Imagine the points lying on a map,

Imagine the points lying on a map, and choose the west most point, say P1, as one of
the two that will determine the line (there are at most two west most points, choose any
of them). Place a Cartesian system of coordinates with the origin at P1, the x-axis in the
direction west–east, and the y-axis in the direction south–north. Order the rest of the
points in an increasing sequence P2, P3, . . ., P2n+2 with respect to the oriented angles
that P1Pi form with the x-axis (see Figure 3.1.1). This is possible because no three
points are collinear and the angles are between −90◦ and 90◦. If we choose P1Pn+2 to
be the line, then P2, P3, . . ., Pn+1 lie inside the angle formed by P1Pn+2 and the negative
half of the y-axis, and Pn+3, Pn+4, . . ., P2n+2 lie inside the angle formed by P1Pn+2
and the positive half of the y-axis, so the two sets of points are separated by the line
P1Pn+2, which shows that P1 and Pn+2 have the desired property.
The following problems are left to the reader.
1. Prove that the digits of any six-digit number can be permuted in such a way that
the sum of the first three digits of the new number differs by at most 9 from the
sum of the remaining digits.
3.2. Squares and Cubes 71
2. The unit cube
C = {(x,y, z) | 0 ≤ x,y, z ≤ 1}
is cut along the planes x = y, y = z, and z = x. How many pieces are there?
3. Show that if 2n+1 real numbers have the property that the sum of any n is less
than the sum of the remaining n+1, then all these numbers are positive.
4. Consider seven distinct positive integers not exceeding 1706. Prove that there
are three of them, say a, b, c, such that a < b+c< 4a.
5. Let a be the least and A the largest of n distinct positive integers. Prove that the
least common multiple of these numbers is greater than or equal to na and that
the greatest common divisor is less than or equal to A/n.
6. Consider 2n distinct positive integers a1, a2, . . ., a2n not exceeding n2 (n > 2).
Prove that some three of the differences ai−aj are equal.
7. Given 2n+3 points in the plane, no three collinear and no four on a circle, prove
that there exists a circle containing three of the points such that exactly n of the
remaining points are in its interior.
8. Given 4n points in the plane, no three collinear, show that one can form n nonintersecting
(not necessarily convex) quadrilateral surfaces with vertices at these
points.
9. Given 69 distinct positive integers not exceeding 100, prove that one can choose
four of them a, b, c, d such that a < b < c and a+b+c = d. Is this statement
true for 68 numbers?
10. Prove that from any 25 distinct positive numbers, one can choose two whose sum
and difference do not coincide with any of the remaining 23.
11. In a 10×10 table are written the integers from 1 to 100. From each row we select
the third largest number. Show that the sum of these numbers is not less than the
sum of the numbers in some row.
12. Given n positive integers, consider all possible sums formed by one or more of
them. Prove that these sums can be divided into n groups such that in each group
the ratio of the largest to the smallest does not exceed 2.

Kết quả (Việt) 1:

Hãy tưởng tượng những điểm nằm trên bản đồ, và chọn phía tây hầu hết điểm, nói P1, là một tronghai sẽ xác định các dòng (không có tối đa hai Tây điểm nhất, chọn bất kỳcủa họ). Đặt một hệ thống Descartes của tọa độ với nguồn gốc tại P1, trục x trong cáchướng tây-đông, và trục y ở hướng Nam-Bắc. Để phần còn lại của cácđiểm theo một thứ tự ngày càng tăng P2, P3,..., P2n + 2 với tôn trọng đến các góc theo định hướngmà hình thức P1Pi với trục x (xem hình 3.1.1). Điều này có thể bởi vì không có bađiểm được hoặc và các góc giữa −90◦ và 90◦. Nếu chúng tôi chọn P1Pn + 2 đểlà dòng, sau đó P2, P3,..., Pn + 1 nằm bên trong góc được hình thành bởi P1Pn + 2 và tiêu cựcmột nửa số trục y, và Pn + 3, Pn 4,..., P2n + 2 nằm bên trong góc được hình thành bởi P1Pn + 2và một nửa tích cực của trục, do đó, hai bộ điểm được tách ra bởi dòngP1Pn + 2, trong đó cho thấy rằng P1 và Pn + 2 có tài sản mong muốn.Những vấn đề sau đây được để lại cho người đọc.1. chứng minh rằng các chữ số của bất kỳ số sáu chữ số có thể được permuted như vậy màtổng của các chữ số đầu tiên của số mới khác với của tối đa 9 từ cáctổng của các chữ số còn lại.3.2. hình vuông và hình khối 712. đơn vị khối lập phươngC = {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ 1}cắt dọc theo những chiếc máy bay x = y, y = z, và z = x. Làm thế nào nhiều miếng không?3. cho thấy rằng nếu 2n + 1 số thực có tài sản rằng tổng của bất kỳ n là ít hơnhơn số tiền còn lại là n + 1, sau đó tất cả những con số này là tích cực.4. xem xét bảy khác biệt nguyên dương đến 1706. Chứng minh rằng cóba trong số họ, nói a, b, c, như vậy mà một < b + c < 4a.5. để cho một ít nhất và lớn nhất của n số nguyên khác biệt tích cực. Chứng minh rằng cácbội số chung nhỏ nhất của những con số này là lớn hơn hoặc bằng na và màước số chung lớn nhất là nhỏ hơn hoặc bằng A/n.6. xem xét 2n khác biệt số nguyên dương a1, a2,..., a2n đến n2 (n > 2).Chứng minh rằng một số ba ai−aj sự khác biệt là bình đẳng.7. cho 2n + 3 điểm trong mặt phẳng, không có ba hoặc và có bốn ngày một vòng tròn, chứng minhrằng có tồn tại một vòng tròn có ba điểm như vậy là chính xác n của cácđiểm còn lại trong nội thất của nó.8. cung cấp 4n điểm trong mặt phẳng, không có ba hoặc, Hiển thị một trong những có thể tạo thành n nonintersecting(không nhất thiết phải lồi) tứ giác bề mặt với đỉnh lúc nàyđiểm.9. cho 69 số nguyên dương khác biệt không vượt quá 100, chứng minh rằng một trong những có thể chọnbốn số a, b, c, d sao cho một < b < c và a + b + c = d. Đây có phải là tuyên bốthật sự cho số 68?10. chứng minh rằng từ bất kỳ con số 25 khác biệt tích cực, người ta có thể chọn hai mà tổngvà sự khác biệt không trùng với bất kỳ 23 còn lại.11. trong một 10 × 10 bảng được viết lưu các số nguyên từ 1 đến 100. Từ mỗi hàng chúng tôi chọnsố lớn thứ ba. Hiển thị tổng hợp của những con số này là không ít hơn cáctổng của các số trong một số hàng.12. cho số nguyên dương n, xem xét tất cả các khoản tiền có thể được hình thành bởi một hoặc nhiềuhọ. Chứng minh rằng các khoản tiền có thể được chia thành các nhóm n như vậy mà trong mỗi nhómtỷ lệ lớn nhất đến nhỏ nhất không vượt quá 2.

