At this point, we know x3. Were we

At this point, we know x3. Were we to substitute the value of x3 into equation 2, we could compute x2 and hence could determine x1 from equation 1. So a solution exists; the system is consistent. (In fact, x2 is uniquely determined by equation 2 since x3 has

only one possible value, and x1 is therefore uniquely determined by equation 1. So the solution is unique.) ■
EXAMPLE 3 Determine if the following system is consistent:
x2 — 4x3 = 8 2x1 — 3x2 + 2x3 = 1 5x1 — 8x2 + 7x3 = 1
SOLUTION The augmented matrix is
0 1 —4
2 —3 2
587
To obtain an x1 in the first equation, interchange rows 1 and 2:
1
2 —3 2
0 1 —4
587
1
To eliminate the 5x1 term in the third equation, add —5/2 times row 1 to row 3:
22 —3 2 1 3
0 1 —4 8
0 —1/2 2 —3/2
Next, use the x2 term in the second equation to eliminate the — (1/2)x2 term from the third equation. Add 1/2 times row 2 to row 3:


The augmented matrix is now in triangular form. To interpret it correctly, go back to equation notation:
2x1 — 3x2 + 2x3 = 1 x2 — 4x3 = 8 0 = 5/2
The equation 0 = 5/2 is a short form of 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2. This system in trian- gular form obviously has a built-in contradiction. There are no values of x1, x2, x3 that satisfy (8) because the equation 0 = 5/2 is never true. Since (8) and (5) have the same solution set, the original system is inconsistent (i.e., has no solution). ■
Pay close attention to the augmented matrix in (7). Its last row is typical of an inconsistent system in triangular form. 
1— NUMERICAL NOTE
In real-world problems, systems of linear equations are solved by a Computer. For a square coefficient matrix, Computer programs nearly always use the elimination algorithm given here and in Section 1.2, modified slightly for improved accuracy.
The vast majority of linear algebra problems in business and industry are solved with programs that usefloatingpoint arithmetic. Numbers are represented as decimals ± ■d1 ••• dp X 10r, where r is an integer and the number p of digits to the right of the decimal point is usually between 8 and 16. Arithmetic with such numbers typically is inexact, because the result must be rounded (or truncated) to the number of digits stored. “Roundoff error” is also introduced when a number such as 1/3 is entered into the Computer, since its decimal representation must be approximated by a finite number of digits. Fortunately, inaccuracies in Aoating point arithmetic seldom cause problems. The numerical notes in this book will occasionally wam of issues that you may need to consider later in your career.
PRACTICE PROBLEMS

x2 — 7X3 + 2X4 = —4 5X3 — x4 = 7
x3 + 3X4 = —5


2. The augmented matrix of a linear system has been transformed by row operations into the form below. Determine if the system is consistent.
15 2 —6
0 4 —7 2
0 0 5 0
3. Is (3,4, —2/ a solution of the following system?
5x1 — x2 + 2x3 = 7
—2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 —7x1 + 5x2 — 3x3 = —7
4. For what values of h and k is the following system consistent?
2x1 — x2 = h —6x1 + 3x2 = k

Kết quả (Việt) 1:

