In order to use Montgomery reductio

In order to use Montgomery reduction all variables must first be put into Montgomery
form. The Montgomery form of number x is simply xR mod q. To multiply two numbers
a and b in Montgomery form we do the following. First, compute their product as
integers: aR..bR = cR2. Then, use the fast Montgomery reduction algorithm to compute
cR2 .. R-1 = cR mod q. Note that the result cR mod q is in Montgomery form, and thus
can be directly used in subsequent Montgomery operations. At the end of the
exponentiation algorithm the output is put back into standard (non-Montgomery) form by
multiplying it by R-1 mod q. For our attack, it is equivalent to use R and R-1 mod N,
which are public. Hence, for the small penalty of converting the input g to Montgomery
form, a large gain is achieved during modular reduction. With typical RSA parameters
the gain from Montgomery reduction outweighs the cost of initially putting numbers in
Montgomery form and converting back at the end of the algorithm.

Kết quả (Việt) 1:

Để sử dụng tất cả các biến đầu tiên phải được đưa vào Montgomery Montgomery giảm
hình thức. Hình thức Montgomery số x là chỉ đơn giản là xR mod q. Nhân hai con số
một và b trong hình thức Montgomery, chúng tôi thực hiện như sau. Trước tiên, tính toán của sản phẩm là
số nguyên: aR...bR = cR2. Sau đó, sử dụng thuật toán nhanh chóng giảm Montgomery để tính toán
cR2... R-1 = cR mod q. Lưu ý rằng kết quả cR mod q là thành Montgomery, và do đó
có thể được sử dụng trực tiếp trong tiếp theo Montgomery hoạt động. Ở phần cuối của các
lũy thừa thuật toán đầu ra đặt trở lại vào tiêu chuẩn (không-Montgomery) hình thức bởi
nhân nó bởi R-1 mod q. Cho cuộc tấn công của chúng tôi, nó là tương đương để sử dụng R và R-1 mod N,
mà là công cộng. Do đó, cho hình phạt nhỏ chuyển đổi đầu vào g vào Montgomery
hình thức, một tăng lớn được thực hiện trong mô-đun giảm. Với đặc trưng RSA tham số
đạt được từ Montgomery giảm outweighs chi phí ban đầu đặt số trong
Montgomery mẫu và chuyển đổi trở lại ở phần cuối của các thuật toán.

Kết quả (Việt) 2:

Để sử dụng giảm Montgomery tất cả các biến đầu tiên phải được đưa vào Montgomery
hình thức. Hình thức Montgomery của số x chỉ đơn giản là XR mod q. Nhân hai số
a và b trong hình thức Montgomery chúng ta làm như sau. Đầu tiên, tính toán sản phẩm của họ như
số nguyên: aR .. BR = CR2. Sau đó, sử dụng các thuật toán giảm Montgomery nhanh để tính toán
CR2 .. R-1 = cR mod q. Lưu ý rằng kết quả cR mod q ở dạng Montgomery, và do đó
có thể được sử dụng trực tiếp trong hoạt động Montgomery tiếp theo. Ở cuối của
thuật toán lũy thừa sản lượng được đưa trở lại vào tiêu chuẩn (không Montgomery) hình thức bằng cách
nhân nó bằng R-1 mod q. Cho cuộc tấn công của chúng tôi, nó tương đương với sử dụng R và R-1 mod N,
đó là công cộng. Do đó, đối với hình phạt nhỏ chuyển đổi đầu vào g để Montgomery
hình thức, tăng lớn đạt được trong quá trình giảm mô-đun. Với điển hình RSA thông số
đạt được từ giảm Montgomery giá trị hơn chi phí ban đầu đưa con số trong
hình thức Montgomery và chuyển đổi trở lại vào cuối của thuật toán.