Miller indices form a notation syst

Miller indices form a notation system in crystallography for planes in crystal (Bravais) lattices.

In particular, a family of lattice planes is determined by three integers h, k, and ℓ, the Miller indices. They are written (hkℓ), and denote the family of planes orthogonal to {displaystyle hmathbf {b_{1}} +kmathbf {b_{2}} +ell mathbf {b_{3}} } h{mathbf {b_{1}}}+k{mathbf {b_{2}}}+ell {mathbf {b_{3}}}, where {displaystyle mathbf {b_{i}} } {mathbf {b_{i}}} are the basis of the reciprocal lattice vectors. (Note that the plane is not always orthogonal to the linear combination of direct lattice vectors {displaystyle hmathbf {a_{1}} +kmathbf {a_{2}} +ell mathbf {a_{3}} } h{mathbf {a_{1}}}+k{mathbf {a_{2}}}+ell {mathbf {a_{3}}} because the reciprocal lattice vectors need not be mutually orthogonal.) By convention, negative integers are written with a bar, as in 3 for −3. The integers are usually written in lowest terms, i.e. their greatest common divisor should be 1.

There are also several related notations:[1]

the notation {hkℓ} denotes the set of all planes that are equivalent to (hkℓ) by the symmetry of the lattice.
In the context of crystal directions (not planes), the corresponding notations are:

[hkℓ], with square instead of round brackets, denotes a direction in the basis of the direct lattice vectors instead of the reciprocal lattice; and
similarly, the notation denotes the set of all directions that are equivalent to [hkℓ] by symmetry.
Miller indices were introduced in 1839 by the British mineralogist William Hallowes Miller. The method was also historically known as the Millerian system, and the indices as Millerian,[2] although this is now rare.

The Miller indices are defined with respect to any choice of unit cell and not only with respect to primitive basis vectors, as is sometimes stated.

Contents [hide]
1 Definition
2 Case of cubic structures
3 Case of hexagonal and rhombohedral structures
4 Crystallographic planes and directions
5 Integer vs. irrational Miller indices: Lattice planes and quasicrystals
6 See also
7 References
8 External links
Definition[edit]

Examples of determining indices for a plane using intercepts with axes; left (111), right (221)
There are two equivalent ways to define the meaning of the Miller indices:[1] via a point in the reciprocal lattice, or as the inverse intercepts along the lattice vectors. Both definitions are given below. In either case, one needs to choose the three lattice vectors a1, a2, and a3 that define the unit cell (note that the conventional unit cell may be larger than the primitive cell of the Bravais lattice, as the examples below illustrate). Given these, the three primitive reciprocal lattice vectors are also determined (denoted b1, b2, and b3).

Then, given the three Miller indices h, k, ℓ, (hkℓ) denotes planes orthogonal to the reciprocal lattice vector:

{displaystyle mathbf {g} _{hkell }=hmathbf {b} _{1}+kmathbf {b} _{2}+ell mathbf {b} _{3}.} mathbf{g}_{hkell} = h mathbf{b}_1 + k mathbf{b}_2 + ell mathbf{b}_3 .
That is, (hkℓ) simply indicates a normal to the planes in the basis of the primitive reciprocal lattice vectors. Because the coordinates are integers, this normal is itself always a reciprocal lattice vector. The requirement of lowest terms means that it is the shortest reciprocal lattice vector in the given direction.

Equivalently, (hkℓ) denotes a plane that intercepts the three points a1/h, a2/k, and a3/ℓ, or some multiple thereof. That is, the Miller indices are proportional to the inverses of the intercepts of the plane, in the basis of the lattice vectors. If one of the indices is zero, it means that the planes do not intersect that axis (the intercept is "at infinity").

Considering only (hkℓ) planes intersecting one or more lattice points (the lattice planes), the perpendicular distance d between adjacent lattice planes is related to the (shortest) reciprocal lattice vector orthogonal to the planes by the formula: {displaystyle d=2pi /|mathbf {g} _{hkell }|} d = 2pi / |mathbf{g}_{h k ell}|.[1]

The related notation [hkℓ] denotes the direction:

{displaystyle hmathbf {a} _{1}+kmathbf {a} _{2}+ell mathbf {a} _{3}.} h mathbf{a}_1 + k mathbf{a}_2 + ell mathbf{a}_3 .
That is, it uses the direct lattice basis instead of the reciprocal lattice. Note that [hkℓ] is not generally normal to the (hkℓ) planes, except in a cubic lattice as described below.