Tại thời điểm này, chúng tôi biết x 3. Chúng ta đã thay thế giá trị của x 3 vào phương trình 2, chúng tôi có thể tính toán x 2 và do đó có thể xác định x 1 từ phương trình 1. Vì vậy, một giải pháp tồn tại; Hệ thống này là phù hợp. (Trong thực tế, x 2 duy nhất được xác định bởi phương trình 2 kể từ khi x 3 cógiá trị có thể chỉ có một, và x 1 do đó duy nhất được xác định bởi phương trình 1. Vì vậy, giải pháp là duy nhất.) ■Ví dụ 3 xác định nếu hệ thống sau đây phù hợp:x 2-4 x 3 = 8 2 x 1-3 x 2 + 2 x 3 = 1 5 x 1-8 x 2 + 7 x 3 = 1Giải pháp là tăng cường ma trận0 1-42-3 2587Để có được một x 1 trong phương trình đầu tiên, trao đổi hàng 1 và 2:12-3 20 1-45871Để loại bỏ các thuật ngữ 5 x 1 trong phương trình thứ ba, thêm — 5/2 lần hàng 1 để hàng 3:22-3 2 1 30 1-4 80-2 1/2-3/2Tiếp theo, sử dụng x 2 các thuật ngữ trong phương trình thứ hai để loại bỏ các — (1/2) x 2 hạn từ phương trình thứ ba. Thêm 1/2 lần row 2 hàng 3: Ma trận tăng cường hiện đang ở dạng tam giác. Để giải thích nó một cách chính xác, quay trở lại để ký hiệu phương trình:2 x 1-3 x 2 + 2 x 3 = 1 x 2-4 x 3 = 8 0 = 5/2Phương trình 0 = 5/2 là một hình thức ngắn của 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2. Hệ thống này trong trian - mẫu gular rõ ràng là có một mâu thuẫn được xây dựng trong. Không có không có giá trị của x 1, x 2, 3 x đáp ứng (8) bởi vì phương trình 0 = 5/2 không bao giờ là đúng. Kể từ (8) và (5) có cùng một giải pháp thiết lập, Hệ thống gốc là không phù hợp (tức là, có không có giải pháp). ■Hãy chú ý tăng cường ma trận trong (7). Hàng cuối cùng của nó là điển hình của một hệ thống không phù hợp trong dạng tam giác. 1 — SỐ LƯU Ý Trong vấn đề thế giới thực, các hệ thống phương trình tuyến tính được giải quyết bằng một máy tính. Một ma trận vuông hệ số, máy tính chương trình gần như luôn luôn sử dụng các thuật toán loại bỏ được đưa ra ở đây và trong phần 1.2, sửa đổi một chút để cải thiện độ chính xác.Đại đa số đại số tuyến tính, các vấn đề trong kinh doanh và ngành công nghiệp được giải quyết với chương trình đó số học usefloatingpoint. Số điện thoại được đại diện như thập phân ± ■d1 • dp X 10r, nơi là một số nguyên và p số chữ số bên phải của điểm thập phân là thường giữa 8 và 16. Số học với số lượng như vậy thường là những, bởi vì kết quả phải được làm tròn (hoặc cắt ngắn) số lượng chữ số được lưu trữ. "Roundoff lỗi" cũng đã giới thiệu khi một số như 1/3 được nhập vào máy tính, kể từ khi đại diện thập phân của nó phải thể xấp xỉ bởi một số hữu hạn các chữ số. May mắn thay, không chính xác trong Aoating điểm số học hiếm khi gây ra vấn đề. Số ghi chú trong cuốn sách này thỉnh thoảng sẽ wam của vấn đề mà bạn có thể cần phải xem xét sau này trong sự nghiệp của bạn.THỰC HÀNH VẤN ĐỀ x 2-7 X 3 + 2 X 4 =-4 5 X 3-x 4 = 7x 3 + 3 X 4 =-5 2. tăng cường ma trận của một hệ thống tuyến tính đã được chuyển đổi bởi hàng hoạt động vào mẫu dưới đây. Xác định nếu hệ thống này là phù hợp.15 2-60 4-7 20 0 5 03. là (3,4, — 2 / a giải pháp của hệ thống sau?5 x 1-x 2 + 2 x 3 = 7-2 x 1 + 6 x 2 + 9 x 3 = 0-7 x 1 + 5 x 2-3 x 3 =-74. đối với những gì giá trị của h và k là hệ thống sau đây phù hợp?2 x 1-x 2 = h-6 x 1 + 3 x 2 = k

Kết quả (Việt) 2:

