2.8 x+1/xThe nth Chebyshev polynomi

2.8 x+1/x
The nth Chebyshev polynomial (of the first kind) is usually defined as the polynomial
expressing cosnx in terms of cosx. Closely related is the polynomial Pn(X) that
expresses 2cosnx in terms of 2cosx. This polynomial can be obtained by writing
xn +x−n in terms of x+x−1. Indeed, if x = cost +i sint, then x+x−1 = 2cost, while
by the de Moivre formula xn +x−n = 2cosnt. Note that the sum-to-product formula
cos(n+1)x+cos(n−1)x = 2cosxcosnx,
allows us to prove by induction that Pn(X) has integer coefficients, and we can easily
compute P0(X) = 2, P1(X) = X, P2(X) = X2−2, P3(X) = X3−3X.
The fact that xn +x−n can be written as a polynomial with integer coefficients in
x+x−1 for all n can also be proved inductively using the identity
xn+1+
1
xn+1 =

x+
1
x

xn+
1
xn

−

xn−1+
1
xn−1

.
Let us apply this fact to the following problem.
Prove that for all n, the number n
√
3+
√
2+ n
√
3−
√
2 is irrational.
Because xn+x−n can be written as a polynomialwith integer coefficients in x+x−1,
if x + x−1 were rational, then so would be xn + x−n. If x = n
√
3+
√
2, then
x−1 = n
√
3−
√
2; hence xn+x−n =
√
3+
√
2+
√
3−
√
2 = 2
√
3, which is irrational.
It follows x+x−1 must be irrational, too.
Here is another example.
Let r be a positive real number such that
4 √
r− 1
4 √
r
= 14.
2.8. x+1/x 63
Prove that
6 √
r+
1
6 √
r
= 6.
Squaring the relation from the statement, we obtain
√
r+
√1
r
−2 = 196,
hence
√
r+
√1
r
= 198.
Let
6 √
r+
1
6 √
r
= x.
Then using the above recursive relation, we obtain
√
r+
√1
r
= x3 −3x.
Hence x3 −3x−198 = 0. Factoring the left-hand side as (x−6)(x2+6x+33), we see
that the equation has the unique positive solution x = 6, as desired.
Note that the recursive relation for calculating xn+ 1
xn from x+ 1xcan be generalized
to
un+1+vn+1 = (u+v)(un+vn)−uv(un−1+vn−1)
for any two numbers u and v, and n ∈ N. Another way to obtain this identity is to
substitute x by u/v in the above and then multiply out by the common denominator.
And now the problems.
1. Prove that for all odd numbers n, xn −x−n can be written as a polynomial in
x−x−1.
2. Prove that if x,y > 0 and for some n ∈ N, xn−1+yn−1 = xn +yn = xn+1 +yn+1,
then x = y.
3. Given that
x+x−1 =
1+
√
5
2
,
find x2000+x−2000.
4. If z is a complex number satisfying |z3+z−3| ≤ 2, show that |z+z−1| ≤ 2.
64 Chapter 2. Algebra and Analysis
5. Prove that cos1◦ is irrational.
6. Let a,b,c be real numbers such that max{|a|, |b|, |c|} > 2 and a2 +b2 +c2 −
abc = 4. Prove that there exist real numbers u,v,w such that
a = u+
1
u
,b = v+
1
v
,c = w+
1
w
,
where uvw = 1.
7. Show that for x > 1,
x−x−1
1
<
x2−x−2
2
<
x3 −x−3
3
< · · · <
xn−x−n
n
< · · · .
8. Evaluate limn→∞{(
√
2+1)2n} where {a} denotes the fractional part of a, i.e.,
{a} = a−a
.
9. Prove that for all positive integers n, the number (1+
√
3)2n+1
is divisible by
2n+1 but not by 2n+2.
10. Show that if cosa+sina is rational for some a, then for any positive integer n,
cosn a+sinn a is rational.
11. Prove that for any n ∈ N, there exists a rational number an such that the polynomial
X2 +(1/2)X +1 divides X2n+anXn+1.
12. Let a,b,c be real numbers, with ac and b rational, such that the equation
ax2+bx+c= 0 has a rational solution r. Prove that for every positive integer
n, there exists a rational number bn for which rn is a solution to the equation
anx2+bnx+cn = 0.
13. If A is an n×n matrix with real entries and there exists a ∈ [−2,2] such that
A2 −aA+In = 0n, prove that for every natural number m, there exists a unique
am ∈ [−2,2] such that A2m−amAm+In = 0n.

