6.1.2 The Newton–Raphson methodAn a

6.1.2 The Newton–Raphson method
An alternative to the method of bisection is to compute a sequence {sn}∞
n=1 generated by
the Newton–Raphson method:
sn+1 = sn − φ(sn)/φ′
(sn) , (101)
with the starting value s0 chosen arbitrarily in a sufficiently small interval surrounding the
root. For example, a suitable s0 may be found by performing a few steps of the method of
63
bisection. If s0 is a sufficiently good approximation to the required root of (100) the theory
of the Newton–Raphson method ensures that, in general, we have quadratic convergence
of the sequence {sn}∞
n=0 to the root s.
From the point of view of implementing (101) the first question that we need to clarify
is how one can compute compute φ
′
(sn). To do so, we introduce the new dependent
variables
ξ(x; s) = ∂u(x; s)
∂s , η(x; s) = ∂v(x; s)
∂s
and differentiate the initial value problem (99) with respect to s to obtain a second initial
value problem:
∂ξ(x; s)
∂x = η(x; s) , ξ(a; s) = 0 ,
(102)
∂η(x; s)
∂x = p(x; s)ξ(x; s) + q(x; s)η(x; s) , η(a; s) = 1 ,
where
p(x; s) = ∂f(x, u(x; s), v(x; s))
∂u ,
(103)
q(x; s) = ∂f(x, u(x; s), v(x; s))
∂v .
If we assign the value sn to s, n ≥ 0, then the initial value problem (99), (102) can be solved
by a predictor-corrector method or a Runge–Kutta method on the interval [a, b]. Thus we
obtain u(b; sn) or, more precisely, an approximation to u(b; sn) from which we can calculate
φ(sn) = u(b; sn)−B; in addition, we obtain an approximation to ξ(b; sn) = φ
′
(sn). Having
calculated φ(sn) and φ
′
(sn), we obtain the next Newton–Raphson iterate sn+1 from (101).
The process is then repeated until the iterates sn settle to a fixed number of digits.
Two remarks are in order:
1) According to (103), the initial value problems (99) and (102) are coupled and therefore
they must be solved simultaneously over the interval [a, b], with s set to sn,
n = 0, 1, 2, . . .;
2) The coupled initial value problem (99), (102) may be very sensitive to perturbations
of the initial guess s0; a bad initial guess of s0 may result in a sequence of Newton–
Raphson iterates {sn}∞
n=0 which does not converge to the root s.
The latter difficulty may be overcome by using the multiple shooting method
which we describe below. First, however, we show how the simple shooting method may
be extended to the nonlinear two-point boundary value problem
y
′ = f(x, y) , a < x < b , g(y(a), y(b)) = 0 , (104)
where y, f and g are m-component vector functions of their respective arguments. In the
simple shooting method the boundary value problem (104) is transformed into the initial
value problem
u
′
(x; s) = f(x, u(x; s)) , a < x < b , u(a; s) = s , (105)

Kết quả (Việt) 1:

6.1.2 phương pháp Newton-Raphson theMột thay thế cho phương pháp bisection là để tính toán một ∞ chuỗi {sn}n = 1 được tạo ra bởiphương pháp Newton-Raphson:SN + 1 = sn − φ (sn) / φ′(sn), (101)với giá trị khởi đầu s0 chọn tùy tiện trong một khoảng thời gian đủ nhỏ xung quanh cácgốc. Ví dụ, s0 phù hợp có thể được tìm thấy bằng cách thực hiện một vài bước của phương pháp63bisection. Nếu s0 là một xấp xỉ tốt đủ để các gốc yêu cầu (100) lý thuyếtcủa Newton-Raphson phương pháp đảm bảo rằng, nói chung, chúng tôi có bậc hai hội tụcủa ∞ chuỗi {sn}n = 0 s gốc.Từ điểm nhìn của việc thực hiện các câu hỏi đầu tiên chúng ta cần phải làm rõ (101)là như thế nào một trong những có thể tính toán tính φ′(sn). Để làm như vậy, chúng tôi giới thiệu phụ thuộc mớibiếnΞ (x; s) = ∂u (x; s)∂s, η (x; s) = ∂v (x; s)∂svà phân biệt vấn đề giá trị ban đầu (99) đối với để có được một ban đầu thứ hai của bạnvấn đề giá trị:∂ξ (x; s)∂x = η (x; s), ξ(a; s) = 0,(102)∂η (x; s)∂x = p (x; s) ξ (x; s) + q (x; s) η (x; s), η(a; s) = 1,nơip (x; s) = ∂f (x, u (x; s) v (x; s))∂u,(103)q (x; s) = ∂f (x, u (x; s) v (x; s))∂v.Nếu chúng ta gán giá trị sn s, n ≥ 0, thì (99), giá trị ban đầu vấn đề (102) có thể được giải quyếtbằng một phương pháp dự đoán-corrector hoặc một phương pháp Runge-Kutta trên đoạn [a, b]. Do đó chúng tôiLấy u (b; sn), hoặc chính xác hơn, là một xấp xỉ cho bạn (b; sn) từ đó chúng ta có thể tính toánΦ(SN) = −B u (b; sn); Ngoài ra, chúng tôi có được một xấp xỉ với ξ (b; sn) = φ′(sn). Cótính φ(sn) và φ′(sn), chúng ta được tiếp theo Newton-Raphson iterate sn + 1 từ (101).Quá trình này sau đó lặp đi lặp lại cho đến khi các iterates sn giải quyết một số chữ số cố định.Hai nhận xét là theo thứ tự:1) theo để (103), vấn đề giá trị ban đầu (99) và (102) được kết hợp và do đóhọ phải được giải quyết đồng thời trong khoảng thời gian [a, b], với s đặt sn,n = 0, 1, 2,...;2) vấn đề cùng giá trị ban đầu (99), (102) có thể rất nhạy cảm với nhiễu loạncủa s0 đoán ban đầu; đoán tình trạng ban đầu của s0 có thể gây ra một chuỗi các Newton-Raphson iterates {sn} ∞n = 0 mà không hội tụ về s gốc.Những khó khăn sau này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng nhiều phương pháp chụpmà chúng tôi mô tả dưới đây. Đầu tiên, Tuy nhiên, chúng tôi hiển thị như thế nào có thể phương pháp chụp ảnh đơn giảnđược mở rộng cho vấn đề giá trị hai điểm phi tuyến biên giớiy′ = f (x, y), một < x < b, g(y(a), y(b)) = 0, (104)nơi y, f và g là véc tơ m-thành phần chức năng của lập luận tương ứng của họ. Trong cácphương pháp chụp đơn giản vấn đề giá trị biên (104) được chuyển thành Ban đầu của bạnvấn đề giá trịu′(x; s) = f (x, u (x; s)), một < x < b, u(a; s) = s, (105)

