read an existence statement, but ra

read an existence statement, but rarely leave out the “such that.” Such supplementary language is not needed with ∀.
As another example, we rewrite the definition of the “Big Oh” notation with these symbols. We use the letter R to stand for the universe of real numbers, and the symbol R+ to stand for the universe of positive real numbers.
f = O(g) means that ∃c ∈ R+(∃n0 ∈ R+(∀x ∈ R(x > n0 ⇒ f (x) ≤ cg(x))))
We would read this literally as

f is big Oh of g means that there exists a c in R+ such that there exists an n0 in R+
such that for all x in R, if x > n0, then f (x) ≤ cg(x).
Clearly this has the same meaning (when we translate it into more idiomatic English) as

f is big Oh of g means that there exist a c in R+ and an n0 in R+ such that for all real numbers x > n0, f (x) ≤ cg(x).
This statement is identical to the definition of “big Oh” that we gave earlier in Definition 3.2, except for more precision as to what c and n0 actually are.

Exercise 3.2-5 How would you rewrite Euclid’s division theorem, Theorem 2.12 using the shorthand notation we have introduced for quantifiers? Use Z+ to to stand for the positive integers and N to stand for the nonnegative integers.


We can rewrite Euclid’s division theorem as
∀m ∈ N (∀n ∈ Z+(∃q ∈ N (∃r ∈ N ((r < n) ∧ (m = qn + r))))).

Statements about variables

To talk about statements about variables, we need a notation to use for such statements. For example, we can use p(n) to stand for the statement n2 > n. Now, we can say that p(4) and
p(−3) are true, while p(1) and p(.5) are false. In effect we are introducing variables that stand
for statements about (other) variables! We typically use symbols like p(n), q(x), etc. to stand
for statements about a variable n or x. Then the statement “For all x in U p(x)” can be written as ∀x ∈ U (p(x)) and the statement “There exists an n in U such that q(n)” can be written as ∃n ∈ U (q(n)). Sometimes we have statements about more than one variable; for example, our definition of “big Oh” notation had the form ∃c(∃n0(∀x(p(c, n0, x)))), where p(c, n0, x) is (x > n0 ⇒ f (x) ≤ cg(x)). (We have left out mention of the universes for our variables here to
emphasize the form of the statement.)

Exercise 3.2-6 Rewrite Euclid’s division theorem, using the notation above for statements about variables. Leave out the references to universes so that you can see clearly the order in which the quantifiers occur.
The form of Euclid’s division theorem is ∀m(∀n(∃q(∃r(p(m, n, q, r))))).

Kết quả (Việt) 1:

đọc một tuyên bố sự tồn tại, nhưng hiếm khi rời ra các "sao cho." Ngôn ngữ bổ sung như vậy không cần thiết với ∀.Một ví dụ khác, chúng tôi viết lại definition "Lớn Oh" chú thích với các biểu tượng. Chúng tôi sử dụng chữ cái R để đứng cho vũ trụ của số thực, và biểu tượng R + đứng cho vũ trụ số thực dương.f = O(g) phương tiện đó ∈ ∃c R + (∃n0 ∈ R + (∀x ∈ R (x > n0 ⇒ f (x) ≤ cg(x)))Chúng tôi sẽ đọc này theo nghĩa đen nhưf là lớn Oh của g có nghĩa là có tồn tại một c trong R + như vậy mà có tồn tại một n0 trong R +như vậy mà với mọi x thuộc R, nếu x > n0, sau đó f (x) ≤ cg(x).Rõ ràng đây là ý nghĩa tương tự (khi chúng tôi dịch nó sang tiếng Anh hơn tính)f là lớn Oh của g có nghĩa là có tồn tại một c trong R + và một n0 trong R + như vậy mà với mọi số thực x > n0, f (x) ≤ cg(x).Tuyên bố này là giống hệt nhau để definition "big Oh" mà chúng tôi đã cung cấp trước đó trong Definition 3.2, ngoại trừ các chính xác hơn như những gì c và n0 thực sự là.Tập thể dục 3.2-5 làm thế nào bạn sẽ viết lại định lý bộ phận của Euclid, định lý 2.12 sử dụng ký hiệu viết tắt chúng tôi đã giới thiệu cho quantifiers? Sử dụng Z + để đứng cho các số nguyên dương và N đứng đối với vô số nguyên.Chúng tôi có thể viết lại định lý bộ phận của Euclid là∀m ∈ N (∀n ∈ Z + (∃q ∈ N (∃r ∈ N ((r < n) ∧ (m = qn + r))).Phát biểu về biếnĐể thảo luận về các báo cáo về biến, chúng tôi cần một ký hiệu để sử dụng cho phát biểu như vậy. Ví dụ, chúng tôi có thể sử dụng p(n) để đứng cho tuyên bố n2 > n. Bây giờ, chúng tôi có thể nói rằng p(4) vàp(−3) là có thật, trong khi p(1) và p(.5) là sai. Trong effect, chúng tôi đang giới thiệu biến mà đứngđể báo cáo về các biến (khác)! Chúng tôi thường sử dụng biểu tượng giống như p(n), q(x), vv đứngđể báo cáo về một biến n hoặc x. Sau đó tuyên bố "với mọi x thuộc U p(x)" có thể được viết dưới dạng ∀x ∈ U (p(x)) và tuyên bố "có tồn tại một n trong U như vậy q(n) rằng" có thể được viết dưới dạng ∃n ∈ U (q(n)). Đôi khi chúng tôi có báo cáo về nhiều hơn một biến; Ví dụ, chúng tôi definition ký hiệu "lớn Oh" có hình thức ∃c (∃n0 (∀x (p (c, n0, x))), p (c, n0, x) ở đâu (x > n0 ⇒ f (x) ≤ cg(x)). (Chúng tôi đã để lại trong đề cập đến các vũ trụ cho các biến của chúng tôi ở đây đểnhấn mạnh các hình thức của báo cáo.)Định lý phân chia 3.2-6 viết lại Euclid, bằng cách sử dụng các ký hiệu trên cho các báo cáo về biến rèn luyện sức khoẻ. Bỏ qua các tham chiếu đến vũ trụ do đó bạn có thể thấy rõ thứ tự mà trong đó các quantifiers xảy ra.Các hình thức của Euclid của bộ phận định lý là ∀m (∀n (∃q (∃r (p (m, n, q, r))).