Kết quả (Việt) 2:

2,8 x + 1 / x
Các đa thức Chebyshev thứ n (trong các loại đầu tiên) thường được định nghĩa là các đa thức
cosnx bày tỏ về cosx. Liên quan chặt chẽ là các đa thức Pn (X) mà
diễn tả 2cosnx về 2cosx. Đa thức này có thể thu được bằng cách viết
xn + x-n về x + x-1. Thật vậy, nếu x = chi phí + i Sint, sau đó x + x-1 = 2cost, trong khi
do de Moivre công thức xn + x-n = 2cosnt. Lưu ý rằng công thức tổng hợp để sản
cos (n + 1) x + cos (n-1) x = 2cosxcosnx,
cho phép chúng tôi để chứng minh bằng quy nạp rằng Pn (X) có hệ số nguyên, và chúng ta có thể dễ dàng
tính toán P0 (X ) = 2, P1 (X) = X, P2 (X) = X2-2, P3 (X) = X3-3X.
Thực tế là xn + x-n có thể được viết như là một đa thức với hệ số nguyên trong
x + x -1 cho tất cả n cũng có thể được chứng minh quy nạp bằng cách sử dụng danh tính
xn + 1 +
1
xn + 1
=?
x +
1
x
??
xn +
1 xn? -? xn-1 + 1 xn-1?. Hãy để chúng tôi áp dụng thực tế này để các vấn đề sau đây. Chứng minh rằng với mọi n, số n? √ 3+ √ 2+ n? √ 3 √ 2 là không hợp lý. Bởi vì xn + x-n có thể được viết như là một hệ số polynomialwith số nguyên trong x + x-1 , nếu x + x-1 là hợp lý, thì như vậy sẽ được xn + x-n. Nếu x = n √? 3+ √ 2, sau đó x-1 = n √? 3- √ 2; do đó xn + x-n = √ 3+ √ 2+ √ 3 √ 2 = 2 √ 3, đó là không hợp lý. Nó sau x + x-1 phải là không hợp lý, quá. Dưới đây là một ví dụ khác. Hãy để r là một tích cực thực số như vậy mà 4 √ r- 1 4 √ r = 14. 2.8. x + 1 / x 63 Chứng minh rằng 6 √ r + 1 6 √ r = 6. Squaring các quan hệ từ các tuyên bố, chúng ta có được √ r + √1 r -2 = 196, do đó √ r + √1 r = 198. Hãy 6 √ r + 1 6 √ r = x. Sau đó, sử dụng các mối quan hệ đệ quy trên, chúng ta có được √ r + √1 r = x3 -3x. Do đó x3 -3x-198 = 0. bao thanh phía bên tay trái là (x-6) (x2 + 6x + 33), chúng ta thấy rằng phương trình có các giải pháp tích cực duy nhất x = 6, như mong muốn. Lưu ý rằng các mối quan hệ đệ quy để tính xn + 1 xn từ x + 1xcan được tổng quát để un + 1 + vn + 1 = (u + v ) (un + vn) -uv (un-1 + vn-1) cho bất kỳ hai số u và v, và n ∈ N. Một cách khác để có được danh tính này là để thay thế x bằng u / v ở trên và sau đó nhân ra bởi mẫu số chung. Và bây giờ là vấn đề. 1. Chứng minh rằng với mọi số lẻ n, xn -x-n có thể được viết như là một đa thức theo x-x-1. 2. Chứng minh rằng nếu x, y> 0 và đối với một số n ∈ N, xn-1 + yn-1 = xn + yn = xn + 1 + yn + 1, sau đó x = y. 3. Cho rằng x + x-1 = 1+ √ 5 2, tìm X2000 + x-2000. 4. Nếu z là một số phức thỏa mãn | z3 + z-3 | ≤ 2, cho thấy | z + z-1 | ≤ 2. 64 Chương 2. Đại số và Phân tích 5. Chứng minh cos1◦ đó là không hợp lý. 6. Cho a, b, c là các số thực như vậy mà max {| a |, | b |, | c |}> 2 và a2 + b2 + c2 - abc = 4. Chứng minh rằng có tồn tại số thực u, v, w như vậy mà a = u + 1 u, b = v + 1 v, c = w + 1 w, nơi UVW = 1. 7. Cho thấy đối với x> 1, x-x-1 1 <x2-x-2 2 <x3 -x-3 3 <· · · <xn-x-n n <· · ·. 8. Đánh giá bôi màu lên → ∞ {(√ 2 + 1) 2n} {a} nơi biểu thị các phần phân đoạn của một, tức là, {a} = a- một. 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, các số (1+ √ 3) 2n + 1 chia hết cho 2n + 1, nhưng không phải bằng 2n + 2. 10. Chứng minh rằng nếu cosa + sina là hợp lý cho một số một, sau đó cho bất kỳ số nguyên dương n, cosn a + Sinn một là hợp lý. 11. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N, có tồn tại một số lượng hợp lý như vậy mà một đa thức X2 + (1/2) X 1 chia X2n + anXn + 1. 12. Cho a, b, c là các số thực, với ac và b hợp lý, như vậy mà các phương trình AX2 + bx + c = 0 có một giải pháp hợp lý r. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại một số lượng hợp lý tỷ mà rn là một giải pháp cho các phương trình anx2 + BNX + cn = 0. 13. Nếu A là một ma trận n × n với mục thực và có tồn tại a ∈ [-2,2] như vậy mà A2 AA + Trong = 0n, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, có tồn tại một độc đáo sáng ∈ [-2, 2] như vậy mà A2M-AMAM + Trong = 0n.