Notice that if M is a manifold in R

Notice that if M is a manifold in Rk and N is a manifold in Rl, then
we can regard M × N as a subset of Rk+l in a natural fashion. It is easily
seen that this subset of Rk+l is an m + n-dimensional manifold (according
to Definition 1.6.2), and that its differential structure is the same as that
provided by Theorem 2.5, where the product is regarded as an ‘abstract’ set.
Example 2.5.2 The product S1 ×R is an ‘abstract’ version of the cylinder.
As just remarked, it can be regarded as a subset of R2+1 = R3, and then it
becomes the usual cylinder.
The product S1×S1, which is an ‘abstract’ version of the torus, is naturally
regarded as a manifold in R4. The usual torus, which is a surface in R3, is
not identical with this set, but there is a natural bijective correspondence.
2.6 Smooth maps in Euclidean spaces
We shall now define the important notion of a smooth map between manifolds. We first study the case of manifolds in Rn.
Notice that the standard definition of differentiability in a point p of a
map f: Rn → Rl requires f to be defined in an open neighborhood of p in Rn.
This definition does not make sense for a map defined on an m-dimensional
manifold in Rn, because in general a manifold is not an open subset of Rn.
Definition 2.6.1. Let X ⊂ Rn and Y ⊂ Rl be arbitrary subsets. A map
f: X → Y is said to be smooth at p ∈ X, if there exists an open set W ⊂ Rn
around p and a smooth map F : W → Rl which coincides with f on W ∩ X.
The map f is called smooth if it is smooth at every p ∈ X.
If f is a bijection of X onto Y , and if both f and f −1 are smooth, then f
is called a diffeomorphism.
A smooth map F as above is called a local smooth extension of f. In
order to show that a map defined on a subset of Rn is smooth, one thus
has to find such a local smooth extension near every point in the domain of
definition. It is easily seen that a smooth function is continuous according
to Definition 2.1.4. We observe that the new notion of smoothness agrees
with the standard definition when X is open in Rn. We also observe that
the smoothness of f does not depend on which subset of Rl is considered as
the target set Y .
Definition 2.6.2. Let S ⊂ Rn and S ⊂ ˜ Rl be manifolds. A map f: S → S ˜
is called smooth if it is smooth according to Definition 2.6.1 with X = S and
Y = S ˜.
In particular, the above definition can be applied with S ˜ = R. A smooth
map f: S → R is said to be a smooth function, and the set of these is denoted
C∞(S). It is easily seen that C∞(S) is a vector space when equipped with the
standard addition and scalar multiplication of functions. Since a relatively
open set Ω ⊂ S is a manifold of its own (see Example 1.6.4), the space C∞(Ω)

Kết quả (Việt) 1:

Nhận thấy rằng nếu M là một đa tạp trong Rk và N là một đa tạp trong Rl, sau đóchúng tôi có thể quan tâm M × N là một tập hợp con của Rk + l trong một thời trang tự nhiên. Nó là dễ dàngnhìn thấy này tập hợp con của Rk + l là một m + n-chiều đa tạp (theođể định nghĩa 1.6.2), và rằng cấu trúc vi phân của nó là giống nhưcung cấp bởi định lý 2.5, nơi mà các sản phẩm được coi là một thiết lập 'tóm tắt'.Ví dụ 2.5.2 sản phẩm S1 × R là một phiên bản 'tóm tắt' xi lanh.Như chỉ nhận xét, nó có thể được coi là một tập hợp con của R2 + 1 = R3, và sau đó nótrở thành trụ thông thường.Sản phẩm S1 × S1, mà là một phiên bản 'tóm tắt' của hình xuyến, là tự nhiêncoi là một đa tạp trong R4. Hình xuyến thông thường là một bề mặt trong R3, làkhông giống hệt nhau với điều này thiết lập, nhưng có một sự tương ứng tự nhiên song ánh.2.6 các bản đồ mịn trong không gian EuclideChúng tôi bây giờ sẽ xác định các khái niệm quan trọng của bản đồ trơn tru giữa các đa tạp. Chúng tôi lần đầu tiên nghiên cứu trường hợp của các đa tạp trong Rn.Nhận thấy rằng định nghĩa tiêu chuẩn của tính ở một điểm p của mộtbản đồ f: Rn → Rl đòi hỏi f được định nghĩa trong một khu phố mở của p trong Rn.Định nghĩa này không có ý nghĩa cho một bản đồ được xác định trên một m-chiềuđa dạng trong Rn, bởi vì nói chung, một đa tạp không phải là một tập hợp con mở của Rn.Định nghĩa 2.6.1. Cho X ⊂ Rn và Y ⊂ Rl là tập con bất kỳ. Bản đồf: X → Y được gọi là mịn tại p ∈ X, nếu có tồn tại một tập mở W ⊂ RnQuanh p và bản đồ mịn F: W → Rl trùng với f ngày W ∩ X.Bản đồ f được gọi là mịn nếu nó là mịn tại mỗi p ∈ X.Nếu f là một song ánh của X vào Y, và nếu f và f −1 là mịn, thì fđược gọi là một diffeomorphism.Bản đồ mịn F như trên được gọi là một phần mở rộng địa phương mịn của f. trongđể hiển thị một bản đồ được xác định trên một tập hợp con của Rn là mịn, một do đóđã tìm thấy như một địa phương mịn phần mở rộng gần mỗi điểm thuộc phạm vi củađịnh nghĩa. Nó dễ dàng nhìn thấy rằng một hàm trơn là liên tục theođể định nghĩa 2.1.4. Chúng tôi quan sát rằng các khái niệm mới của êm ái đồng ývới định nghĩa tiêu chuẩn khi X được mở trong Rn. Chúng tôi cũng quan sát màêm ái của f không phụ thuộc vào đó tập hợp con của Rl được coi làthiết lập mục tiêu Y.Định nghĩa 2.6.2. Cho S ⊂ Rn và S ⊂ ˜ Rl là đa tạp. Một bản đồ f: S → S ˜được gọi là mịn nếu nó được mịn màng theo định nghĩa 2.6.1 với X = S vàY = S ˜.Đặc biệt, định nghĩa trên có thể được áp dụng với S ˜ = R. Một mịnbản đồ f: S → R được gọi là một chức năng mịn, và các thiết lập này là biểu hiệnC∞ (S). Nó dễ dàng nhìn thấy rằng C∞ (S) là một không gian vector khi được trang bị với cáctiêu chuẩn bổ sung và phép nhân vô hướng của chức năng. Kể từ khi một tương đốimở thiết lập Ω ⊂ S là một đa tạp của riêng của nó (xem ví dụ 1.6.4), không gian C∞(Ω)

