(b) Using the spectral decompositio

(b) Using the spectral decomposition method.
I
cos t sin t
Am, eA' =e-'
-sin t cos t
'.
Consider the matrix A in Prob.
I
7.69. Find e-A' and show that eWA' = [eA']-
Am. e-At=e
sin t cos t
Find eA' for
(a) Using the diagonalization method.
(b) Using the Laplace transform method.
Consider the network in Prob. 7.65 (Fig. 7.26). Find u,(t) if x(t) = u(t) under an initially
relaxed condition.
Am. v,(t)= $0 +e-'sint -e-'cost), t>O
Using the state space method, solve the linear differentia! equation
+ +
yV(t) 3y1(t) 2y(t) = 0
with the initial conditions y(O) = 0, yl(0) = 1.
Am. y(t) e-' - e-", t >
= 0
As in the discrete-time case, controllability and observability of a continuous-time LTI system
may be investigated by diagonalizing the system matrix A. A system with state space representa-
tion
where A is a diagonal matrix, is controllable if the vector b has no zero elements and is
observable if the vector C has no zero elements. Consider the continuous-time system in Prob.
7.50.
(a) Find a new state space representation of the system by diagonalizing the system matrix A.
(b) Is the system controllable?
(c) IS the system observable?
[ -A
Am (a) ir(t)= +
;]*(I) [;]x(t)
-
y(t) = [2 llv(t)
(b) The system is not controllable.
(c) The system is observable.

Kết quả (Việt) 1:

(b) bằng cách sử dụng phương pháp phân tích quang phổ. Tôi vì tội lỗi t t Là, eA' = e-' -sin t cos t '. Xem xét ma trận A ở Prob. Tôi 7,69. Tìm e-A' và hiển thị đó eWA' = [eA']- Mang theo e-tại = e tội lỗi t vì t Tìm eA' cho (a) bằng cách sử dụng phương pháp diagonalization. (b) bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Laplace. Xem xét mạng trong Prob. 7,65 (hình 7,26). Tìm u,(t) nếu x(t) = u(t) dưới một ban đầu điều kiện thoải mái. Trái v,(t) = $0 + e-'sint - e-' chi phí), t > O Sử dụng phương pháp space bang, giải quyết differentia tuyến tính! phương trình + + yV(t) 3y1(t) 2y(t) = 0 với điều kiện ban đầu y(O) = 0, yl(0) = 1. Trái y(t) e-' - e-", t > = 0 Như trong trường hợp thời gian rời rạc, điều khiển và tính của một hệ thống LTI thời gian liên tục có thể được điều tra bởi diagonalizing ma trận hệ thống A. Một hệ thống với nhà nước không gian representa- tion trong trường hợp A là ma trận đường chéo, là điều khiển nếu b véc tơ đã không có yếu tố zero và là quan sát nếu vector C đã không có yếu tố không. Xem xét hệ thống thời gian liên tục trong Prob. 7,50. (a) tìm một đại diện space nhà nước mới của hệ thống của diagonalizing ma trận hệ thống A. (b) là hệ thống kiểm soát? (c) IS quan sát hệ thống? [- A Là ir(t) (a) = + ;] *(I) [;] x(t) - y(t) = [2 llv(t) (b) hệ thống là không thể điều khiển. (c) hệ thống là quan sát.

Kết quả (Việt) 2:

(B) Sử dụng các phương pháp phân hủy quang phổ.
Tôi
cos t sin t
Am, Ea '= e-'
-sin cos t t
'.
Hãy xem xét các ma trận A trong Prob.
Tôi
7.69. Tìm Ea 'và cho thấy rằng Ewa' = [EA] -
Am. e-At = e
sin t cos t
Tìm Ea 'cho
(a) Sử dụng phương pháp diagonalization.
(b) Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace.
Hãy xem xét các mạng trong Prob. 7,65 (Fig. 7.26). Tìm u, (t) nếu x (t) = u (t) theo một bước đầu
tình trạng thoải mái.
Am. v, (t) = 0 $ + e-'sint -e-'cost), t> O
Sử dụng các phương pháp không gian trạng thái, giải quyết differentia tuyến tính! phương trình
+ +
YV (t) 3y1 (t) 2y (t) = 0
với các điều kiện ban đầu y (O) = 0, YL (0) = 1.
Am. y (t) e '- điện tử ", t>
= 0
Như trong thời gian rời rạc trường hợp, kiểm soát và khả năng quan sát của một thời gian liên tục hệ thống LTI
có thể được điều tra bởi diagonalizing hệ thống ma trận A. Một hệ thống với không gian trạng thái representa -
tion
trong đó A là một ma trận đường chéo, có thể kiểm soát nếu vector b không có các yếu tố không và là
quan sát nếu vector C không có các yếu tố không xem xét các hệ thống liên tục thời gian trong Prob..
7.50.
(a) Tìm một không gian trạng thái mới đại diện của hệ thống bằng cách diagonalizing hệ thống ma trận A.
(b) Có hệ thống kiểm soát?
(c) IS hệ thống quan sát được?
[-A
Am (a) ir (t) = +
;] * (I) [;] x (t)
-
y (t) = [2 Marketin (t)
. (b) Hệ thống này là không thể kiểm soát được
(c) Hệ thống có thể quan sát được.