Case of cubic structures[edit]
For the special case of simple cubic crystals, the lattice vectors are orthogonal and of equal length (usually denoted a), as are those of the reciprocal lattice. Thus, in this common case, the Miller indices (hkℓ) and [hkℓ] both simply denote normals/directions in Cartesian coordinates.

For cubic crystals with lattice constant a, the spacing d between adjacent (hkℓ) lattice planes is (from above)

{displaystyle d_{hkell }={frac {a}{sqrt {h

Kết quả (Việt) 1:

Chỉ số Miller tạo thành một hệ thống ký hiệu trong tinh thể học cho chiếc máy bay trong lưới tinh thể (Bravais).Đặc biệt, một gia đình máy bay lưới được xác định bởi ba số nguyên h k, ℓ, và chỉ số Miller. Họ đang viết (hkℓ), và biểu thị gia đình máy bay trực giao với {displaystyle hmathbf {b_ {1}} + kmathbf {b_ {2}} + ell mathbf {b_ {3}}} h {mathbf {b_ {1}}} + k {mathbf {b_ {2}}} + ell {mathbf {b_ {3}}}, {displaystyle mathbf {b_ {i}}} {mathbf {b_ {i}}} là cơ sở của vectơ lưới tình. (Lưu ý rằng máy bay không phải là luôn luôn vuông góc với tổ hợp tuyến tính của vectơ lưới trực tiếp {displaystyle hmathbf {a_ {1}} + kmathbf {a_ {2}} + ell mathbf {a_ {3}}} h {mathbf {a_ {1}}} + k {mathbf {a_ {2}}} + ell {mathbf {a_ {3}}} vì các vectơ lưới tình không cần phải hai bên trực giao.) Theo quy ước, nguyên âm được viết với một quầy bar, như trong 3 cho −3. Các số nguyên được viết trong điều kiện thấp nhất, tức là ước số chung lớn nhất của họ nên là 1.Cũng có rất nhiều liên quan đến tả: [1]ký hiệu {hkℓ} là tập của tất cả các máy bay là tương đương với (hkℓ) bởi các đối xứng của mạng.Trong bối cảnh các tinh thể hướng dẫn (không máy bay), tả tương ứng là:[hkℓ], với hình vuông thay vì chân đế tròn, biểu thị một hướng trong cơ sở của vectơ lưới trực tiếp thay vì lưới tình; vàtương tự, các ký hiệu biểu thị các thiết lập của tất cả các hướng là tương đương với [hkℓ] bởi đối xứng.Chỉ số Miller đã được giới thiệu vào năm 1839 bởi mineralogist người Anh William Hallowes Miller. Các phương pháp trong lịch sử được biết đến như Millerian và các chỉ số như Millerian, [2] mặc dù điều này bây giờ là hiếm.Chỉ số Miller được xác định đối với bất kỳ sự lựa chọn của đơn vị di động và không chỉ đối với cơ sở nguyên thủy vectơ, như đôi khi đã nêu.Nội dung [hide] 1 định nghĩa2 trường hợp của các cấu trúc khối3 trường hợp của cấu trúc lục giác và theo4 crystallographic máy bay và hướng dẫnCác số nguyên 5 so với chỉ số Miller không hợp lý: lưới máy bay và quasicrystals6 Xem thêm7 tham khảo8 liên kết ngoàiĐịnh nghĩa [sửa]Ví dụ về việc xác định chỉ số cho một chiếc máy bay sử dụng chặn với trục; bên trái (111), ngay (221)Có hai cách tương đương để xác định ý nghĩa của các chỉ số Miller: [1] thông qua một điểm trong lưới tình, hoặc như chặn ngược dọc theo lưới vectơ. Cả hai định nghĩa được đưa ra dưới đây. Trong cả hai trường hợp, một nhu cầu để lựa chọn lưới ba vectơ a1, a2 và a3 xác định đơn vị di động (lưu ý rằng các tế bào thông thường đơn vị có thể lớn hơn so với các tế bào nguyên thủy của lưới Bravais, như ví dụ dưới đây minh họa). Do đó, ba nguyên thủy tình lưới vectơ cũng xác định (ký hiệu là b1, b2 và b3).Sau đó, đưa ra các chỉ số Miller h, k, ℓ, là bắt (hkℓ) máy bay trực giao của lưới tình vector:{displaystyle mathbf {g} _ {hkell} = hmathbf {b} _ {1} kmathbf {b} _ {2} + ell mathbf {b} _ {3}.} mathbf{g}_{hkell} = h mathbf{b}_1 + k mathbf{b}_2 + ell mathbf{b}_3.Đó là, (hkℓ) chỉ đơn giản là chỉ ra một bình thường đến những chiếc máy bay trong cơ sở của vectơ lưới tình nguyên thủy. Bởi vì các tọa độ nguyên, bình thường này chính nó luôn luôn là một vector lưới tình. Các yêu cầu của điều khoản thấp nhất có nghĩa là các véc tơ lưới tình ngắn nhất theo một hướng nhất định.Tương đương, (hkℓ) là một kiểu máy bay chặn ba điểm a1/h, a2/k, và a3/ℓ hoặc một số nhiều đó. Có nghĩa là, chỉ số Miller là tỷ lệ thuận với ngược chặn máy bay, trong cơ sở của lưới vectơ. Nếu một trong các chỉ số là 0, có nghĩa là những chiếc máy bay không giao nhau mà trục (đánh chặn là "vô cực").Xem xét chỉ (hkℓ) máy bay giao nhau một hay nhiều lưới điểm (máy bay lưới), vuông góc khoảng cách d giữa lưới bên cạnh máy bay có liên quan đến các véc tơ lưới tình (ngắn) vuông góc với những chiếc máy bay theo công thức: {displaystyle d = 2pi / | mathbf {g} _ {hkell} |} d = 2pi / | mathbf{g}_{h k ell}|. [1]Các ký hiệu có liên quan [hkℓ] biểu thị sự hướng dẫn:{displaystyle hmathbf {một} _ {1} + kmathbf {một} _ {2} + ell mathbf {một} _ {3}} h mathbf{a}_1 + k mathbf{a}_2 + ell mathbf{a}_3.Có nghĩa là, nó sử dụng cơ sở lưới trực tiếp thay vì lưới tình. Lưu ý rằng [hkℓ] không thường bình thường với những chiếc máy bay (hkℓ), ngoại trừ trong một lưới khối như mô tả dưới đây.Trường hợp của khối cấu trúc [sửa]Đối với trường hợp đặc biệt của các tinh thể khối đơn giản, vectơ lưới được vuông góc và độ dài bằng nhau (thường được ký hiệu là một), như những người của lưới tình. Vì vậy, trong trường hợp này phổ biến, các chỉ số Miller (hkℓ) và [hkℓ] cả hai đơn giản biểu thị normals/hướng trong hệ tọa độ Descartes.Cho khối tinh thể với hằng số lưới a, khoảng cách d giữa liền kề (hkℓ) lưới máy bay là (từ phía trên){displaystyle d_ {hkell} = {frac {một} {sqrt {h

