2.4.2 Testing Differences between T

2.4.2 Testing Differences between Two Means: Paired Observations

Presented in this section are methods for conducting hypothesis tests and for constructing confidence intervals for paired observations obtained from two populations. The advantage of pairing observations is perhaps best illustrated by example. Suppose that a tire manufacturer is interested in whether a new steel-belted tire lasts longer than the company’s current model. An experiment could be designed such that two new-design tires are installed on the rear wheels of 20 randomly selected cars and existing- design tires are installed on the rear wheels of another 20 cars. All drivers are asked to drive in their usual way until their tires wear out. The number of miles driven by each driver is recorded so a comparison of tire life can be tested. An improved experiment is possible. On 20 ran- domly selected cars, one of each type of tire is installed on the rear wheels and, as in the previous experiment, the cars are driven until the tires wear out.
The first experiment results in independent samples, with no relationship between the observations in one sample and the observations in the second sample. The statistical tests designed previously are appropriate for these data. In the second experiment, an observation in one sample is paired with an observation in the other sample because each pair of “competing” tires shares the same vehicle and driver. This experiment is called a matched pairs design. From a statistical standpoint, two tires from the same vehicle are paired to remove the variation in the measurements due to driving styles, braking habits, driving surface, etc. The net effect of this design is that variability in tire wear caused by differences other than tire type is zero (between pairs), making it more efficient with respect to detecting differences due to tire type.
The parameter of interest in this test is the difference in means between
the two populations, denoted by

Q d , and is defined as

Q d ! Q1 Q 2 . The
null and alternative hypotheses for a two-tailed test case are


H0 : Q d ! 0
.
H a : Q d { 0

The test statistic for paired observations is

t* !

Xd Qd
sd


, (2.19)
nd

where tions,

Xd is the average sample difference between each pair of observa-
sd is the sample standard deviation of these differences, and the sam-
ple size, nd, is the number of paired observations. When the null hypothesis
is true and the population mean difference is nd, the statistic has a t distri-
bution with n – 1 degrees of freedom. Finally, a (1 – E)100% confidence
interval for the mean difference

Q d is


Xd s tE 2

sd . (2.20)
n
d


2.4.3 Testing Differences between Two Population Proportions

In this section a method for testing for differences between two population proportions and drawing inferences is described. The method pertains to data measured on a qualitative (nominal), rather than a quantitative, scale. When sample sizes are sufficiently large, the sampling distributions of the
sample proportions

pˆ1 and

pˆ 2

and their difference

pˆ1 pˆ 2 are approxi-
mately normally distributed, giving rise to the test statistic and confidence
interval computations presented.
Assuming that sample sizes are sufficiently large and the two populations
are randomly sampled, the competing hypotheses for the difference between
population proportions are

H0 : p1 p2 ! 0
.
H a : p1 p2 { 0

As before, one-tailed tests for population proportions could be constructed. The test statistic for the difference between two population proportions when the null-hypothesized difference is 0 is


Z* ! 1 2 0 , (2.21)
pˆ pˆ

¨ 1 1 ¸
pˆ 1 pˆ
ª n1 2 º

where

pˆ1 ! x1 n1

is the sample proportion for sample 1,

pˆ 2 ! x2 n2

is the
sample proportion for sample 2, and

pˆ symbolizes the combined proportion
in both samples and is computed as follows
pˆ x1 x2 .
!
n n
1 2

When the hypothesized difference between the two proportions is some constant c, the competing hypotheses become

H0 : p1 p2 e 0
.
H a : p1 p2 " 0

Equation 2.21 is revised such that the test statistic becomes

pˆ 1 pˆ 2 c
Z* !


pˆ 1 1 pˆ 1
n1


pˆ 2 1 pˆ 2
n2

. (2.22)

The two equations reflect a fundamental difference in the two null hypoth-
eses. For the zero-difference null hypothesis it is assumed that

pˆ1 and

pˆ 2
are sample proportions drawn from one population. For the non-zero-dif-
ference null hypothesis it is assumed that

pˆ1 and

pˆ 2

are sample proportions
drawn from two populations and a pooled standard error of the difference
between the two sample proportions is estimated.
When constructing confidence intervals for the difference between two
population proportions, the pooled estimate is not used because the two
proportions are not assumed to be equal. A large sample (1 – E)100% confi-
dence interval for the difference between two population proportions is



pˆ


1 pˆ 2


s ZE 2

pˆ 1 pˆ
n1

pˆ 1 pˆ
n2


. (2.23)


