Very recent work studies how to dra

Very recent work studies how to draw series-parallel digraphs with as much symmetry as possible (Hong et al., 1998, 1999a).
An automorphism of an undirected graph is a permutation of the vertex set which preserves adjacency of vertices. For a directed graph G = (V, E), we will consider two kind of automorphisms. A direction preserving automor- phism is a permutation p of the vertex set V such that (u, v) ∈ E if and only if (p(u), p(v)) ∈ E, whereas in a direction reversing automorphism we require that (u, v) ∈ E if and only if (p(v), p(u)) ∈ E. The set of all automorphisms (direction preserving and reversing) forms the automorphism group of G.
In general, the problem of finding an automorphism group of a graph is isomorphism complete, i.e., as hard as testing whether two graphs are isomorphic. The exact complexity status of this problem is open, namely, it is neither known to be NP -complete nor are polynomial algorithms available.
In our context, we are only interested in those automorphisms which can be represented geometrically as a symmetry of an upward planar drawing. The corresponding groups are called upward planar automorphism groups. Based on earlier work of Manning (1990) and Lin (1992), Hong et al. show that only a few different automorphism groups occur for upward planar draw- ings. Examples are shown in Figure 3.8.

Lemma 3.8 (Hong et al. 1999a). An upward planar automorphism group of a series-paral lel digraph is either

– trivial, or
– {1, p} where p is either vertical, horizontal, or a rotation of 180 degrees,
or
– {1, p, q, r} where p is of type vertical, q of type horizontal, and r a rotation
of 180 degrees.

The detection of upward planar automorphisms involves the following steps:
1. Construct the canonical decomposition tree.
2. Check for existence of horizontal automorphisms.
3. Check for existence of vertical automorphisms.

Kết quả (Việt) 1:

Rất gần đây công việc nghiên cứu làm thế nào để vẽ chữ ghép loạt song song với đối xứng càng nhiều càng tốt (Hong et al., 1998, 1999a).Một automorphism của một đồ thị vô hướng là một hoán vị của bộ đỉnh bảo tồn kề của đỉnh. Cho một đồ thị hướng G = (V, E), chúng tôi sẽ xem xét hai loại automorphisms. Một hướng bảo quản automor-phism là một p hoán vị của đỉnh đặt V như vậy đó (u, v) ∈ E nếu và chỉ nếu (p(u), p(v)) ∈ E, trong khi theo một hướng đảo ngược automorphism chúng tôi yêu cầu rằng (u, v) ∈ E nếu và chỉ nếu (p(v), p(u)) ∈ E. Các thiết lập của tất cả automorphisms (hướng bảo quản và đảo ngược) tạo thành nhóm automorphism của G.Nói chung, vấn đề của finding một nhóm automorphism của một đồ thị là đẳng cấu hoàn toàn, nghĩa là, như cứng như thử nghiệm cho dù hai đồ thị là đẳng cấu. Tình trạng phức tạp chính xác của vấn đề này là mở, cụ thể là, nó cũng được biết đến là NP-hoàn thành và cũng không có thuật toán đa thức sẵn.Trong bối cảnh của chúng tôi, chúng tôi chỉ được quan tâm đến những automorphisms mà có thể được biểu diễn geometrically là một đối xứng của một trở lên bản vẽ hai chiều. Các nhóm tương ứng được gọi là lên trên hai chiều automorphism nhóm. Dựa trên các công trình trước đó của Manning (1990) và Lin (1992), Hong et al. Hiển thị rằng chỉ một vài different automorphism nhóm xảy ra cho lên trên vẽ-ings phẳng. Ví dụ được hiển thị trong hình 3.8.Bổ đề 3.8 (Hong et al. 1999a). Một trở lên phẳng automorphism nhóm của một digraph paral loạt lel là một trong hai-tầm thường, hoặc-{1, p} đó p là theo chiều dọc, ngang hoặc một xoay 180 độ,hoặc-{1, p, q, r} nơi p là loại dọc, q loại ngang và r một xoay180 độ.Phát hiện trở lên phẳng automorphisms liên quan đến các bước sau:1. xây dựng cây kinh điển phân hủy.2. kiểm tra sự tồn tại của ngang automorphisms.3. kiểm tra sự tồn tại của automorphisms dọc.

Kết quả (Việt) 2:

Nghiên cứu làm việc rất gần đây như thế nào để vẽ loạt song song chữ ghép với nhiều đối xứng càng tốt (Hong et al., 1998, 1999a).
Một automorphism của một đồ thị vô hướng là một hoán vị của tập đỉnh mà bảo tồn kề của đỉnh. Đối với một đồ thị có hướng G = (V, E), chúng ta sẽ xem xét hai loại tự đẳng cấu. Một hướng bảo tồn phism automor- là một hoán vị p của đỉnh bộ V như vậy mà (u, v) ∈ E nếu và chỉ nếu (p (u), p (v)) ∈ E, trong khi ở một hướng đảo chiều automorphism chúng tôi yêu cầu mà (u, v) ∈ E nếu và chỉ nếu (p (v), p (u)) ∈ E. Các thiết lập của tất cả các tự đẳng cấu (hướng bảo tồn và đảo chiều) tạo thành nhóm automorphism của G.
Nói chung, các vấn đề của fi nding một nhóm automorphism của một đồ thị là đẳng cấu hoàn chỉnh, tức là như cứng như kiểm tra xem hai đồ thị là đẳng cấu. Tình trạng phức tạp chính xác của vấn đề này là mở, cụ thể là, nó không phải là biết đến là NP -complete cũng không phải là thuật toán đa thức có sẵn.
Trong bối cảnh của chúng tôi, chúng tôi chỉ quan tâm đến những người tự đẳng mà có thể được biểu diễn hình học như một sự đối xứng của một phẳng trở lên vẽ. Các nhóm tương ứng được gọi là nhóm automorphism phẳng trở lên. Dựa trên việc trước đây của Manning (1990) và Lin (1992), Hong et al. cho thấy rằng chỉ có một vài nhóm erent automorphism di ff xảy ra cho lên ings phẳng draw-. Các ví dụ được thể hiện trong hình 3.8. Bổ đề 3.8 (Hong et al. 1999a). Một nhóm phẳng automorphism đi lên của một loạt-Paral lel digraph là một trong hai - tầm thường, hoặc - {1, p} trong đó p là một trong hai theo chiều dọc, ngang, hoặc một vòng quay 180 độ, hoặc - {1, p, q, r} trong đó p là loại thẳng đứng, q kiểu ngang, và xoay ra 180 độ. Việc phát hiện các tự đẳng cấu phẳng trở lên bao gồm các bước sau đây: 1. Xây dựng cây phân hủy theo giáo luật. 2. Kiểm tra sự tồn tại của tự đẳng ngang. 3. Kiểm tra sự tồn tại của tự đẳng cấu thẳng đứng.