Chapter 2Abstract manifoldsThe noti

Chapter 2
Abstract manifolds
The notion of a manifold S defined in the preceding chapter assumes S to
be a subset of a Euclidean space Rn. However, a more axiomatic and abstract
approach to differential geometry is possible, and in many ways preferable.
Of course, a manifold in Rn must satisfy the axioms that we set up for an
abstract manifold. Our axioms will be based on properties of charts.
From the point of view of differential geometry the most important property of a manifold is that it allows the concept of a smooth function. We
will define this notion and the more general notion of a smooth map between
abstract manifolds.
2.1 Topological spaces
Since the aim of differential geometry is to bring the methods of differential
calculus into geometry, the most important property that we wish an abstract
manifold to have is the possibility of differentiating functions on it. However,
before we can speak of differentiable functions, we must be able to speak of
continuous functions. In this preliminary section we will briefly introduce the
abstract framework for that, the structure of a topological space. Topological
spaces is a topic of general topology, here we will just introduce the most
essential notions. Although the framework is more general, the concepts we
introduce will be familiar to a reader who is acquainted with the theory of
metric spaces.
Definition 2.1.1. A topological space is a non-empty set X equipped with
a distinguished family of subsets, called the open sets, with the following
properties:
1) the empty set and the set X are both open,
2) the intersection of any finite collection of open sets is again open,
3) the union of any collection (finite or infinite) of open sets is again open.
Example 2.1.1 In the Euclidean spaces X = Rk there is a standard notion
of open sets, and the properties in the above axioms are known to hold. Thus
Rk is a topological space.
Example 2.1.2 Let X be a metric space. Again there is a standard notion
of open sets in X, and it is a fundamental result from the theory of metric
spaces that the family of all open sets in X has the properties above. In this
fashion every metric space is a topological space.

Kết quả (Việt) 1:

Chương 2Trừu tượng đa tạpKhái niệm một đa tạp S được định nghĩa trong các chương trước giả định S đểlà một tập hợp con của một Euclid không gian Rn. Tuy nhiên, một tiên đề và trừu tượng hơncách tiếp cận để hình học vi phân là có thể, và trong nhiều cách thích hợp hơn.Tất nhiên, một đa tạp trong Rn phải đáp ứng các tiên đề chúng tôi thiết lập cho mộtđa tạp trừu tượng. Tiên đề của chúng tôi sẽ được dựa trên các thuộc tính của bảng xếp hạng.Từ điểm nhìn của hình học vi phân là tài sản quan trọng nhất của một đa tạp là nó cho phép khái niệm của một hàm trơn tru. Chúng tôisẽ xác định khái niệm này và các khái niệm tổng quát hơn của bản đồ trơn tru giữatóm tắt đa tạp.2.1 tôpôVì mục đích của hình học vi phân là để mang lại cho phương pháp vi phângiải tích vào hình học, các tài sản quan trọng nhất mà chúng tôi muốn tóm tắt mộtđa tạp có là khả năng phân biệt các chức năng trên nó. Tuy nhiên,trước khi chúng tôi có thể nói về hàm, chúng tôi phải có khả năng để nói chuyệnchức năng liên tục. Trong phần này sơ bộ chúng tôi một thời gian ngắn sẽ giới thiệu cáctrừu tượng khuôn khổ cho rằng, cấu trúc của một không gian tôpô. Tô pôtại toàn là một chủ đề của cấu trúc liên kết chung, ở đây chúng tôi chỉ sẽ giới thiệu nhữngkhái niệm rất cần thiết. Mặc dù khuôn khổ là tổng quát hơn, các khái niệm chúng tôigiới thiệu sẽ được quen thuộc với một độc giả những người làm quen với lý thuyết củatại toàn số liệu.Định nghĩa 2.1.1. Một không gian tôpô là một tập phòng không làm trống X được trang bị vớimột gia đình phân biệt của con, được gọi là các tập mở, với những điều sau đâythuộc tính:1) tập rỗng và tập X là mở, cả hai2) giao của bất kỳ bộ sưu tập hữu hạn các tập mở là một lần nữa mở,3) sự hợp nhất của bất kỳ bộ sưu tập (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập mở là mở.Ví dụ 2.1.1 trong the Euclide X = Rk có là một khái niệm tiêu chuẩncác tập mở, và các thuộc tính trong các tiên đề ở trên được biết đến để giữ. Do đóRK là một không gian tôpô.Ví dụ 2.1.2 cho X là một không gian mêtric. Một lần nữa có là một khái niệm tiêu chuẩnsố mở bộ trong X, và nó là một kết quả cơ bản từ lý thuyết của số liệutại gia đình tập tất cả mở trong X có các thuộc tính trên. Trong điều nàythời trang số liệu mỗi chỗ một không gian tôpô.