2.4.4 Testing the Equality of Two Population Variances

Suppose there is interest in the competing hypotheses

2 2
H o : W1 ! W 2

2 2
H a : W1 { W 2

or

2 2
H o : W1 e W 2
.
2 2
H a : W1 " W 2
Consider first a test of whether

2 is greater than

W 2 . Two independent
samples are collected from populations 1 and 2, and the following test
statistic is computed:


F *
n1 1,n2 1

s2
! 1 , (2.24)
2

where

F *
n 1,n 1

is an F-distributed random variable with n1 – 1 degrees of
1 2
freedom in the numerator and n2 – 1 degrees of freedom in the denominator
(for additional information on the F distribution, see Appendix A). It is
2
important to remember to place s1

in the numerator because, in a one-tailed
2
test, rejection may occur in the right tail of the distribution only. If
2

s1 is
smaller than

s2 , the null hypothesis cannot be rejected because the statistic
value will be less than 1.00.
For a two-tailed test a practical approach is to insert the larger sample
variance in the numerator. Then, if a test statistic is greater than a critical
value associated with a specific E, the null hypothesis is rejected at the 2E
significance level (double the level of significance obtained from Table C.4
in Appendix C). Similarly, if the p-value corresponding with one tail of the
F distribution is obtained, it is doubled to get the actual p-value. The equiv-
alent F test that does not require insertion of the largest sample variance in
the numerator can be found in Aczel (1993).

Kết quả (Việt) 1:

