210hence H(t) = 0 for all t E [0, T

210
hence H(t) = 0 for all t E [0, T]. On the singular arc, a= 0 and
x2
hence H = ~ + a u = ~ = -- + x x
2 1 2
x (~2 x + x ) = 0. This implies
X - 0
1
or 2x +x -
2 1
On s
1'
X - 0 - x =x
1 1 2
On s , 2x +x - 0 =>
2 2 1
0
+ u
x -
2
on S
1
on s
2
=> u*
1
- ~ x
1 1 2
-X
2
=> u* =x (see fig. 7.6).
1 2 2
The direction of the arrows in fig. 7.6, given by the sign of x /x
2 1
indicates that on S the system is unstable as it moves away from the
1
origin and on S the system is stable : it moves to the origin. the
2
optimal controls u* = ± x are thus in the feedback form and lx I < 1
2 2
in view of lui ~ 1. This gives the truncated fig. 7.6. The state
equations x (t), X (t) for each case are obtained by solving x and x
1 2 1
with u* = ± X
2
2
If the initial point xo = (a, b) are on the singular arcs s or
1
dx /dx '
2 1
S , the system will stay on them, otherwise it will switch. The interesting
2
question is should a trajectory, starting from an arbitrary initial point
not on S or S drifting along a bang-bang path, switch to a singular
1 2
arc as soon as it intersects it or should it cross the singular arc until
it reaches another bang bang surface then switches to it? To answer this
question, consider the properties of the switching function a at the
switching time t 8 • For the case of autonomous H under discussion,
H = 0 and H o T = 0 => H(t) = 0 and at switching time t on the bang-bang s
surface and at all times on the singular surface, a = 0 and
H = ~ + a u = ~ = 0.

Kết quả (Việt) 1:

210hence H(t) = 0 for all t E [0, T]. On the singular arc, a= 0 andx2hence H = ~ + a u = ~ = -- + x x2 1 2x (~2 x + x ) = 0. This impliesX - 01or 2x +x -2 1On s1'X - 0 - x =x1 1 2On s , 2x +x - 0 =>2 2 10+ ux -2on S1on s2=> u*1- ~ x1 1 2-X2=> u* =x (see fig. 7.6).1 2 2The direction of the arrows in fig. 7.6, given by the sign of x /x2 1indicates that on S the system is unstable as it moves away from the1origin and on S the system is stable : it moves to the origin. the2optimal controls u* = ± x are thus in the feedback form and lx I < 12 2in view of lui ~ 1. This gives the truncated fig. 7.6. The stateequations x (t), X (t) for each case are obtained by solving x and x1 2 1with u* = ± X22If the initial point xo = (a, b) are on the singular arcs s or1dx /dx '2 1S , the system will stay on them, otherwise it will switch. The interesting2question is should a trajectory, starting from an arbitrary initial pointnot on S or S drifting along a bang-bang path, switch to a singular1 2arc as soon as it intersects it or should it cross the singular arc untilit reaches another bang bang surface then switches to it? To answer thisquestion, consider the properties of the switching function a at theswitching time t 8 • For the case of autonomous H under discussion,H = 0 and H o T = 0 => H(t) = 0 and at switching time t on the bang-bang sbề mặt và tại mọi thời điểm trên bề mặt từ, một = 0 vàH = ~ + a u = ~ = 0.

Kết quả (Việt) 2:

210
do đó H (t) = 0 với mọi t E [0, T]. Trên vòng cung ít, a = 0 và
x2
do đó H = ~ + au = ~ = - + xx
2 1 2
x (~ x 2 + x) = 0. Điều này có nghĩa
X - 0
1
hay 2x + x -
2 1
Trên s
1 '
X - 0 - x = x
1 1 2
On s, 2x + x - 0 =>
2 2 1
0
+ u
x -
2
trên S
1
trên s
2
=> u *
1
- ~ x
1 1 2
-X
2
=> u * = x (xem hình. 7.6).
1 2 2
Sự chỉ đạo của các mũi tên trong hình. 7.6, được đưa ra bởi các dấu hiệu của x / x
2 1
chỉ ra rằng trên S hệ thống không ổn định khi nó di chuyển đi từ
1
nguồn gốc và trên S hệ thống ổn định: nó di chuyển đến nguồn gốc. các
2
điều khiển tối ưu u * = ± x là như vậy, trong các hình thức thông tin phản hồi và lx I <1
2 2
trong quan điểm về lui ~ 1. Điều này cho phép các hình cắt ngắn. 7.6. Các nhà nước
phương trình x (t), X (t) cho từng trường hợp thu được bằng cách giải x và x
1 2 1
với u * = X ±
2
2
Nếu điểm xo ban đầu = (a, b) là trên vòng cung ít s hoặc
1
dx / dx '
2 1
S, hệ thống sẽ ở lại trên đó, nếu không nó sẽ chuyển đổi. Thú vị
2
câu hỏi là nên một quỹ đạo, bắt đầu từ một điểm ban đầu tùy ý
không về S hoặc S trôi dọc theo một con đường bang-bang, chuyển sang một số ít
1 2
vòng cung ngay khi nó cắt nó hoặc nó phải vượt qua các vòng cung ít cho đến khi
nó đạt đến bề mặt khác, bang bang sau đó chuyển đến nó? Để trả lời câu này
câu hỏi, xem xét các tính chất của hàm chuyển đổi tại một
thời gian chuyển đổi t 8 • Đối với trường hợp của H tự trị đang được thảo luận,
H = 0 và H o T = 0 => H (t) = 0 và tại thời điểm chuyển đổi t trên các bang-bang của
bề mặt và ở tất cả các lần trên bề mặt ít, a = 0 và
H = ~ + au = ~ = 0.