 10−7 g, where g is the gravitational acceleration at the Earth's surface. Hence the tide-raising force (acceleration) due to the Sun is about 45% of that due to the Moon.[9] The solar tidal acceleration at the Earth's surface was first given by Newton in the Principia.

Kết quả (Việt) 1:

Cho một lĩnh vực hấp dẫn nhất định (bên ngoài tạo ra), tăng tốc thủy triều ở một điểm đối với một cơ thể thu được bằng vectorially trừ tăng tốc hấp dẫn tại Trung tâm của cơ thể (do tạo ra bên ngoài trường nhất định) từ gia tốc hấp dẫn (do cùng một lãnh vực) tại thời điểm nhất định. Tương ứng, lực lượng thủy triều thuật ngữ được sử dụng để mô tả các lực lượng do thủy triều tăng tốc. Lưu ý rằng đối với những mục đích trường hấp dẫn chỉ coi là một bên ngoài; trường hấp dẫn của cơ thể (như minh hoạ trong hình) không phải là có liên quan. (Nói cách khác, so sánh là với các điều kiện tại điểm nhất định như họ sẽ có nếu có là không có lĩnh vực được tạo ra bên ngoài hành động unequally tại thời điểm nhất định và tại Trung tâm của các cơ quan tham khảo. Trường tạo ra bên ngoài thường là sản xuất bởi một cơ quan thứ ba perturbing, thường là mặt trời hoặc mặt trăng trong các ví dụ trường hợp thường xuyên của điểm trên hoặc ở trên bề mặt của trái đất trong một khung tham khảo địa tâm.)Thủy triều gia tốc không cần xoay hoặc quay quanh cơ quan; Ví dụ, cơ thể có thể là freefalling trong một đường thẳng dưới ảnh hưởng của một trường hấp dẫn trong khi vẫn còn bị ảnh hưởng bởi (thay đổi) gia tốc thủy triều.Bởi định luật của Newton về hấp dẫn phổ quát và định luật chuyển động, một cơ thể tích khối lượng m tại khoảng cách R từ Trung tâm của một hình cầu của khối lượng M cảm thấy một lực lượng vec F_g,vec F_g = - hat r ~ G ~ frac{M m} {R ^ 2}tương đương với một gia tốc vec a_g,vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2}nơi hat r là một vector đơn vị chỉ từ cơ thể M để cơ thể m (ở đây, tăng tốc từ m đối với M có dấu âm).Xem xét bây giờ tăng tốc do hình cầu của khối lượng M kinh nghiệm của một hạt trong vùng lân cận cơ thể của khối lượng m. Với R là khoảng cách từ Trung tâm M đến Trung tâm của m, cho ∆r là khoảng cách (tương đối nhỏ) của hạt từ Trung tâm của cơ thể của khối lượng m. Để đơn giản, khoảng cách đầu tiên được coi là chỉ theo hướng chỉ hướng tới hoặc từ lĩnh vực của khối lượng M. Nếu cơ thể của khối lượng m là chính nó một hình cầu bán kính ∆r, sau đó các hạt mới coi là có thể được đặt trên bề mặt của nó, ở khoảng cách (R ± ∆r) từ Trung tâm của hình cầu của khối lượng M, và ∆r có thể được dùng như là tích cực mà các hạt khoảng cách từ M là lớn hơn R. để lại sang một bên bất kỳ tăng tốc hấp dẫn có thể được kinh nghiệm của các hạt hướng tới m trên tên của m's sở hữu hàng loạt , chúng tôi có sự tăng tốc trên các hạt do lực hấp dẫn đối với M là:vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M} {(R pm Delta r) ^ 2}Kéo ra thuật ngữ R2 từ mẫu cung cấp cho:vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2} ~ frac{1} {(1 pm Delta r/R) ^ 2}Loạt Maclaurin 1 /(1 pm x) ^ 2 là 1 mp 2 x + 3 x ^ 2 mp cdots mở rộng loạt:vec a_g = - hat r ~ G ~ frac{M}{R^2} pm hat r ~ G ~ frac{2 M} {R ^ 2} ~ frac{Delta r} {R} + cdots Số hạng đầu tiên là sự tăng tốc hấp dẫn do M tại Trung tâm của tài liệu tham khảo cơ thể m, tức là, tại điểm mà ở đó Delta r zero. Thuật ngữ này không ảnh hưởng đến sự tăng tốc quan sát của hạt trên bề mặt của m bởi vì đối với M, m (và tất cả mọi thứ trên bề mặt của nó) là rơi tự do. Khi các lực lượng trên các hạt xa được trừ đi từ các lực lượng trên các hạt gần, nhiệm kỳ đầu tiên này, hủy bỏ, như làm tất cả khác thậm chí đặt hàng điều khoản. Các điều khoản còn lại (dư) đại diện cho sự khác biệt được đề cập ở trên và là lực lượng thủy triều (gia tốc) điều kiện. Khi ∆r là nhỏ so với R, các điều khoản sau khi số dư hạng đầu tiên là rất nhỏ và có thể được bỏ qua, cho tăng tốc thủy triều xấp xỉ vec a_t(axial) cho khoảng cách ∆r coi, dọc theo trục gia nhập trung tâm m và M:vec a_t(axial) ~ approx ~ pm ~ hat r ~ 2 Delta r ~ G ~ frac{M}{R^3} Khi tính toán theo cách này cho các trường hợp nơi ∆r là khoảng cách dọc theo trục gia nhập trung tâm m và M, vec a_t chuyển outwards từ đến Trung tâm của m (nơi ∆r là zero).Thủy triều tăng tốc cũng có thể được tính từ trục kết nối cơ quan m và M, yêu cầu một tính toán véc tơ. Trong mặt phẳng vuông góc với trục đó, sự tăng tốc thủy triều hướng vào (về phía Trung tâm nơi ∆r là zero), và độ lớn của nó là | vec a_t(axial) | / 2 trong tuyến tính xấp xỉ như trong hình 2.Tăng tốc thủy triều lúc các bề mặt của hành tinh trong hệ mặt trời thường rất nhỏ. Ví dụ, tăng tốc thủy triều âm lịch bề mặt của trái đất dọc theo trục trái đất mặt trăng là về cách 1.1 × 10−7 g, trong khi tăng tốc thủy triều năng lượng mặt trời bề mặt của trái đất dọc theo trục Sun-trái đất là khoảng 0,52 × 10−7 g, nơi g gia tốc hấp dẫn tại bề mặt trái đất. Do đó, lực lượng thủy triều nâng cao (gia tốc) do mặt trời là khoảng 45% số đó do mặt trăng. [9] gia tốc thủy triều năng lượng mặt trời tại bề mặt trái đất đầu tiên được đưa ra bởi Newton trong Principia các.