preliminariesThe aim of this paper

preliminaries
The aim of this paper is to establish new variational principles of Ekeland-type
for these two kinds of solutions by using a nonlinear scalarization technique and to
derive from them necessary conditions for approximate solutions of (VVOP).
With our new variants of Ekeland's type variational principles we improve and
extend results recently shown in the literature (see [3, 30]) in several directions:
We derive the results for "k0-minimal solutions as well as for "k0-nondominated
solutions of (VVOP). Furthermore, in the variational principle in [30] the existence
of an element belonging to the set of weakly "k0-minimal solutions of the original
problem that is a weakly minimal solution of a perturbed optimization problem is
shown. We show a sharper result, namely that there exists an "k0-minimal solution
of the original problem that is a minimal solution of a perturbed vector optimization
problem with variable ordering structure. Moreover, we study the solid case and
additionally, the important nonsolid case.
In contrast to vector optimization with fixed ordering structure, i.e. ordering
cone, where both minimality and nondomination are identical, an "k0-nondominated
solution of (VVOP) might not be "k0-minimal to (VVOP) in the case of vector optimization
problems with variable ordering structure; see, e.g. [31, 32]. Generalizations
of Ekeland's variational principle for vector optimization with xed ordering
structure have been extensively studied by many authors in the literature, see, e.g.
[34] and references therein. Our technique is based on the nonlinear scalarization
technique used in [33] for vector optimization problems with xed ordering structure.
In Section 3, we recall the denition of "k0-minimal solutions of (VVOP) and
derive corresponding variational principles for both solid and nonsolid cases.Section 4 is devoted to results related to "k0-nondominated solutions of (VVOP). In the last
Section 5, we derive necessary conditions for approximate solutions of (VVOP) in
terms of subdierential of functions and normal cones to sets by Mordukhovich [26].

Kết quả (Việt) 1:

chuẩnMục đích của giấy này là để thiết lập mới variational nguyên tắc loại EkelandĐối với những loại hai giải pháp bằng cách sử dụng một kỹ thuật phi tuyến scalarization và đểLấy được từ họ điều kiện cần thiết cho các giải pháp gần đúng của (VVOP).Với phiên bản mới của chúng tôi Ekeland của loại variational nguyên tắc chúng ta cải tiến vàmở rộng kết quả mới Hiển thị trong các tài liệu (xem [3, 30]) trong một số các hướng dẫn:Chúng tôi lấy được các kết quả cho "tối thiểu k0 giải pháp cũng như đối với"k0-nondominatedgiải pháp (VVOP). Hơn nữa, trong các nguyên tắc variational [30] sự tồn tạicủa một phần tử thuộc thiết yếu "tối thiểu k0 giải pháp của bản gốcvấn đề là một giải pháp tối thiểu yếu của một vấn đề tối ưu hóa perturbedHiển thị. Chúng tôi hiển thị một kết quả sắc nét hơn, cụ thể là rằng có tồn tại một tối thiểu k0 giải pháp"của vấn đề ban đầu là một giải pháp tối thiểu của một tối ưu hóa perturbed vectorvấn đề với biến sắp đặt cấu trúc. Hơn nữa, chúng tôi nghiên cứu các trường hợp vững chắc vàNgoài ra, quan trọng nonsolid trường hợp.Trái ngược với vector tối ưu hóa với fi xed đặt hàng cấu trúc, nghĩa là đặt hàngnón, nơi cả hai minimality và nondomination là giống hệt nhau, một "k0-nondominatedgiải pháp (VVOP) có thể không "k0 tối thiểu để (VVOP) trong trường hợp của tối ưu hóa vectorvấn đề với các thay đổi thứ tự cấu trúc; thấy, ví dụ như [31, 32]. Chung chungEkeland của variational nguyên tắc tối ưu hóa véc tơ với thứ tự xedcấu trúc đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả văn học, xem, ví dụ:[34] và tài liệu tham khảo trong đó. Kỹ thuật của chúng tôi dựa trên scalarization phi tuyếnkỹ thuật được sử dụng trong [33] cho vấn đề tối ưu hóa véc tơ với xed đặt hàng cấu trúc.Trong phần 3, chúng ta nhớ lại de nition của "các giải pháp tối thiểu k0 của (VVOP) vànguồn gốc tương ứng variational nguyên tắc đối với trường hợp nonsolid và rắn. Phần 4 dành cho các kết quả liên quan đến "giải pháp k0-nondominated (VVOP). Ở cuốiPhần 5, chúng ta lấy được các điều kiện cần thiết cho các giải pháp gần đúng của (VVOP) trongđiều khoản subdi erential các chức năng và tế bào hình nón bình thường để bộ bởi Mordukhovich [26].

Kết quả (Việt) 2:

sơ bộ
Mục đích của bài viết này là để thiết lập các nguyên tắc biến phân mới của Ekeland loại
cho hai loại giải pháp bằng cách sử dụng một kỹ thuật scalarization phi tuyến và để
lấy được từ họ những điều kiện cần thiết cho các giải pháp gần đúng của (VVOP).
Với các biến thể mới của chúng tôi loại Ekeland của nguyên tắc biến phân chúng tôi cải thiện và
mở rộng kết quả gần đây cho thấy trong văn học (xem [3, 30]) trong nhiều hướng khác nhau:
chúng tôi lấy được các kết quả cho "giải pháp k0-tối thiểu cũng như cho" k0-nondominated
giải pháp (VVOP). Hơn nữa, theo nguyên tắc biến phân trong [30] sự tồn tại
của một phần tử thuộc tập hợp các yếu "giải pháp k0-tối thiểu của bản gốc
vấn đề đó là một giải pháp yếu tối thiểu của một vấn đề tối ưu hóa chao động được
hiển thị. Chúng tôi cho thấy một kết quả sắc nét hơn, cụ thể là có tồn tại một "giải pháp k0-tối thiểu
của vấn đề gốc đó là một giải pháp tối thiểu của một tối ưu hóa vector chao
vấn đề với cấu trúc đặt hàng biến. Hơn nữa, chúng ta nghiên cứu các trường hợp rắn và
thêm vào đó, các trường hợp nonsolid quan trọng.
Ngược lại với tối ưu hóa vector với cấu trúc đặt hàng cổ định, tức là đặt hàng
nón, nơi cả hai minimality và nondomination là giống hệt nhau, một "k0-nondominated
dung dịch (VVOP) có thể không là "k0-tối thiểu để (VVOP) trong trường hợp tối ưu hóa vector
vấn đề với cấu trúc đặt hàng biến; nhìn thấy, ví dụ [31, 32]. Khái quát
về nguyên lý biến phân Ekeland cho tối ưu hóa vector với đặt hàng cố định
cấu trúc đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả trong văn học, thấy, ví dụ
[34] và tài liệu tham khảo trong đó. Kỹ thuật của chúng tôi được dựa trên scalarization phi tuyến
kỹ thuật được sử dụng trong [33] cho các vấn đề tối ưu hóa vector với cấu trúc trật tự cố định.
Trong phần 3, chúng ta nhớ lại định nghĩa de của "giải pháp k0-tối thiểu (VVOP) và
rút ra tương ứng với nguyên tắc biến phân cho cả hai rắn và nonsolid cases.Section 4 được dành cho các kết quả liên quan đến "giải pháp k0-nondominated của (VVOP). Trong cuối
Mục 5, chúng tôi lấy được các điều kiện cần thiết cho các giải pháp gần đúng của (VVOP) trong
các điều khoản của subdi? Erential các chức năng và nón bình thường để bộ bởi Mordukhovich [26].