Kết quả (Việt) 2:

Miller chỉ số hình thành một hệ thống ký hiệu trong tinh thể cho máy bay trong tinh thể (Bravais) Lưới.

Đặc biệt, một gia đình của các mặt phẳng lưới được xác định bởi ba số nguyên h, k, và ℓ, Miller chỉ số. Chúng được viết (hkℓ), và biểu thị các gia đình của các máy bay trực giao với { displaystyle h mathbf {b_ {1}} + k mathbf {b_ {2}} + ell mathbf {b_ {3}}} h { mathbf {b_ {1}}} + k { mathbf {b_ {2}}} + ell { mathbf {b_ {3}}}, trong đó { displaystyle mathbf {b_ {i}}} { mathbf {b_ {i}}} là cơ sở của các vectơ mạng đảo. (Lưu ý rằng các máy bay không phải là luôn luôn trực giao với sự kết hợp tuyến tính của các vectơ lưới trực tiếp { displaystyle h mathbf {A_ {1}} + k mathbf {A_ {2}} + ell mathbf {A_ {3}} } h { mathbf {A_ {1}}} + k { mathbf {A_ {2}}} + ell { mathbf {A_ {3}}} vì các vectơ mạng đảo không cần phải trực giao lẫn nhau.) Bằng quy ước, số nguyên âm được viết với một quầy bar, như trong 3 cho -3. Các số nguyên thường được viết về thấp nhất, tức là ước số chung lớn nhất của họ là 1.