2.4.2 thử nghiệm sự khác biệt giữa hai phương tiện: kết hợp các quan sátTrình bày trong phần này là phương pháp tiến hành thử nghiệm giả thuyết và cho xây dựng confidence khoảng thời gian cho kết hợp quan sát từ hai quần thể. Lợi thế của ghép nối quan sát có lẽ tốt nhất minh họa bằng ví dụ. Giả sử rằng một nhà sản xuất lốp quan tâm đến việc belted thép lốp mới kéo dài lâu hơn so với mô hình hiện tại của công ty. Thử nghiệm có thể được thiết kế như vậy mà hai lốp xe thiết kế mới được cài đặt trên các bánh xe phía sau của 20 lựa chọn ngẫu nhiên xe và lốp xe thiết kế sẵn có được cài đặt trên các bánh xe phía sau của xe ô tô khác 20. Tất cả các trình điều khiển được phép lái xe theo cách thông thường của họ cho đến khi lốp xe của họ mang ra. Số là lái xe của lái xe mỗi dặm được ghi lại để một so sánh của lốp cuộc sống có thể được kiểm tra. Một thử nghiệm cải tiến có thể. Trên 20 xe ô tô chạy-domly được chọn, một trong mỗi loại lốp được cài đặt trên các bánh xe phía sau và, như trong thử nghiệm trước đó, những chiếc xe được lái xe cho đến khi lốp mòn dần.Vòng thử nghiệm kết quả trong mẫu độc lập, với không có mối quan hệ giữa các quan sát trong một mẫu và các quan sát trong mẫu thứ hai. Kiểm tra thống kê được thiết kế trước đó là thích hợp cho những dữ liệu này. Trong thử nghiệm thứ hai, một quan sát trong một mẫu được kết nối với một quan sát trong mẫu khác bởi vì mỗi cặp "cạnh tranh" lốp xe cổ phần cùng một chiếc xe và lái xe. Thử nghiệm này được gọi là một thiết kế phù hợp cặp. Từ một quan điểm thống kê, hai lốp xe từ cùng một xe được kết nối để loại bỏ các biến thể trong đo lường do lái xe phong cách, phanh thói quen, lái xe bề mặt, vv. Hiệu ứng ròng của thiết kế này là rằng biến đổi trong lốp mặc gây ra bởi sự khác biệt khác hơn là loại lốp là zero (giữa cặp), làm cho nó thêm efficient đối với phát hiện sự khác biệt do loại lốp.Các thông số của lãi suất trong thử nghiệm này là sự khác biệt trong các phương tiện giữa Các quần thể hai, kí hiệu là Q d, và là defined như Q d! Q1 Q 2. Các giả thuyết null và thay thế cho một trường hợp thử nghiệm hai đuôiH0: Q d! 0.H một: Q d {0Thống kê thử nghiệm cho kết hợp quan sát t *! XD QĐ SD , (2.19) Nd nơi tions, XD là sự khác biệt mẫu trung bình giữa mỗi cặp của observa-SD là độ lệch chuẩn mẫu của các khác biệt, và sam- Kích thước ple, nd, là một số kết hợp quan sát. Khi các giả thuyết nullthật sự và dân có nghĩa là sự khác biệt là nd, số liệu thống kê có một t distri-bution với n-1 bậc tự do. Cuối cùng, một (1-E) 100% confidence khoảng thời gian cho sự khác biệt có ý nghĩa Q d là XD s tE 2 SD. (2,20)n d2.4.3 thử nghiệm sự khác biệt giữa hai dân số tỷ lệTrong phần này được mô tả một phương pháp để thử nghiệm cho sự khác biệt giữa hai dân số tỷ lệ và bản vẽ suy luận. Các phương pháp liên quan đến dữ liệu đo trên một chất lượng (nominal), chứ không phải là quy định lượng. Khi kích thước mẫu là sufficiently lớn, lấy mẫu phân phối của các tỷ lệ mẫu pˆ1 và pˆ 2 và sự khác biệt của họ pˆ1 pˆ 2 là approxi- mately bình thường phân phối, dẫn đến các số liệu thống kê thử nghiệm và confidencekhoảng thời gian tính toán được trình bày.Giả định rằng kích thước mẫu có sufficiently lớn và các quần thể hailà ngẫu nhiên lấy mẫu, giả thuyết cạnh tranh cho sự khác biệt giữatỷ lệ dân sốH0: p1 p2! 