Kết quả (Việt) 2:

Chú ý rằng nếu M là một đa tạp trong Rk và N là một đa tạp trong Rl, sau đó
chúng ta có thể coi M × N là một tập hợp con của Rk + l trong một thời trang tự nhiên. Nó có thể dễ dàng
nhìn thấy rằng tập hợp con của Rk + l là một m + n-chiều đa dạng (theo
Định nghĩa 1.6.2), và cấu trúc khác biệt của nó là tương tự như
cung cấp bởi Định lý 2.5, nơi sản phẩm được coi là một 'trừu tượng' thiết lập.
Ví dụ 2.5.2 Các sản phẩm S1 × R là một 'trừu tượng' phiên bản của hình trụ.
Như vừa nhận xét, nó có thể được coi như là một tập hợp con của R2 + 1 = R3, và sau đó nó
sẽ trở thành hình trụ thông thường.
Các sản phẩm S1 × S1, mà là một 'trừu tượng' phiên bản của hình xuyến, là tự nhiên được
coi là một đa tạp trong R4. Các đường gờ bình thường, mà là một bề mặt trong R3, là
không giống với thiết lập này, nhưng có một sự tương ứng song ánh tự nhiên.
2.6 bản đồ mượt mà trong không gian Euclide
Bây giờ chúng ta phải xác định các khái niệm quan trọng của bản đồ trơn tru giữa các đa tạp. Đầu tiên chúng ta nghiên cứu trường hợp của đa tạp trong Rn.
Chú ý rằng định nghĩa tiêu chuẩn của differentiability tại một điểm p của một
bản đồ f: Rn → Rl đòi hỏi f được định nghĩa trong một khu phố mở của p trong Rn.
Định nghĩa này không có ý nghĩa cho một bản đồ xác định trên một m chiều
đa tạp trong Rn, bởi vì nói chung một đa tạp không phải là một tập con mở của Rn.
Định nghĩa 2.6.1. Cho X ⊂ Rn và Y ⊂ Rl là tập con tùy ý. Một bản đồ
f: X → Y được cho là mịn tại p ∈ X, nếu có tồn tại một tập mở W ⊂ Rn
quanh p và một bản đồ trơn F: W → Rl trùng với f trên W ∩ X.
Các bản đồ f là gọi là mượt nếu nó được mịn màng ở mọi p ∈ X.
Nếu f là một song ánh của X vào Y, và nếu cả hai f và f -1 được mịn, sau đó f
được gọi là một diffeomorphism.
Một bản đồ trơn F như trên được gọi là một địa phương mở rộng trơn tru của f. Trong
thứ tự để cho thấy rằng một bản đồ xác định trên một tập hợp con của Rn là suôn sẻ, do đó
phải tìm một phần mở rộng mịn địa phương như gần tất cả các điểm trong lĩnh vực
xác định. Nó có thể dễ dàng thấy rằng một hàm trơn là liên tục theo
Định nghĩa 2.1.4. Chúng tôi quan sát thấy rằng khái niệm mới trơn đồng ý
với định nghĩa tiêu chuẩn khi X là mở trong Rn. Chúng tôi cũng quan sát thấy rằng
sự mượt mà của f không phụ thuộc vào tập hợp con của Rl được coi như
mục tiêu đặt ra Y.
Định nghĩa 2.6.2. Hãy S ⊂ Rn và S ⊂ ~ RL là đa tạp. Một bản đồ f: S → S ~
được gọi là mượt nếu nó được mịn màng theo Định nghĩa 2.6.1 với X = S và
Y = S ~.
Đặc biệt, các định nghĩa trên có thể được áp dụng với S ~ = R. A mịn
đồ f : S → R được cho là một chức năng trơn tru, và các thiết lập của các ký hiệu là
C∞ (S). Nó có thể dễ dàng nhìn thấy rằng C∞ (S) là một không gian vector khi được trang bị với các
Ngoài tiêu chuẩn và vô hướng nhân của chức năng. Vì một tương đối
tập mở Ω ⊂ S là một đa tạp của riêng của mình (xem Ví dụ 1.6.4), các C∞ không gian (Ω)