Còn có một số ký hiệu liên quan: [1]

các ký hiệu {hkℓ} là tập tất cả các máy bay đó là tương đương với (hkℓ) do tính đối xứng của . lưới
trong bối cảnh hướng tinh thể (không phải máy bay), các ký hiệu tương ứng là:

[hkℓ], với hình vuông thay vì dấu ngoặc tròn, biểu thị một hướng trong các cơ sở của các vectơ lưới trực tiếp thay vì của mạng đảo; và
tương tự như vậy, các ký hiệulà tập tất cả các hướng mà là tương đương với [hkℓ] bởi đối xứng.
Miller chỉ số đã được giới thiệu vào năm 1839 bởi các khoáng vật học người Anh William Hallowes Miller. Phương pháp này cũng đã được lịch sử gọi là hệ thống Millerian, và các chỉ số như Millerian, [2] mặc dù điều này là hiện nay hiếm.

Các chỉ số Miller được quy định đối với bất kỳ sự lựa chọn của các tế bào đơn vị và không chỉ đối với các vector cơ sở nguyên thủy, như với đôi khi được tuyên bố.

Mục lục [ẩn]
1 Định nghĩa
2 Trường hợp của cấu trúc khối
3 Trường hợp của cấu trúc hình lục giác và rhombohedral
4 máy bay tinh thể và hướng
5 Integer so với chỉ số Miller chưa hợp lý: máy bay lưới và giả tinh thể
6 Xem thêm
7 Tham khảo
8 ngoài liên kết
nghĩa [sửa ]

Ví dụ về xác định chỉ số cho một chiếc máy bay sử dụng chặn với trục; bên trái (111), phải (221)
Có hai cách tương đương để xác định ý nghĩa của các chỉ số Miller: [1] qua một điểm trong mạng đảo, hoặc là chặn nghịch cùng các vectơ mạng. Cả hai định nghĩa này được đưa ra dưới đây. Trong cả hai trường hợp, người ta cần phải chọn ba vectơ a1 lưới, a2 và a3 đó xác định các tế bào đơn vị (lưu ý rằng các tế bào đơn vị thường có thể là lớn hơn so với các tế bào nguyên thủy của mạng Bravais, như ví dụ dưới đây minh họa). . Do đó, ba vectơ mạng đảo nguyên thủy cũng được xác định (b1 ký hiệu, b2 và b3)

Sau đó, đưa ra ba Miller chỉ số h, k, ℓ, (hkℓ) biểu thị mặt phẳng trực giao với vector mạng đảo:

displaystyle { mathbf {g} _ {hk ell} = h mathbf {b} _ {1} + k mathbf {b} _ {2} + ell mathbf {b} _ {3}.} mathbf { g} _ {hk ell} = h mathbf {b} _1 + k mathbf {b} _2 + ell mathbf {b} _3.
Đó là, (hkℓ) chỉ đơn giản chỉ là một bình thường để những chiếc máy bay ở cơ sở của các vectơ mạng đảo nguyên thủy. Bởi vì các tọa độ là các số nguyên, này bình thường là chính nó luôn luôn là một vector mạng đảo. Các yêu cầu về điều kiện thấp nhất có nghĩa là nó là vector mạng đảo ngắn nhất trong hướng nhất định.

Một cách tương đương, (hkℓ) biểu thị một chiếc máy bay sẽ chặn ba điểm a1 / h, a2 / k, và a3 / ℓ, hoặc bội số của nó. Đó là, các chỉ số Miller là tỷ lệ với nghịch đảo của chặn của máy bay, trong cơ sở của các vectơ mạng. Nếu một trong những chỉ số là số không, nó có nghĩa là những chiếc máy bay không giao nhau trục (đánh chặn là "ở vô cực").