Kết quả (Việt) 2:

Chương 2
Tóm tắt đa tạp
Khái niệm của một đa tạp S được xác định trong chương trước để giả định S
là một tập hợp con của một không gian Rn Euclide. Tuy nhiên, một tiên đề và tóm tắt
phương pháp tiếp cận để phân hình học là có thể, và trong nhiều cách thích hợp hơn.
Tất nhiên, một đa tạp trong Rn phải đáp ứng các tiên đề mà chúng tôi thiết lập cho một
đa tạp trừu tượng. Tiên đề của chúng tôi sẽ căn cứ vào tính chất của bảng xếp hạng.
Từ điểm nhìn của hình học vi phân là tài sản quan trọng nhất của một đa tạp là nó cho phép các khái niệm của một hàm trơn tru. Chúng tôi
sẽ xác định khái niệm này và khái niệm tổng quát hơn của một bản đồ trơn tru giữa
các đa tạp trừu tượng.
2.1 không gian tôpô
Vì mục đích của hình học vi phân là để mang lại các phương pháp khác biệt
tích vào hình học, các tài sản quan trọng nhất mà chúng ta muốn một bản tóm tắt
đa dạng để có là khả năng phân biệt các chức năng trên đó. Tuy nhiên,
trước khi chúng ta có thể nói về các chức năng khả vi, chúng ta phải có khả năng nói chuyện của
các chức năng liên tục. Trong phần sơ bộ này chúng tôi sẽ giới thiệu qua các
khuôn khổ trừu tượng cho rằng, cấu trúc của một không gian tôpô. Tôpô
không gian là một chủ đề của cấu trúc liên kết chung, ở đây chúng tôi sẽ chỉ giới thiệu hầu hết các
khái niệm cần thiết. Mặc dù khuôn khổ này là tổng quát hơn, các khái niệm, chúng tôi
giới thiệu sẽ quen thuộc với một độc giả quen thuộc đối với lý thuyết về
không gian metric.
Định nghĩa 2.1.1. Một không gian tôpô là một tập hợp X không có sản phẩm nào được trang bị với
một gia đình phân biệt của các tập con, gọi là bộ mở, với những điều sau đây
thuộc tính:
1) tập rỗng và các tập X đều mở cửa,
2) là giao điểm của bất kỳ bộ sưu tập hữu hạn các bộ mở là một lần nữa mở,
3) công đoàn của bất kỳ bộ sưu tập (hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập mở là một lần nữa mở.
Ví dụ 2.1.1 Trong không gian Euclide X = Rk có một khái niệm tiêu chuẩn
của bộ mở, và các thuộc tính trong tiên đề trên được biết đến để giữ. Như vậy
Rk là một không gian tôpô.
Ví dụ 2.1.2 Lết X là một không gian metric. Một lần nữa có một khái niệm tiêu chuẩn
của bộ mở trong X, và nó là một kết quả cơ bản từ các lý thuyết về số liệu
không gian mà gia đình của các tập mở trong X có các tính chất trên. Trong
thời trang mọi không gian metric là một không gian tôpô.