2.1.4 DifferentiationDifferentiatio

2.1.4 Differentiation

Differentiation is, fundamentally, all about calculating rates of change. Recall that the derivative of a function, f (x) say, at any point a is the slope of the tangent line to f at the point a. Recall, also, that the tangent at a is defined to be the line through a with slope equal to the limit of the slopes of lines drawn between a and points near a, as depicted in Figure 2.1. So it is that we come to the limit definition of the derivative
Let us explore this a little before we introduce Maple’s native differentiation com- mands. We start with a parabola f (x) = x2 and so, of course, we know that fr (x) = 2x
meaning that the tangent to the parabola at any point a has slope 2a. We write a small procedure to output the limit and its value.
If we look a little closer at the final limit, we should see that
(x + h)2 − x2 = x2 − 2hx − h2 − x2 = h(2x − h) and so the limit then becomes

lim h(2x − h) = lim (2x

h) = 2x

h→0 h

h→0 −

thus verifying both Maple’s limit calculation and our regular differentiation technique (for the parabola, at least).
Turning our eye now to trigonometric functions, we choose the sin function and the point π/2. This produces a limit that is a little trickier to work out on paper.

> .sin, Pi . ;
 2







lim
h→0


cos(h) − 1 = 0
h

As ever, our instinct should be to plot the function. However, to be on the safe side, we ask for a lot of sample points, to try to get a good idea of the behavior near the h = 0 point which we know is undefined.

Kết quả (Việt) 1:

2.1.4 sự khác biệtSự khác biệt là, về cơ bản, tất cả về tính toán tỷ lệ thay đổi. Thu hồi đạo hàm của một hàm f (x) nói, tại bất kỳ điểm một là độ dốc của tiếp tuyến đường để f tại điểm a. Recall, ngoài ra, mà ốp tại một được định nghĩa là đường dây thông qua một với độ dốc bằng để hạn chế các sườn dốc của đường vẽ giữa một và chỉ gần một, như mô tả trong hình 2.1. Vì vậy, nó là chúng ta đến để định nghĩa giới hạn của đạo hàmHãy để chúng tôi khám phá điều này một chút trước khi chúng tôi giới thiệu của Maple Thổ dân sự khác biệt com-mands. Chúng tôi bắt đầu với một parabol f (x) = x 2 và do đó, tất nhiên, chúng tôi biết rằng fr (x) = 2 xcó nghĩa là tiếp tuyến đến parabol tại bất kỳ điểm một có độ dốc 2a. Chúng tôi viết một thủ tục nhỏ để đầu ra giới hạn và giá trị của nó.Nếu chúng ta nhìn gần hơn một chút ở giới hạn cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng(x + h) 2 − x 2 = x 2 − 2hx − h2 − x 2 = h (2 x − h) và do đó, giới hạn sau đó trở thành Lim h (2 x − h) = lim (2 x h) = 2 x h→0 h h→0 − do đó xác nhận của Maple giới hạn tính toán và kỹ thuật sự khác biệt thường xuyên của chúng tôi (cho parabol, ít).Chuyển mắt của chúng tôi ngay bây giờ để chức năng lượng giác, chúng tôi chọn chức năng tội lỗi và điểm số π/2. Điều này tạo ra một giới hạn là một chút trickier để làm việc ra trên giấy. > .sin, pi. ; 2 Limh→0 cos(h) − 1 = 0h Như bao giờ hết, bản năng của chúng tôi nên là để vẽ các chức năng. Tuy nhiên, để ở bên an toàn, chúng tôi yêu cầu rất nhiều mẫu điểm, để cố gắng để có được một ý tưởng tốt về hành vi gần h = 0 điểm mà chúng tôi biết là không xác định.

Kết quả (Việt) 2:

2.1.4 Sự khác biệt Sự khác biệt là, về cơ bản, tất cả về tính toán tốc độ thay đổi. Nhớ lại rằng đạo hàm của một hàm, f (x) nói, tại bất kỳ thời điểm một là độ dốc của đường tiếp tuyến để f tại điểm a. Nhớ lại, cũng có, mà các tiếp tuyến tại một được định nghĩa là đường thẳng đi qua một có độ dốc bằng giới hạn của độ dốc của dòng kẻ giữa a và điểm gần một, như mô tả trong hình 2.1. Vì vậy, đó là chúng ta đi đến định nghĩa giới hạn của đạo hàm Hãy để chúng tôi khám phá này một chút trước khi chúng tôi giới thiệu sự phân biệt nguồn gốc mands tranh của Maple. Chúng tôi bắt đầu với một parabol (x) f = x2 và như vậy, tất nhiên, chúng ta biết rằng fr (x) = 2x có nghĩa rằng các tiếp tuyến với parabol tại bất kỳ điểm một có độ dốc 2a. Chúng tôi viết một thủ tục nhỏ đến sản lượng giới hạn và giá trị của nó. Nếu chúng ta nhìn gần hơn một chút ở giới hạn cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng (x + h) 2 - x2 = x2 - 2hx - h2 - x2 = h (2x - h ) và do đó, các giới hạn sau đó trở thành lim h (2x - h) = lim (2x h) = 2x h → 0 h h → 0 - do đó xác minh cả hai giới hạn tính toán của Maple và kỹ thuật khác biệt thường xuyên của chúng tôi (cho parabol, ít nhất). Biến mắt của chúng tôi ngay bây giờ để hàm lượng giác, chúng ta chọn hàm sin và điểm π / 2. Điều này tạo ra một giới hạn đó là một chút phức tạp hơn để làm việc ra trên giấy.> .sin, Pi. ;  2    lim h → 0 cos (h) - 1 = 0 h Như bao giờ hết, bản năng của chúng ta nên để âm mưu chức năng. Tuy nhiên, để được ở bên an toàn, chúng tôi yêu cầu cho rất nhiều các điểm lấy mẫu, thử để có được một ý tưởng tốt về các hành vi gần h = 0 điểm mà chúng ta biết là không xác định.