Xem xét chỉ (hkℓ) máy bay giao nhau một hoặc điểm lưới hơn (các mặt phẳng lưới), khoảng cách vuông góc với d giữa máy bay lưới liền kề có liên quan đến (ngắn nhất) đối ứng trực giao vector lưới để những chiếc máy bay bằng công thức: { displaystyle d = 2 pi / | mathbf {g} _ {hk ell} |} d = 2 pi . / | mathbf {g} _ {hk ell} | [1]

các ký hiệu liên quan [hkℓ] biểu thị hướng:

{ displaystyle h mathbf {a} _ {1} + k mathbf {a} _ { 2} + ell mathbf {a} _ {3}.} h mathbf {a} _1 + k mathbf {a} _2 + ell mathbf {a} _3.
đó là, nó sử dụng các cơ sở lưới trực tiếp thay vì các mạng đảo. Lưu ý rằng [hkℓ] không phải là nói chung bình thường đến (hkℓ) máy bay, ngoại trừ trong một mạng khối như mô tả dưới đây.

Trường hợp của cấu trúc khối [sửa]
Đối với các trường hợp đặc biệt của các tinh thể lập phương đơn giản, các vectơ lưới trực giao và chiều dài bằng nhau (thường ký hiệu là a), như là của các mạng đảo. Như vậy, trong trường hợp phổ biến này, các chỉ số Miller (hkℓ) và [hkℓ] cả hai chỉ đơn giản biểu thị normal / hướng dẫn trong tọa độ Descartes.

Đối với tinh thể lập phương với hằng số mạng a, khoảng cách d giữa liền kề (hkℓ) máy bay lưới là (từ trên cao)

{ displaystyle D_ {hk ell} = { frac {a} { sqrt {h

Kết quả (Việt) 3:

