208Example 7.3.1Consider the classi

208
Example 7.3.1
Consider the classical problem (Johnson and Gibson 1963) of
minimizing
subject to
(a, a)
x =-u(t) (x (0), x (T))
2 2 2
(b, d)
lui ~ 1 and T is unspecified.
The Hamiltonian is
H = ~ x 2 +p (x 2 + u) - p2u I I
2
~X + PI x2 + (pi - p2)u I
= 1jJ (x, p) + o(x, p) u
where the switching function o is the coefficient of u and 1jJ is the
remaining terms (not involving u) of H.
- H =PI -x
X I
I
- H = p2 - pl X
2
The solution involves three cases: bang bang B where o > 0 , bang bang
I
B2 where o < 0 and singular when o - 0. We shall examine each one in turn.
1. Bang-Bang arc BI when o :: p 1 - p 2 > 0 , u* -1
The dynamic system gives
x = 1 giving x (t) t + c or
2 2 .1
x =x -l=t+a - 1 giving
1 2 I
X (t) = ~ t2
I
+ (a - l)t +a or
I
2
X (t) = ~ X - X + a
1 2 2 3
(see fig. 7 .6)
2
where a
3
t =X a
2 I
eliminating t ,
a (a
I I
- 1) +a + a 2 /2
2 1

Kết quả (Việt) 1:

208Ví dụ 7.3.1Xem xét vấn đề cổ điển (Johnson và Gibson 1963) củagiảm thiểutùy thuộc vào(một, một)x =-u(t) (x (0), x (T))2 2 2(b, d)lui ~ 1 và T là không xác định.Hamilton làH = ~ x 2 + p (x 2 + u) - p2u tôi tôi2~ X PI x 2 + (pi - p2) u tôi= 1jJ (x, p) + o (x, p) unơi o chức năng chuyển đổi là hệ số của bạn và 1jJ là cácđiều khoản còn lại (không liên quan đến u) của H.-H = PI - xX TÔITôi-H = p2 - pl X2Các giải pháp liên quan đến ba trường hợp: bang bang B nơi o > 0, bang bangTôiB2 nơi o < 0 và số ít khi o - 0. Chúng tôi sẽ kiểm tra mỗi một lần lượt.1. bang-Bang arc BI khi o:: p 1 - p 2 > 0, u * -1Hệ thống động lực chox = 1 cho x (t) t + c hoặc2 2.1x = x -l = t + a - 1 cho1 2 tôiX (t) = ~ t2Tôi+ (a - l) t + một hoặcTôi2X (t) = ~ - XX + một1 2 2 3(xem hình 7.6)2nơi một3t = X một2 tôiloại bỏ t,một (mộtTôi tôi-1) + một + một 2 /22 1

Kết quả (Việt) 2:

208
Ví dụ 7.3.1
Xem xét các vấn đề cổ điển (Johnson và Gibson 1963) của
việc giảm thiểu
chịu
(a, a)
x = u (t) (x (0), x (T))
2 2 2
(b, d)
lui ~ 1 và T là không xác định.
Các Hamilton là
H = ~ x 2 + p (x 2 + u) - p2u II
2
~ X + PI x2 + (pi - p2) u I
= 1jJ (x, p) + o (x, p) u
nơi mà chức năng chuyển mạch o là hệ số u và 1jJ là
kỳ hạn còn lại (không liên quan đến u) của H.
- H = PI -x
XI
I
- H = p2 - pl X
2
Các giải pháp bao gồm ba trường hợp: bang bang B nơi o> 0, bang bang
I
B2 ở đâu o <0 và số ít khi o - 0. Chúng ta sẽ xem xét mỗi một lần lượt.
1. Bang-Bang arc BI khi o :: p 1 - p 2> 0, -1 u *
Các hệ thống năng động cho
x = 1 cho x (t) t + c hoặc
2 2 0,1
x = x = t + l một - 1 cho
1 2 I
X (t) = ~ t2
I
+ (a - l) t + một hoặc
tôi
2
X (t) = ~ X - X + một
1 2 2 3
(. xem hình 7 0,6)
2
nơi một
3
t = X một
2 I
t loại bỏ,
một (một
II
- 1) + một + một 2/2
2 1