0.H một: p1 p2 {0Như trước, đuôi một bài kiểm tra cho tỷ lệ dân số có thể được xây dựng. Thống kê thử nghiệm cho sự khác biệt giữa hai tỷ lệ dân khi sự khác biệt đưa ra giả thuyết null là 0Z *! 1 2 0, (2,21)pˆ pˆ¨ 1 1 ¸pˆ 1 pˆ ª n1 2 º nơi pˆ1! x 1 n1 tỷ lệ mẫu cho mẫu 1, pˆ 2! x 2 n2 là các Lấy mẫu tỷ lệ đối với các mẫu 2, và pˆ tượng trưng cho tỷ lệ kết hợp trong cả hai mẫu và được tính như sau pˆ x 1 x 2.!n n1 2Khi gan giả thuyết khác biệt giữa hai tỷ lệ là một số c liên tục, giả thuyết cạnh tranh trở thànhH0: p1 p2 e 0.H một: p1 p2 "0Phương trình 2,21 sửa đổi như vậy mà bài kiểm tra số liệu thống kê trở thành pˆ 1 pˆ 2 c Z *! pˆ 1 1 pˆ 1 N1 pˆ 2 1 pˆ 2 N2 . (2,22) Hai phương trình reflect một sự khác biệt cơ bản trong hypoth hai null- eses. Cho giả thuyết null 0 – khác biệt, nó giả định rằng pˆ1 và pˆ 2 tỷ lệ mẫu được rút ra từ một dân số. Cho các phòng không-zero-c- giả thuyết null Ference nó giả định rằng pˆ1 và pˆ 2 là tỷ lệ mẫu rút ra từ hai quần thể và lỗi chuẩn những sự khác biệtgiữa tỷ lệ mẫu hai ước tính.Khi xây dựng confidence khoảng thời gian cho sự khác biệt giữa haitỷ lệ dân số, những ước tính không được sử dụng bởi vì haitỷ lệ không được giả định là bình đẳng. Một lớn mẫu (1-E) 100% confi-dence khoảng thời gian cho sự khác biệt giữa hai dân tỷ lệ là pˆ 1 pˆ 2 s ZE 2 pˆ 1 pˆ N1 pˆ 1 pˆ N2 . (2,23) 2.4.4 thử nghiệm sự bình đẳng của hai dân số chênh lệchGiả sử có quan tâm đến những giả thuyết cạnh tranh2 2H o: W1! W 22 2H một: W1 {W 2hoặc2 2H o: W1 e W 2.2 2H một: W1 "W 2 Xem xét chính một thử nghiệm cho dù 2 là lớn hơn W 2. Hai độc lập mẫu được thu thập từ dân số 1 và 2, và sau đây kiểm trasố liệu thống kê được tính: F * N1 1, n2 1 S2! 1, (2,24)2 nơi F *n 1, n 1 là một biến ngẫu nhiên F phân phối với n1-1 độ khác nhau của 1 2tự do trong tử số và n2-bậc tự do 1 trong các mẫu số(để biết thêm chi tiết về phân phối F, xem phụ lục A). Nó là2 quan trọng cần nhớ để đặt s1 trong tử bởi vì, trong một cái đuôi2 kiểm tra, từ chối có thể xảy ra ở đuôi phân phối chỉ, đúng. Nếu2 S1 là nhỏ hơn S2, giả thuyết null không thể bị từ chối bởi vì số liệu thống kê giá trị sẽ là ít hơn 1,00.Đối với một đuôi hai bài kiểm tra một cách tiếp cận thực tế là để chèn mẫu lớn hơnphương sai trong tử. Sau đó, nếu một số liệu thống kê thử nghiệm là lớn hơn một quan trọnggiá trị kết hợp với một specific E, giả thuyết null sẽ bị từ chối tại 2Esignificance cấp (tăng gấp đôi mức độ significance thu được từ bảng C.4trong phụ lục C). Tương tự như vậy, nếu giá trị p tương ứng với một đuôi của cácF phân phối là có được, nó tăng gấp đôi để có được p-giá trị thực. Equiv-alent F thử nghiệm mà không cần thêm nhân vật lớn nhất mẫu phương sai trongtử có thể được tìm thấy trong Aczel (1993).