Chỉ số Miller đã hình thành một hệ thống biểu tượng trong tinh thể học máy bay trong lưới tinh thể (Bravais).Đặc biệt, một gia đình bề mặt tinh thể bởi 3 số nguyên H, K, quyết định và ℓ, chỉ số Miller.Họ cũng viết (Hồng Kông ℓ), và là chiếc máy bay trực displaystyle người hmathbf b_ [[[1]] + kmathbf [b_ [2]] + Thuật mathbf{e} [b_ [3]]] mathbf{e} h [[b_ [1]]] + K [mathbf{e} [b_ [2]]] + được [mathbf{e} [b_ [3]]], [[[ở displaystyle mathbf{e} b_ tôi]]] []] [Tôi b_ mathbf{e} [] là nền tảng cho lưới véc - tơ.(chú ý, máy bay không trực giao là tổ hợp tuyến tính của vectơ [[lưới trực tiếp displaystyle hmathbf a_ [1]] + kmathbf [a_ [2]] + Thuật mathbf{e} [a_ [3]]] mathbf{e} h [[a_ [1]]] + K [mathbf{e} [a_ [2]]] + ma thuật. [mathbf{e} [a_ [3]]] bởi vì không cần cho lưới vector trực giao với nhau.) theo truyền thống, cũng viết một số nguyên âm, với tư cách là 3 − 3.Số nguyên thường dùng điều kiện tối thiểu của chúng, tức là ước số chung lớn nhất là 1.Cũng có nhiều liên quan đến các biểu tượng: [1]ℓ biểu tượng [Hồng Kông] có nghĩa là tất cả máy bay, tương đương với Tập (Hồng Kông ℓ) do tính đối xứng của tinh thể.Trong tinh thể hướng (và không phải nền dưới mặt phẳng), tương ứng với ký hiệu là:[Hồng Kông ℓ], và không phải là chỉ dấu ngoặc vuông tròn, trực tiếp trên cơ sở của các vector lưới, chứ không phải cho lưới điện và đường;Tương tự, các biểu tượng ℓ > < Hồng Kông có nghĩa là tất cả các hướng là do tính đối xứng tương đương với [Hồng Kông ℓ] ".Chỉ số Miller đã tiến hành 1839 của UK mineralogist William Hallowes Miller.Phương pháp này cũng được lịch sử gọi là chỉ số và hệ thống millerian cho Millerian, [2], mặc dù rất hiếm có.Chỉ số Miller được so sánh với bất cứ lựa chọn đơn vị của nhóm gốc, không chỉ với định nghĩa của vector, bởi vì đôi khi nói.Nội dung [ẩn]1 định nghĩa2 khối cấu trúcLục giác và kim cương của cấu trúc 3 vụ4 tinh thể diện và hướng.5 số nguyên và phi lý: bề mặt tinh thể và chỉ số Miller.6 tham kiến7 khảo8 liên kết ngoàiĐịnh nghĩa [sửa]Chắc là máy bay dùng để ngăn chặn trục Index examples; (111), tả quyền (221)Có ý nghĩa rõ ràng chỉ số Miller hai cách tương đương: [1] qua ngã hay như lưới, lưới chống ngăn chặn dọc theo vector.Hai người này định nghĩa như sau.Trong mọi trường hợp, anh cần phải chọn ba cách A1 A2 và A3 của vector đơn vị (chú ý, định nghĩa truyền thống của đơn vị có thể lớn hơn ca - rô, tế bào gốc cho ví dụ dưới đây giải thích).Vì vậy, ba người nguyên thủy cho lưới véc - tơ cũng được xác định (ghi cho B1, B2, B3).Sau đó, Index H, K, ℓ, (Hồng Kông ℓ) có nghĩa là máy bay của trực giao cho vector lưới:[[displaystyle mathbf{e} xanh] [] = _ hkell hmathbf {b} _ [1] + kmathbf {b} _ [2] + Thuật mathbf{e} {b} _ [3]], [[] mathbf{e} xanh _ hkell] = H mathbf{e} {b} _1 + K mathbf{e} {b} _2 + Thuật mathbf{e} {b} _3.Đó là, (Hồng Kông ℓ) đơn giản ở gốc. Giải thích cho lưới dựa trên vector với máy bay bình thường.Bởi vì độ là số nguyên, pháp tuyến này chính là một vector lưới của nhau.Các yêu cầu tối thiểu có nghĩa là nó là xác định hướng của véc tơ ngắn nhất trong lưới.Sự thấu cảm, (Hồng Kông ℓ) nghĩa là một mặt phẳng, lấy ra ba điểm A1 / h, A2 và A3 / K / ℓ, hay một vài cách.Đó là chỉ số Miller với chặn máy bay đếm tỉ lệ thuận với vector, trong lưới dựa trên.Nếu một số mũ là 0, nó có nghĩa là, máy bay không giao nhau trục (chặn là "vô cực").Chỉ xem xét (Hồng Kông ℓ) giao một hoặc nhiều máy bay (lưới tinh thể bề mặt tinh thể bề mặt), bên cạnh dọc giữa khoảng cách d có liên quan (thấp nhất) cho bởi công thức vector lưới trực máy bay: [displaystyle d = 2pi Music / | mathbf{e} [Green] [] _ hkell |] một 2PI / | mathbf{e} [xanh]], [_ H. K |. [1]Liên quan đến các biểu tượng [Hồng Kông] Chỉ ℓ hướng:[1] [displaystyle hmathbf _ [1] [1] + kmathbf _ [2] + [1] nói với mathbf{e} _ [3], [1]] mathbf{e} _1 + K mathbf{e} [H] [] _2 + Thuật mathbf{e} _3.Có nghĩa là, nó sử dụng trực tiếp chứ không phải là nền tảng của lưới, lưới của nhau.Đáng chú ý là ℓ, [Hồng Kông] thường không bình thường (Hồng Kông ℓ) máy bay, ngoại trừ ở khối tinh thể được mô tả như sau.Cấu trúc khối trường hợp [sửa]Đối với khối tinh thể đơn giản là trường hợp đặc biệt, lưới vector trực và bằng chiều dài (thường có nghĩa là A), là những người đếm ngược của tinh thể.Vì vậy, trong trường hợp này phổ biến, chỉ số Miller (Hồng Kông ℓ) và [Hồng Kông] Jane ℓ là pháp tuyến / hướng vuông góc với hệ tọa độ.Đối với một khối pha Lê Hằng số lưới, khoảng cách d neighboring (Hồng Kông ℓ) bề mặt tinh thể (ở trên)[] = [hkell displaystyle d_ [[[[1] sqrt h