Kết quả (Việt) 2:

đọc một tuyên bố sự tồn tại, nhưng hiếm khi bỏ qua các "đó. như" ngôn ngữ bổ sung như vậy là không cần thiết với ∀.
Một ví dụ khác, chúng tôi viết lại định nghĩa fi de của "Big Oh" ký hiệu với các biểu tượng này. Chúng tôi sử dụng chữ R để đứng trong vũ trụ của số thực, và các biểu tượng R + để đứng cho vũ trụ của các số thực dương.
F = O (g) có nghĩa là ∃c ∈ R + (∃n0 ∈ R + (∀x ∈ R (x> n0 ⇒ f (x) ≤ cg (x))))
Chúng tôi sẽ đọc nó theo nghĩa đen là f là lớn Oh của g có nghĩa rằng có tồn tại ac trong R + như rằng có tồn tại một n0 trong R + sao cho với mọi x trong R, nếu x> n0, sau đó f (x) ≤ cg (x). Rõ ràng điều này có nghĩa như nhau (khi chúng tôi chuyển nó thành nhiều thành ngữ tiếng Anh) là f là Oh lớn của g có nghĩa rằng có tồn tại ac trong R + và một n0 trong R + như vậy mà cho tất cả các thực số x> n0, f (x) ≤ cg (x). Tuyên bố này là giống với định nghĩa fi de "lớn Oh" mà chúng ta đã cho trước đó trong De fi Định nghĩa 3.2, ngoại trừ cho chính xác hơn như những gì c và n0 thực tế. Tập thể dục 3,2-5 Làm thế nào bạn sẽ viết lại lý bộ phận của Euclid, Định lý 2.12 sử dụng các ký hiệu viết tắt, chúng tôi đã giới thiệu cho ers fi quanti? Sử dụng Z + để đứng cho các số nguyên dương N và đứng cho các số nguyên không âm. Chúng ta có thể viết lại định lý phân chia Euclid như ∀m ∈ N (∀n ∈ Z + (∃q ∈ N (∃r ∈ N ((r <n) ∧ (m = qn + r))))). Báo cáo về các biến Để nói về báo cáo về các biến, chúng ta cần một ký hiệu để sử dụng cho báo cáo như vậy. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng p (n) để đứng cho các tuyên bố n2> n. Bây giờ, chúng ta có thể nói rằng p (4) và p (-3) là đúng sự thật, trong khi p (1) và p (0,5) là sai. Trong e ff vv chúng tôi đang giới thiệu các biến mà đứng cho báo cáo về các biến (khác)! Chúng tôi thường sử dụng biểu tượng như p (n), q (x), vv để đứng cho báo cáo về một biến n hoặc x. Sau đó, các tuyên bố "Đối với mọi x trong U p (x)" có thể được viết như ∀x ∈ U (p (x)) và tuyên bố "Có tồn tại một n trong U như vậy mà q (n)" có thể được viết như ∃ n ∈ U (q (n)). Đôi khi chúng tôi có báo cáo về nhiều hơn một biến; Ví dụ, chúng ta định nghĩa de fi "lớn Oh" ký hiệu có hình thức ∃c (∃n0 (∀x (p (c, n0, x)))), trong đó p (c, n0, x) là (x> n0 ⇒ f (x) ≤ cg (x)). (Chúng tôi đã rời ra đề cập đến những vũ trụ cho các biến của chúng tôi ở đây để nhấn mạnh các hình thức của báo cáo.) Tập thể dục 3,2-6 lý phân Rewrite Euclid, sử dụng các ký hiệu trên cho báo cáo về các biến. Bỏ các tham chiếu đến các vũ trụ để bạn có thể nhìn thấy rõ thứ tự mà các ers quanti fi xảy ra. Các hình thức của định lý phân chia Euclid là ∀m (∀n (∃q (∃r (p (m, n, q, r)) ))).