Kết quả (Việt) 2:

6.1.2 Các phương pháp Newton-Raphson
Một thay thế cho các phương pháp chia làm hai đoạn là để tính toán một chuỗi {sn} ∞
n = 1 được tạo ra bởi
các phương pháp Newton-Raphson:
sn + 1 = sn - φ (sn) / φ '
(sn ), (101)
có giá trị bắt đầu s0 chọn tùy tiện trong một khoảng thời gian đủ nhỏ xung quanh
gốc. Ví dụ, một s0 phù hợp có thể được tìm thấy bằng cách thực hiện một vài bước của phương pháp
63
chia làm hai đoạn. Nếu s0 là một xấp xỉ đủ tốt để các gốc yêu cầu (100) lý thuyết
của phương pháp Newton-Raphson đảm bảo rằng, nói chung, chúng tôi có hội tụ bậc hai
của dãy {sn} ∞
n = 0 vào thư mục gốc của.
Từ điểm của việc thực hiện (101) câu hỏi đầu tiên mà chúng ta cần phải làm rõ
là như thế nào người ta có thể tính toán tính toán φ
'
(sn). Để làm như vậy, chúng tôi giới thiệu các thuộc mới
biến
ξ (x; s) = ∂u (x; s)
∂s, η (x; s) = ∂v (x; s)
∂s
và phân biệt các vấn đề giá trị ban đầu ( 99) đối với s để có được một khởi đầu thứ hai với
vấn đề giá trị:
∂ξ (x; s)
∂x = η (x; s), ξ (a; s) = 0,
(102)
∂η (x; s)
∂x = p (x; s) ξ (x; s) + q (x; s) η (x; s), η (a; s) = 1,
nơi
p (x; s) = ∂f (x , u (x; s), v (x; s))
∂u,
(103)
q (x; s) = ∂f (x, u (x; s), v (x; s))
∂v.
Nếu chúng ta gán giá trị sn cho s, n ≥ 0, thì vấn đề ban đầu giá trị (99), (102) có thể được giải quyết
bằng một phương pháp dự báo-sửa chửa hoặc một phương pháp Runge-Kutta trên đoạn [a, b]. Như vậy chúng ta
có được u (b; sn) hoặc chính xác hơn, một xấp xỉ với u (b; sn) từ đó chúng ta có thể tính toán
φ (sn) = u (b; sn) -B; ngoài ra, chúng ta có được một xấp xỉ để Giữ (b; sn) = φ
'
(sn). Có
φ tính (sn) và φ
'
(sn), chúng ta có được sau Newton-Raphson lặp sn + 1 từ (101).
Quá trình này sau đó được lặp đi lặp lại cho đến khi lặp SN giải quyết cho một số cố định của các chữ số.
Hai nhận xét là trong thứ tự:
1) Theo (103), các vấn đề về giá trị ban đầu (99) và (102) đang cùng và do đó
họ phải được giải quyết đồng thời trên đoạn [a, b], với s thiết lập để sn,
n = 0, 1 , 2,. . .;
2) Vấn đề kết ban đầu giá trị (99), (102) có thể rất nhạy cảm với các nhiễu loạn
của s0 đoán ban đầu; một đoán ban đầu xấu của s0 có thể dẫn đến một chuỗi các Newton-
Raphson lặp {sn} ∞
n = 0 mà không hội tụ vào thư mục gốc của.
Khó khăn thứ hai có thể được khắc phục bằng cách sử dụng phương pháp chụp nhiều
mà chúng tôi mô tả dưới đây. Đầu tiên, tuy nhiên, chúng ta thấy làm thế nào các phương pháp chụp đơn giản có thể
được mở rộng đến các phi tuyến hai điểm giá trị ranh giới vấn đề
y
'= f (x, y), một <x <b, g (y (a), y (b) ) = 0, (104)
trong đó y, f và g là các hàm vector m-thành phần của các đối số tương ứng của họ. Trong
phương pháp chụp đơn giản vấn đề giá trị biên (104) được chuyển thành ban đầu
vấn đề giá trị
u
'
(x; s) = f (x, u (x; s)), một <x <b, u (a; s ) = s, (105)