Tại thời điểm này, chúng ta biết x3. Đã được chúng tôi để thay thế giá trị của x3 vào phương trình 2, chúng ta có thể tính toán x2 và do đó có thể xác định từ phương trình x1 1. Vì vậy, một giải pháp tồn tại; Hệ thống này là phù hợp. (Trong thực tế, x2 được xác định duy nhất bởi phương trình 2 kể từ x3 có thể chỉ có một giá trị, và do đó x1 là duy nhất được xác định bởi phương trình 1. Vì vậy, giải pháp là duy nhất.) ■ Ví dụ 3 Xác định nếu hệ thống sau đây là phù hợp: x2 - 4x3 = 8 2x1 - 3x2 + 2x3 = 1 5x1 - 8x2 + 7x3 = 1 SOLUTION Ma trận tăng cường là 0 1 -4 2 -3 2 587 Để có được một x1 trong phương trình đầu tiên, hàng trao đổi 1 và 2: 1 2 -3 2 0 1 -4 587 1 Để loại bỏ các hạn 5x1 trong phương trình thứ ba, thêm lần -5/2 dòng 1 đến dòng 3: 22 -3 2 1 3 0 1 -4 8 0 -1/2 -3/2 2 Tiếp theo , sử dụng thuật ngữ x2 trong phương trình thứ hai để loại bỏ - (02/01) hạn x2 từ phương trình thứ ba. Thêm 1/2 lần 2 hàng cách hàng 3: Ma trận tăng cường tại là ở dạng hình tam giác. Để giải thích nó một cách chính xác, trở lại ký hiệu phương trình: 2x1 - 3x2 + 2x3 = 1 x2 - 4x3 = 8 0 = 5/2 Phương trình 0 = 5/2 là một hình thức ngắn của 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2. Hệ thống ở dạng gular tam giác này rõ ràng là có một sự mâu thuẫn được xây dựng trong. Không có giá trị của x1, x2, x3 thỏa mãn (8) vì phương trình 0 = 5/2 là không bao giờ thành sự thật. Từ (8) và (5) có các bộ giải pháp tương tự, hệ thống ban đầu là không phù hợp (ví dụ, không có giải pháp). ■ Hãy chú ý đến các ma trận tăng cường trong (7). Dòng cuối cùng của nó là điển hình của một hệ thống nhất quán trong hình tam giác.  1- LƯU Ý SỐ Trong các vấn đề thế giới thực, hệ phương trình tuyến tính được giải quyết bằng một máy tính. Đối với một hệ số ma trận vuông, các chương trình máy tính gần như luôn luôn sử dụng các thuật toán loại bỏ đưa ra ở đây và tại mục 1.2, sửa đổi đôi chút để cải thiện độ chính xác. Phần lớn các vấn đề đại số tuyến tính trong kinh doanh và công nghiệp được giải quyết với các chương trình mà usefloatingpoint số học. Các số được đại diện là số thập phân ± ■ d1 ••• dp X 10r, trong đó r là một số nguyên và số p của chữ số bên phải dấu thập phân là thường giữa 8 và 16. Số học với con số như vậy thường là không chính xác, bởi vì Kết quả phải được làm tròn (hoặc cắt ngắn) để số chữ số được lưu trữ. "Roundoff lỗi" cũng được giới thiệu khi một số như là 1/3 được nhập vào máy tính, kể từ khi biểu diễn thập phân của nó phải được xấp xỉ bởi một số hữu hạn các chữ số. May mắn thay, không chính xác trong Aoating điểm số học hiếm khi gây ra vấn đề. Các ghi chú số trong cuốn sách này đôi khi WAM của vấn đề mà bạn có thể cần phải xem xét sau này trong sự nghiệp của bạn sẽ. VẤN ĐỀ THỰC x2 - 7X3 + 2x4 = -4 5x3 - x4 = 7 x3 + 3x4 = -5 2. Ma trận tăng cường của một hệ thống tuyến tính đã được biến đổi bởi các hoạt động hàng vào biểu mẫu dưới đây. Xác định nếu hệ thống này là phù hợp. 15 2 -6 0 4 -7 2 0 0 5 0 3. (3,4, -2 / một giải pháp của hệ thống sau đây? 5x1 - x2 + 2x3 = 7 -2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 -7x1 + 5x2 - 3x3 = -7 4. Đối với những giá trị của h và k là hệ thống sau đây phù hợp? 2x1 - x2 = h -6x1 + 3x2 = k