In the field of fluid dynamics, an

In the field of fluid dynamics, an area of significant practical importance is the study of
airfoils. An airfoil refers to the cross sectional shap e of an object designed to generate lift
when moving through a fluid. Fundamentally, an airfoil generates lift by diverting the motion
of fluid flowing over its surface in a downward direction, resulting in an upward reaction force
by Newton’s third law [2]. While this is an acceptable qualitative way of lo oking at airfoils,
understanding the design of applicable systems such as airplanes, helicopters, and wind
turbines requires a quantitative metho d of analyzing fluid flow and lift.
Understanding lift at a higher level thus involves the phys ical mo deling of the fluid
flowing over an airfoil. While this physical mo deling is obviously an area of interest to
those studying intro ductory fluid dynamics, it is also a relevant field for students studying
advanced mathematics. In particular, one common metho d of mo deling the fluid flow around
an airfoil requires an understanding of complex numb er mathematics. This metho d, known
as conformal mapping, will b e the main fo cus of this pap er. Our pap er is therefore geared
towards students with an understanding of multivariable calculus who wish to develop their
understanding of complex variable mathematics.
Conformal mapping is a mathematical technique in which complicated geometries can
b e transformed by a mapping function into simpler geometries which still preserve b oth
the angles and orientation of the original geometry [4]. Using this technique, the fluid flow
around the geometry of an airfoil can b e analyzed as the flow around a cylinder whose
symmetry simplifies the needed computations. Because the functions that define the fluid
flow satisfy Laplace’s equation, the conformal mapping metho d allows for lift calculations
on the cylinder to b e equated to those on the corresp onding airfoil [5].
In this analysis, we fo cus on mo deling the two-dimensional fluid flow around airfoils using
the conformal mapping technique. We will first briefly describ e how airfoils are characterized
71
geometrically. Next, we will describ e the physical mo del we used to represent the inviscid,
incompressible fluid flow around an airfoil, and explain the theory b ehind conformal mapping. We will then use the Joukowsky transformation, a sp ecific application of conformal
mapping, to link the solution for flow around a cylinder to the solution for flow around an
airfoil. We will show how we used computational to ols to implement this conformal mapping transformation to compute the fluid flow and lift around three NACA airfoils we chose
to mo del. Finally, we will compare our lift calculations to similar calculations found using
thin airfoil theory, another metho d of mo deling airfoil aero dynamics. These results will b e
supplemented with a quantitative error analysis in an attempt to explain any discrepancies
in the two mo dels.

Kết quả (Việt) 1:

Trong lĩnh vực động lực học chất lỏng, diện tích là tầm quan trọng thực tế quan trọng là nghiên cứuairfoils. Kiểu cánh một đề cập đến e shap cắt chéo của một đối tượng được thiết kế để tạo ra liftKhi di chuyển qua một chất lỏng. Về cơ bản, một kiểu cánh tạo ra lift bằng cách chuyển các chuyển độngcủa chất lỏng chảy trên bề mặt của nó trong một hướng đi xuống, kết quả là một lực lượng phản ứng trở lênbởi định luật thứ 3 của Newton [2]. Trong khi đây là một cách chấp nhận được chất lượng của lo oking tại airfoils,hiểu biết về thiết kế các hệ thống áp dụng như máy bay, máy bay trực thăng và Giótua bin yêu cầu một metho định lượng d phân tích dòng chất lỏng và Thang máy.Lift sự hiểu biết ở một mức độ cao hơn do đó liên quan đến việc phys ical mo deling của chất lỏngchảy qua một kiểu cánh. Trong khi deling vật lý mo này rõ ràng là một khu vực quan tâmnghiên cứu giới thiệu ductory chất lỏng năng động, nó cũng là một lĩnh vực có liên quan cho học sinhtoán học nâng cao. Đặc biệt, một phổ biến metho d Mo deling dòng chảy chất lỏng xung quanh thành phốkiểu cánh một đòi hỏi một sự hiểu biết của khu phức hợp tê er toán học. D metho này, được biết đếnnhư conformal lập bản đồ nhất, sẽ b e cus fo chính của này pap er. Chúng tôi xét nghiệm pap er là do đó hướngĐối với sinh viên với một sự hiểu biết về giải tích multivariable người muốn phát triển củasự hiểu biết về toán học phức tạp biến.Conformal ánh xạ là một kỹ thuật toán học trong đó hình phức tạp có thểb e chuyển bởi một chức năng lập bản đồ thành hình đơn giản mà vẫn bảo vệ b othCác góc độ và hướng của hình học ban đầu [4]. Sử dụng kỹ thuật này, dòng chảy chất lỏngQuanh hình học của một kiểu cánh có thể b e phân tích như dòng chảy xung quanh thành phố một hình trụ màđối xứng đơn giản hoá các tính toán cần thiết. Bởi vì các chức năng xác định các chất lỏngdòng chảy thỏa mãn phương trình Laplace, lập bản đồ conformal metho d cho phép cho Thang máy tính toántrên xi lanh để b e tương đương với những người trên kiểu cánh onding phí [5].Phân tích này, chúng tôi cho cus trên mo deling chảy hai chiều xung quanh thành phố airfoils bằng cách sử dụngkỹ thuật lập bản đồ conformal. Chúng tôi sẽ lần đầu tiên một thời gian ngắn describ e như thế nào airfoils được đặc trưng71geometrically. Tiếp theo, chúng tôi sẽ describ e mo vật lý del chúng tôi sử dụng để đại diện cho inviscid,không nén được chất lỏng chảy quanh một kiểu cánh, và giải thích lý thuyết b ehind conformal lập bản đồ. Sau đó chúng tôi sẽ sử dụng chuyển đổi Joukowsky, một ứng dụng ecific sp của conformallập bản đồ, để liên kết các giải pháp cho các dòng chảy xung quanh thành phố một hình trụ đến các giải pháp cho các dòng chảy xung quanh mộtkiểu cánh. Chúng tôi sẽ hiển thị như thế nào chúng tôi sử dụng tính toán để ols để thực hiện chuyển đổi conformal lập bản đồ này để tính toán dòng chảy chất lỏng và nâng khoảng ba NACA airfoils chúng tôi đã chọnđể mo del. Cuối cùng, chúng tôi sẽ so sánh của chúng tôi tính toán lift để tính toán tương tự tìm thấy bằng cách sử dụngkiểu cánh mỏng lý thuyết, một metho d của mo deling kiểu cánh aero động lực học. Những kết quả này sẽ b ebổ sung với một phân tích định lượng lỗi trong một nỗ lực để giải thích bất kỳ sự khác biệttrong hai tháng dels.

