In the final stage, when r=0, we se

In the final stage, when r=0, we see that the "final b" must divide the final a. Go backwards along the string of equations (a=q·b+r), and you will see that at each step, the "final b" divides each of the parts of the equation. Therefore the "final b" must be a divisor of both of the initial a and initial b.

Now look at the first equation. In the equation a=q·b+r, the GCD divides both a and b and therefore must divide r as well (because a-q·r is a multiple of the GCD). Now carry this observation through all of the equations, forward. The GCD must divide two of the three pieces in all of the equations, and thus must divide the third. Therefore, the GCD also divides the "final b". So the "final b" divides both a and b, and is itself a multiple of the GCD. Well, the GCD is the greatest such divisor, and therefore the "final b" must be equal to the GCD of the initial values.

Kết quả (Việt) 1:

Trong giai đoạn cuối cùng, khi = 0, chúng ta thấy rằng "cuối cùng b" phải phân chia cuối cùng một. Đi về phía sau dọc theo chuỗi phương trình (một = q·b + r), và bạn sẽ thấy rằng tại mỗi bước, "cuối cùng b" phân chia mỗi người trong số những phần của phương trình. Do đó "cuối cùng b" phải có một ước số của cả hai ban đầu một và b ban đầu.Bây giờ nhìn vào phương trình đầu tiên. Trong phương trình một = q·b + r, sự phân chia ƯCLN cả một và b và do đó phải chia r là tốt (vì một q·r là bội số của ƯCLN). Bây giờ thực hiện quan sát này thông qua tất cả các phương trình, về phía trước. ƯCLN phải chia hai phần ba trong tất cả các phương trình, và do đó phải phân chia thứ ba. Vì vậy, ƯCLN cũng phân chia "cuối cùng b". Vì vậy, "cuối cùng b" chia cả hai một và b, và chính nó là một nhiều của ƯCLN. Vâng, ƯCLN là lớn nhất ước như vậy, và do đó là "cuối cùng b" phải bằng ƯCLN của các giá trị ban đầu.

Kết quả (Việt) 2:

Trong giai đoạn cuối cùng, khi r = 0, chúng ta thấy rằng "cuối cùng b" phải phân chia thức một. Đi ngược dọc theo chuỗi của phương trình (a = q · b + r), và bạn sẽ thấy rằng tại mỗi bước, "cuối cùng b" chia từng phần của phương trình. Do đó, "cuối cùng b" phải là một ước của cả hai một ban đầu và ban đầu b.

Bây giờ nhìn vào phương trình đầu tiên. Trong phương trình a = q · b + r, GCD chia cả a và b và do đó phải chia r là tốt (vì aq · r là một bội số của GCD). Bây giờ thực sự quan sát này thông qua tất cả các phương trình, về phía trước. GCD phải chia hai trong ba miếng trong tất cả các phương trình, và do đó phải phân chia thứ ba. Do đó, GCD cũng chia "b cuối cùng". Vì vậy, "cuối cùng b" chia cả a và b, và chính nó là một bội số của GCD. Vâng, GCD là ước lớn như vậy, và do đó "thức b" phải bằng GCD của các giá trị ban đầu.