Kết quả (Việt) 2:

Hãy tưởng tượng các điểm nằm trên một bản đồ, và chọn phía tây điểm nhất, nói P1, là một trong
hai mà sẽ xác định dòng (có ít nhất hai hầu hết các điểm phía tây, chọn bất kỳ
của họ). Đặt một hệ thống Cartesian tọa độ với nguồn gốc tại P1, trục x trong
hướng tây-đông, và trục y theo hướng nam-bắc. Sắp xếp các phần còn lại của các
điểm trong một dãy tăng P2, P3,. . ., P2n + 2 đối với các góc định hướng với
mà hình thức với trục x P1Pi (xem Hình 3.1.1). Điều này là có thể bởi vì không có ba
điểm thẳng hàng và các góc độ là giữa -90◦ và 90◦. Nếu chúng ta chọn P1Pn + 2 để
được các dòng, sau đó P2, P3,. . ., Pn + 1 lời nói dối trong các góc tạo thành bởi P1Pn + 2 và các tiêu cực
nửa của trục y, và Pn + 3, Pn + 4,. . ., P2n + 2 nằm bên trong các góc tạo thành bởi P1Pn + 2
và nửa dương của trục y, do đó, hai bộ điểm được ngăn cách bởi dòng
P1Pn + 2, trong đó cho thấy rằng P1 và Pn + 2 đã mong muốn tài sản.
Các vấn đề sau để lại cho người đọc.
1. Chứng minh rằng các chữ số của bất kỳ số có sáu chữ số có thể được hoán vị trong một cách mà
tổng của ba chữ số đầu tiên của số mới khác bởi ít nhất 9 từ
tổng các chữ số còn lại.
3.2. Hình vuông và khối 71
2. Các đơn vị khối
C = {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ 1}
được cắt dọc theo mặt phẳng x = y, y = z, z = x. Có bao nhiêu phần là có?
3. Chứng minh rằng nếu 2n + 1 số thực có những tài sản mà tổng của bất kỳ n là ít
hơn tổng của n còn lại + 1, sau đó tất cả những con số này là tích cực.
4. Hãy xem xét bảy nguyên dương khác biệt không quá 1706. Chứng minh rằng có
ba trong số họ, nói a, b, c, như vậy mà a <b + c <4a.
5. Hãy để một là ít nhất và A lớn nhất của các số nguyên dương n riêng biệt. Chứng minh rằng các
bội số chung nhỏ nhất của những con số lớn hơn hoặc bằng na và
ước số chung lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A / n.
6. Hãy xem xét 2n biệt nguyên dương a1, a2,. . ., N2 a2n không quá (n> 2).
Chứng minh rằng một số ba trong những khác biệt ai-aj đều bình đẳng.
7. Cho 2n + 3 điểm trong mặt phẳng, không có ba cộng tuyến và không có bốn trên một vòng tròn, chứng minh
rằng có tồn tại một vòng tròn chứa ba điểm như vậy mà chính xác n của các
điểm còn lại là trong nội thất của nó.
8. Với điểm 4n trong mặt phẳng, không có ba cộng tuyến, cho thấy rằng người ta có thể hình thành n nonintersecting
(không nhất thiết phải lồi) bề mặt tứ giác với đỉnh tại các
điểm.
9. Với 69 nguyên dương khác biệt không quá 100, chứng minh rằng người ta có thể chọn
bốn người a, b, c, d sao cho a <b <c và a + b + c = d. Là tuyên bố này
đúng đối với 68 số?
10. Chứng minh rằng bất kỳ từ 25 số tích cực rõ rệt, người ta có thể chọn hai có tổng
và sự khác biệt không trùng với bất kỳ còn lại 23.
11. Trong một bảng 10 × 10 được viết các số nguyên từ 1 đến 100. Từ mỗi hàng, chúng tôi chọn
số lớn thứ ba. Chứng minh rằng tổng của các số không thấp hơn
tổng của các số trong một số liên tiếp.
12. Với n nguyên dương, xem xét tất cả các khoản tiền có thể được hình thành bởi một hoặc nhiều của
họ. Chứng minh rằng số tiền này có thể được chia thành n nhóm như vậy mà trong mỗi nhóm
tỷ lệ lớn nhất đến nhỏ nhất không vượt quá 2.