Proof. Assume A 1 is compact, and l

Proof. Assume A 1 is compact, and let
d = dist(A 1 ,A p ) := inf {d(x,y) : x ∈ A 1 ,y ∈ A p }.
By compactness there exists x 0 ∈ A 1 and a sequence {u n } ⊂ A p such that
lim n d(x 0 ,u n ) = d. Assume d > 0. Then
(2.1) d
? F p+1
(x 0 ),F p+1 (u n ) ? < · · · < d(F (x 0 ),F (u n )) < d(x 0 ,u n ).
Since the sequence
? F
p+1 (u n ) ? ∞
n=1
⊂ A 1 and A 1 is compact, this sequence
has a subsequence that converges to some z ∈ A 1 . By (2.1) and continuity of
the distance function it must be the case that
d
? z,F p+1
(x 0 ) ? ≤ d.
However this implies
d
? F p−1
(z),F 2p (x 0 ) ? < d
and since F p−1 (z) ∈ A p and F 2p (x 0 ) ∈ A 1 we have a contradiction. We
conclude therefore that d = 0 and A 1 ∩ A p 6= ∅. Thus by (1), A 1 ∩ A 2 6= ∅.
We now consider the sets A 0 1 = A 1 ∩ A 2 , A 0 2 = A 2 ∩ A 3 ,· · ·,A 0
P
= A P ∩ A 1 .
In view of condition (1) these sets are all nonempty (and closed) and A 0 1 is
compact. Thus conditions (1) and (2) of the theorem hold for F and the family
{A 0 i } p
i=1 , and by repeating the argument just given we conclude
A 0 1 ∩ A 0 p 6= ∅.
This in turn implies A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 6= ∅. Continuing step-by-step we conclude
A := ∩ p
i=1 A i
6= ∅.
Since A is compact and the restriction of F to A is contractive, we conclude
that F has a unique fixed point in A. Uniqueness follows from the fact that
any fixed point of F necessarily lies in A by condition (1).

Kết quả (Việt) 1:

Bằng chứng. Giả sử một 1 là nhỏ gọn, và để chod = q. (1 A, một p): = inf {d(x,y): x ∈ A 1, y ∈ một p}.Bởi compactness tồn tại x 0 ∈ A 1 và một dãy {u n} ⊂ A p sao choLim n d (x 0, u n) = mất Assume d > 0. Sau đó(2.1) d? F p + 1(x 0), F p + 1 (u n)? < · · · < d (F (x 0), F (u n)) < d (x 0, u n).Từ trình tự? Fp + 1 (u n)? ∞n = 1⊂ 1 và A 1 là nhỏ gọn, trình tự nàycó một subsequence hội tụ đến một số ∈ z một 1. Bởi (2,1) và liên tục củahàm khoảng cách nó phải là trường hợp màd? z, F p + 1(x 0)? ≤ d.Tuy nhiên điều này có nghĩad? F p−1(z), F 2p (x 0)? < dvà kể từ F p−1 (z) ∈ A p và 2p (x 0) F ∈ A 1 chúng ta có một mâu thuẫn. Chúng tôido đó kết luận rằng d = 0 và A 1 ∩ một p 6 = ∅. Như vậy bởi (1), A ∩ 1 A 2 6 = ∅.Chúng tôi bây giờ hãy xem xét các bộ 0 1 = ∩ 1 A 2, 0 2 = ∩ 2 A 3, · · ·, một 0P= A ∩ P A 1.Theo quan điểm của điều kiện (1) các bộ là tất cả nonempty (và đóng) và 0 1nhỏ gọn. Vì thế tiết (1) và (2) của định lý giữ cho F và gia đình{0 một i} pi = 1, và bởi lặp đi lặp lại các đối số chỉ cho chúng ta kết luận0 1 ∩ 6 p 0 = ∅.Điều này đến lượt nó ngụ ý A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 6 = ∅. tiếp tục từng bước chúng tôi kết luậnA: = ∩ pi = 1 một tôi6= ∅.Kể từ khi A là gọn nhẹ và hạn chế của F đến A là contractive, chúng tôi kết luậnF có duy nhất cố định điểm độc đáo A. sau từ thực tế đóbất kỳ điểm cố định F nhất thiết phải nằm trong một bởi tình trạng (1).

Kết quả (Việt) 2:

Bằng chứng. Giả sử A 1 là nhỏ gọn, và để cho
d = dist (A 1, A p): = inf {d (x, y): x ∈ A 1, y ∈ A p}.
Bằng cách chặt có tồn tại x 0 ∈ A 1 và một dãy {un} ⊂ A p mà
nd lim (x 0, un) = d. Giả sử d> 0. Sau đó
(2.1) d
? F p + 1
(x 0), F p + 1 (un)? <· · · <D (F (x 0), F (un)) <d (x 0, un).
Kể từ khi trình tự
? F
p + 1 (un)? ∞
n = 1
⊂ A 1 và A 1 là nhỏ gọn, trình tự này
có một dãy hội tụ đến một số z ∈ A 1. Bởi (2.1) và liên tục của
các hàm khoảng cách đó phải là trường hợp đó
d
? z, F p + 1
(x 0)? ≤ d.
Tuy nhiên điều này hàm ý
d
? F p-1
(z), F 2p (x 0)? <D
và từ F p-1 (z) ∈ A p và F 2p (x 0) ∈ A 1, chúng tôi có một mâu thuẫn. Chúng tôi
do đó kết luận rằng d = 0 và A 1 ∩ A p 6 = ∅. Vì vậy bằng cách (1), A 1 ∩ A 2 6 = ∅.
Bây giờ chúng ta xem xét các bộ A 0 1 = A 1 ∩ A 2, A 0 2 = A 2 ∩ A 3, · · ·, 0
P
= AP ∩ A 1.
Theo quan điểm của các điều kiện (1) những bộ đều là rỗng (và đóng cửa) và A 0 1 là
nhỏ gọn. Như vậy điều kiện (1) và (2) của các tổ chức định lý cho F và gia đình
{A i 0} p
i = 1, và bằng cách lặp lại những lập luận chỉ cho chúng tôi kết luận
0 1 ∩ A 0 p 6 = ∅.
Điều này ngụ ý A 1 A 2 ∩ ∩ A 3 6 = ∅. Tiếp tục bước từng bước chúng tôi kết luận
A: = ∩ p
i = 1 A i
. 6 = ∅
Từ A là nhỏ gọn và hạn chế của F đến A là là bảo thủ, chúng tôi kết luận
rằng F có một điểm cố định duy nhất trong A. Tính độc đáo sau từ thực tế là
bất kỳ điểm cố định của F nhất thiết phải nằm trong A theo điều kiện (1).