Kết quả (Việt) 2:

Trong lĩnh vực động lực học chất, một khu vực có tầm quan trọng thực tiễn quan trọng là nghiên cứu về
airfoils. Một cánh đề cập đến mặt cắt ngang cho Shap e của một đối tượng được thiết kế để tạo ra lực nâng
khi di chuyển qua một chất lỏng. Về cơ bản, một cánh tạo ra lực nâng bằng cách chuyển các chuyển động
của chất lỏng chảy trên bề mặt của nó trong một hướng đi xuống, kết quả là một lực lượng phản ứng lên
bởi luật III Newton [2]. Trong khi đây là một cách định tính chấp nhận được của lo oking tại airfoils,
sự hiểu biết về thiết kế của hệ thống được áp dụng như: máy bay, máy bay trực thăng, và gió
tuabin đòi hỏi một metho d định lượng phân tích dòng chảy chất lỏng và thang máy.
Hiểu biết thang máy ở một mức độ cao hơn do đó liên quan đến việc Phys ical mo Deling của chất lỏng
chảy qua một cánh. Trong khi mo Deling vật lý này rõ ràng là một khu vực quan tâm đến
những người nghiên cứu giới thiệu động lực học chất ductory, nó cũng là một lĩnh vực có liên quan cho sinh viên học tập
toán học cao cấp. Đặc biệt, một metho chung d của mo deling dòng chảy chất lỏng xung quanh
một cánh đòi hỏi một sự hiểu biết về toán học tê er phức tạp. Metho này d, được gọi
là ánh xạ bảo giác, sẽ là fo cus chính của er pap này. Do đó er pap của chúng tôi là hướng
về phía sinh viên với một sự hiểu biết của giải tích đa biến mong muốn phát triển của họ
hiểu biết về toán học biến phức tạp.
Ánh xạ bảo giác là một kỹ thuật toán học, trong đó mô hình hình học phức tạp có thể
được biến đổi bởi một chức năng lập bản đồ thành dạng hình học đơn giản hơn mà vẫn bảo toàn b oth
các góc độ và hướng của hình học ban đầu [4]. Sử dụng kỹ thuật này, dòng chảy chất lỏng
xung quanh hình học của một cánh có thể được phân tích như dòng chảy xung quanh một hình trụ có
đối xứng đơn giản hoá các tính toán cần thiết. Bởi vì các chức năng để xác định các chất lỏng
chảy đáp ứng phương trình Laplace, các metho ánh xạ bảo giác d cho phép tính toán thang
trên các xi lanh được đánh đồng với những người trên cánh máy bay CORRESP onding [5].
Trong phân tích này, chúng tôi fo cus về mo deling hai dòng chảy chất lỏng chiều xung quanh airfoils sử dụng
các kỹ thuật ánh xạ bảo giác. Chúng tôi sẽ lần đầu tiên một thời gian ngắn describ e cách airfoils được đặc trưng
71
hình học. Tiếp theo, chúng ta sẽ describ e mo vật lý del chúng tôi sử dụng để đại diện cho không nhớt,
dòng chảy chất lỏng không nén được khoảng một cánh, và giải thích lý thuyết b mapping ehind conformal. Sau đó chúng tôi sẽ sử dụng sự chuyển đổi Joukowsky, một ứng dụng sp ecific của conformal
lập bản đồ, để liên kết các giải pháp cho dòng chảy xung quanh một hình trụ với các giải pháp cho dòng chảy xung quanh một
cánh. Chúng tôi sẽ hiển thị như thế nào chúng tôi sử dụng để tính toán OLS để thực hiện chuyển đổi này ánh xạ bảo giác để tính toán dòng chảy và nâng khoảng ba airfoils NACA chúng tôi đã chọn
để mo del. Cuối cùng, chúng ta sẽ so sánh tính toán thang máy của chúng tôi tính toán tương tự được tìm thấy bằng cách sử dụng
lý thuyết cánh máy bay mỏng, một metho d mo Deling động lực cánh máy bay aero. Những kết quả này sẽ được
bổ sung với một phân tích lỗi định lượng trong một nỗ lực để giải thích bất cứ khác biệt
trong hai dels mo.