Kết quả (Việt) 2:

2.4.2 Sự khác biệt giữa hai phương tiện kiểm tra: Quan sát đôi Trình bày trong phần này là những phương pháp để tiến hành kiểm tra giả thuyết và cho xây dựng khoảng dence con fi cho các quan sát kết hợp thu được từ hai quần thể. Lợi thế của việc quan sát cặp đôi có lẽ là minh họa tốt nhất bằng ví dụ. Giả sử rằng một nhà sản xuất lốp xe là quan tâm đến việc một lốp thép-belted mới kéo dài lâu hơn so với mô hình hiện tại của công ty. Một thử nghiệm mới có thể được thiết kế như vậy mà hai lốp xe mới thiết kế được cài đặt trên các bánh xe phía sau của 20 chiếc xe được lựa chọn ngẫu nhiên và lốp thiết kế existing- được cài đặt trên các bánh xe phía sau của một chiếc xe 20. Tất cả các trình điều khiển được yêu cầu lái xe theo cách thông thường của họ cho đến khi lốp xe của họ mang ra ngoài. Số dặm do mỗi lái xe được ghi lại để so sánh tuổi thọ của lốp có thể được kiểm tra. Một thí nghiệm được cải thiện là có thể. Ngày 20 Random xe domly chọn, một trong mỗi loại lốp được cài đặt trên các bánh xe phía sau và, như trong thí nghiệm trước đó, những chiếc xe được lái xe cho đến khi lốp mòn. Các kết quả thử nghiệm đầu tiên kinh trong các mẫu độc lập, không có mối quan hệ giữa các quan sát trong một mẫu và các quan sát trong mẫu thứ hai. Các bài kiểm tra thống kê được thiết kế trước đây là phù hợp với những dữ liệu này. Trong thí nghiệm thứ hai, một quan sát trong một mẫu được ghép nối với một quan sát trong mẫu khác vì mỗi cặp "cạnh tranh" lốp xe chia sẻ cùng một chiếc xe và lái xe. Thí nghiệm này được gọi là một thiết kế cặp phù hợp. Từ một quan điểm thống kê, hai lốp xe từ cùng một chiếc xe đã được ghép nối để loại bỏ các biến thể trong các phép đo do lái xe phong cách, thói quen phanh, bề mặt lái xe, vv Hiệu quả của thiết kế này là sự thay đổi trong lốp mặc gây ra bởi sự khác biệt khác so với Loại lốp là zero (giữa cặp), làm cho nó ef hơn fi cient đối với việc phát hiện sự khác biệt do loại lốp. Các tham số quan tâm trong kỳ thi này là sự khác biệt trong phương tiện giữa hai quần thể, biểu hiện bằng Q d, và là định nghĩa là Q d! Q1 Q 2. Các giả thuyết không và thay thế cho một trường hợp thử nghiệm hai đuôi là H0: Q d! 0 . H a: Q d {0 Các thống kê kiểm định cho các quan sát cặp là t *! Xd Qd sd , (2.19) nd nơi tions, Xd là sự khác biệt giữa mẫu trung bình mỗi cặp observa- sd là mẫu độ lệch chuẩn của các sự khác biệt, và sam- kích thước ple, nd, là số quan sát cặp. Khi giả thuyết là đúng sự thật và dân số có nghĩa là sự khác biệt là nd, các số liệu thống kê có ít phối phân với n - 1 bậc tự do. Cuối cùng, một (1 - E) 100% con fi dence gian cho các giá trị trung bình khác biệt Q d là Xd s tE 2 sd. (2.20) n d 2.4.3 Sự khác biệt giữa hai dân Testing Proportions Trong phần này một phương pháp để kiểm tra sự khác biệt giữa hai tỷ lệ dân số và suy luận bản vẽ được mô tả. Phương pháp này liên quan đến số liệu đo trên tính (danh nghĩa), chứ không phải là một định lượng, quy mô. Khi cỡ mẫu là fi rừng đặc dụng ciently lớn, các bản phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu p1 và p 2 và sự khác biệt của họ p1 p 2 là xấp xỉ phân bố bình thường, tạo ra các bài kiểm tra thống kê và con fi dence tính toán khoảng thời gian trình bày. Giả sử rằng cỡ mẫu được fi rừng đặc dụng ciently lớn và hai quần được lấy mẫu ngẫu nhiên, các giả thuyết cạnh tranh cho sự khác biệt giữa tỷ lệ dân số là H0: p1 p2! 0 . H a: p1 p2 {0 Như trước, kiểm tra một phía đối với tỷ lệ dân số có thể được xây dựng. Kiểm định thống kê cho sự khác biệt giữa hai tỷ lệ dân số khi sự khác biệt null-ra giả thuyết là 0 là Z *! 1 2 0, (2.21) p p ¨ 1 1 ¸ p 1 p ª n1 2 º nơi p1! x1 n1 là tỷ lệ mẫu cho các mẫu 1, p 2! x2 n2 là tỷ lệ mẫu cho mẫu 2, và p tượng trưng cho tỷ lệ kết hợp ở cả các mẫu và được tính như sau p x1 x2. ! nn 1 2 Khi chênh lệch đưa ra giả thuyết giữa hai tỷ lệ là một số c không đổi, các giả thuyết cạnh tranh trở nên H0 : p1 p2 e 0 . H a: p1 p2 "0 phương trình 2.21 được sửa đổi như vậy mà các kiểm định thống kê trở nên p 1 p 2 c Z *! p 1 1 p 1 n1 p 2 1 p 2 n2 (2.22). Hai phương trình tái fl ect một sự khác biệt cơ bản trong hai giả thuyết vô eses. Đối với các giả thuyết zero-sự khác biệt nó được giả định rằng p1 và p 2 là tỷ lệ mẫu được rút ra từ một dân số. Với những người không-không-nhau chênh giả thuyết nó được giả định rằng p1 và p 2 là tỷ lệ mẫu được rút ra từ hai quần và sai số chuẩn gộp của sự khác biệt giữa hai tỷ lệ mẫu là ước tính. Khi xây dựng khoảng dence con fi cho sự khác biệt giữa hai tỷ lệ dân số, ước tính gộp lại không được sử dụng vì hai tỷ lệ này không giả định là bằng A mẫu lớn (1 - E). 100% con fi- khoảng dence cho sự khác biệt giữa hai tỷ lệ dân số được p 1 p 2 s ZE 2 p 1 p n1 p 1 p n2 . (2.23) 2.4.4 Kiểm tra các bình đẳng của hai dân Variances Giả sử có quan tâm đến các giả thuyết cạnh tranh 2 2 H o: W1! W 2 2 2 H a: W1 {W 2 hoặc 2 2 H o: W1 e W 2 . 2 2 H a: W1 "W 2 Hãy xem xét đầu tiên kinh một bài kiểm tra cho dù 2 lớn hơn W 2 Hai độc lập. mẫu được thu thập từ quần thể 1 và 2, và các thử nghiệm sau đây thống kê được tính: F * n1 1, n2 1 s2 1, (2.24)! 2 nơi F * n 1, n 1 là một biến ngẫu nhiên F-phân phối với n1 - 1 độ của 1 2 tự do trong tử số và n2 - 1 bậc tự do ở mẫu (để biết thêm thông tin về sự phân bố F, xem Phụ lục A) Đó là. 2 quan trọng cần nhớ để đặt s1 trong tử số bởi vì, trong một đuôi 2 thử nghiệm , từ chối có thể xảy ra ở phần đuôi bên phải của chỉ phân phối. Nếu 2 s1 là nhỏ hơn so với s2, giả thuyết không thể bị từ chối vì các số liệu thống kê giá trị sẽ được ít hơn 1.00. Đối với một bài kiểm tra hai đuôi một cách tiếp cận thực tế là để chèn lớn hơn mẫu không đúng trong tử số. Sau đó, nếu một thống kê thử nghiệm lớn hơn một trọng giá trị kết hợp với một Speci fi c E, giả thuyết được loại bỏ tại 2E trọng yếu cấp fi cance (gấp đôi mức độ trọng yếu fi cance thu được từ Bảng C.4 trong Phụ lục C ). Tương tự như vậy, nếu p-giá trị tương ứng với một cái đuôi của phân phối F thu được, nó được tăng lên gấp đôi để có được những thực tế p-giá trị. Các đương alent F thử nghiệm mà không cần chèn của phương sai mẫu lớn nhất trong tử số có thể được tìm thấy trong Aczel (1993).